高 輝 徐龍祥

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

LMS類算法在磁軸承濾波補(bǔ)償中的應(yīng)用分析

高 輝 徐龍祥

南京航空航天大學(xué)，南京，210016

主動磁懸浮軸承（AMB）系統(tǒng)中存在與轉(zhuǎn)子同頻的時變不平衡干擾信號，此信號會影響系統(tǒng)的控制效果。為了濾除這些不平衡信號，通過分析幾類最小均方（LMS）誤差算法，得出一種相對合適的濾波算法。根據(jù)AMB系統(tǒng)中干擾信號的幅值以及頻率實(shí)時變化情況，對原算法進(jìn)行了改進(jìn)，并比較了改進(jìn)算法與原變步長算法對時變信號的濾波效果。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，改進(jìn)算法對時變的幅值較小信號具有更好的跟隨期望信號能力及收斂能力，為主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的實(shí)時濾波補(bǔ)償提供方便。

主動磁懸浮軸承（AMB）；頻率不等；變步長LMS算法；頻率時變性；自適應(yīng)濾波

0 引言

主動磁懸浮軸承（AMB）系統(tǒng)因具有無接觸、無摩擦、無污染、高效率、低能耗、主動控制等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)及國防領(lǐng)域［1］。但是與普通旋轉(zhuǎn)裝置一樣，由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量不均勻，AMB系統(tǒng)工作時也存在與轉(zhuǎn)子同頻的時變不平衡干擾影響，此影響將不僅增加系統(tǒng)基礎(chǔ)的振動響應(yīng)，增大噪聲干擾，同時還降低系統(tǒng)控制穩(wěn)定性。針對此影響的一種抑制方法被稱為慣性力最小補(bǔ)償方法［2－5］，即力自動平衡方法，該方法通過濾除轉(zhuǎn)子反饋位移信號中與轉(zhuǎn)速同頻的正弦不平衡信號而使轉(zhuǎn)子繞其慣性軸旋轉(zhuǎn)，從而減小不平衡力通過徑向軸承對基礎(chǔ)的振動，增加系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性。

LMS類算法作為一種自適應(yīng)濾波算法在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，在AMB領(lǐng)域也有應(yīng)用，如文獻(xiàn)［3－5］采用標(biāo)準(zhǔn)LMS算法進(jìn)行自適應(yīng)濾波處理，但由于標(biāo)準(zhǔn)LMS算法固定步長因子與收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間存在矛盾，因此文獻(xiàn)［3－5］僅僅是在定轉(zhuǎn)速處分析了LMS算法在AMB系統(tǒng)中的濾波效果。由于AMB系統(tǒng)現(xiàn)場工作時因轉(zhuǎn)子頻率的變化而產(chǎn)生與轉(zhuǎn)子同頻的時變不平衡干擾信號，因此文獻(xiàn)［3－5］中的方法不能減小該時變信號對系統(tǒng)的影響。

本文通過分析標(biāo)準(zhǔn)LMS算法及幾種變步長LMS算法在AMB系統(tǒng)中的應(yīng)用情況，得到一種相對合適的變步長算法并將其作為自適應(yīng)濾波補(bǔ)償器。針對轉(zhuǎn)子反饋位移誤差信號幅值較小的特點(diǎn)對原算法進(jìn)行了改進(jìn)，目的是提高AMB系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性和收斂速度。同時，考慮到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速頻率的時變性，為了對時變轉(zhuǎn)子信號進(jìn)行實(shí)時濾波補(bǔ)償，在改進(jìn)算法基礎(chǔ)上又提出一種新的改進(jìn)算法，此算法可根據(jù)轉(zhuǎn)速的變化對轉(zhuǎn)子周期性位移信號進(jìn)行實(shí)時有效濾波。

1 原LMS類算法在AMB中應(yīng)用分析

LMS類算法的精髓就是利用梯度隨機(jī)下降原理實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最小化，即迭代時算法中權(quán)矢量沿誤差性能曲面梯度估值的負(fù)向按給定比例更新［6］，因此權(quán)矢量的迭代過程是研究LMS類算法的關(guān)鍵。圖1為LMS類算法的工作原理圖。其中，d（k）為期望信號，y（k）為算法輸出信號，e（k）為誤差信號，W（k）為權(quán)向量，X（k）為算法輸入向量，μ（k）為可變步長因子，以上變量都是表示離散系統(tǒng)中k時刻的相應(yīng)值。

圖1 LMS類算法原理

任何LMS類算法的核心均表現(xiàn)為權(quán)矢量的迭代更新過程，有如下公式描述：

其中，X（k）為給定信號，所以權(quán)矢量的更新主要依靠誤差信號e（k）以及可變步長因子μ（k）的變化，可依據(jù)誤差信號的變化特性來評價LMS算法優(yōu)劣，即依據(jù)式（1）的迭代保證y（k）跟隨d（k），從而使e（k）最小，其表達(dá)式如下：

依據(jù)式（1）、式（2）可最終實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波，因此分析各種LMS算法的關(guān)鍵在于分析其步長因子。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)LMS算法的不足

如果式（1）中的μ（k）為常數(shù)，則其為標(biāo)準(zhǔn)LMS算法，即μ（k）＝μ。針對文獻(xiàn)［3-5］僅僅在固定頻率處進(jìn)行濾波分析，可從算法固定步長因子μ與輸入信號頻率ω0對算法濾波品質(zhì)因素的影響及算法均方誤差等方面進(jìn)行分析。

因此可推知在確定品質(zhì)因素條件下，算法中一個確定的固定步長僅對應(yīng)一個較小的輸入信號頻帶。

下面給出標(biāo)準(zhǔn)LMS算法均方誤差公式［8］：

當(dāng)ω0＝ω時，MSE＝0；當(dāng)ω0≠ω時，從式（6）可知，MSE為一個不等于0的常數(shù)，從而影響濾波效果?，F(xiàn)取相同固定步長因子μ＝0.08，輸入信號頻率f0＝400Hz，期望信號頻率f分別為400Hz、380Hz（這里ω＝2πf），來驗(yàn)證式（6）的正確性，MSE與輸入信號頻率及期望信號頻率關(guān)系如圖2所示。

圖2 MSE與輸入信號頻率及期望信號頻率關(guān)系

由圖2可知：當(dāng)輸入信號頻率與期望信號頻率相等時，誤差響應(yīng)信號大約兩個周期后達(dá)到最小，即能夠有效濾波；當(dāng)二者頻率不等時，誤差信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為一正弦波動，即濾波不徹底。以上分析中，輸入信號頻率為事先給定的固定值，因此在AMB系統(tǒng)應(yīng)用中，標(biāo)準(zhǔn)LMS算法只能實(shí)現(xiàn)對定轉(zhuǎn)速濾波補(bǔ)償，并且由式（5）可推知每個固定的步長因子僅適用于一個較小的轉(zhuǎn)速頻帶。為了滿足AMB系統(tǒng)的實(shí)際工業(yè)應(yīng)用，針對周期性振動響應(yīng)需要對系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時濾波補(bǔ)償控制的問題，考慮應(yīng)用變步長LMS算法。

1.2 變步長LMS類算法分析

根據(jù)需要列出三類可變步長LMS算法。文獻(xiàn)［9-10］中提出一種變步長LMS算法，簡稱CP－LMS算法，其可變步長因子為

式（7）中的可變步長因子在最大給定值μmax以及最小給定值μmin之間變化，同時由前一次的可變步長因子和誤差信號決定。此算法需要同時確定合適的μmax、μmin、λ 以及γ 四個參數(shù)才能有效濾波。

文獻(xiàn)［11-12］提出的SVSLMS算法中，其可變步長因子為

式（8）中的誤差信號在exp冪函數(shù)作用下改變步長因子取值，同時匹配合適的β以及α兩個參數(shù)。

在文獻(xiàn)［13-14］等提出的MNVSS算法中，其步長因子為

式（9）中可變步長因子僅與誤差信號和固定步長因子μ有關(guān)。

考慮到AMB系統(tǒng)反饋位移信號幅值可變性，現(xiàn)提供一幅值突變正弦信號作為期望信號，前15ms時幅值為1.0，隨后幅值變?yōu)?.6。選取μmax＝0.06，μmin＝ 0.0006，λ ＝ 1.0，γ ＝ 0.0008，β＝0.06，α＝5，μ＝0.06。利用 CP－LMS、SVSLMS和NVSS三種算法對給定期望信號進(jìn)行濾波仿真，圖3給出了三種算法的濾波效果（可變期望信號在圖中未顯示）。

從圖3可以看出，當(dāng)主參數(shù)μmax、β、μ取值相同時，期望信號變化前后僅有NVSS算法收斂性最好。同時，考慮到AMB系統(tǒng)的強(qiáng)耦合性、非線性以及控制系統(tǒng)參數(shù)復(fù)雜性，依據(jù)自適應(yīng)濾波算法可變參數(shù)越少越好原則，本文認(rèn)為NVSS類算法更適合用在AMB濾波補(bǔ)償控制中。

圖3 三種LMS算法誤差信號收斂曲線

1.3 NVSS類算法分析

文獻(xiàn)［13］中給出MNLMS算法可變變步長因子的表達(dá)式為

式（10）中可變步長因子是算法輸入信號范數(shù)平方的非線性函數(shù)。與文獻(xiàn)［13］不同，式（11）中可變步長因子是誤差信號范數(shù)平方的函數(shù)。但是式（10）、式（11）都是對相應(yīng)信號平方的累加作為影響可變步長因子變化的因素，會增加運(yùn)算量，并且當(dāng)外界期望信號變化時式（11）、式（12）兩種算法再次收斂的靈敏度不高。因此文獻(xiàn)［14］給出NVSS算法的改進(jìn)算法，即式（9）中的MNVSS算法。式（9）中用e2（k）代替式（11）中的 ‖e（k）‖2，使μ（k）的變化僅取決于當(dāng)次迭代運(yùn)算中的誤差信號的平方。MNVSS算法解決了運(yùn)算量大的缺點(diǎn)并且可以保證變化的期望信號重新快速收斂。圖4給出了MNVSS類算法在三種不同的可變步長因子時對幅值變化信號的濾波效果對比。其中期望信號均是前半部分幅值為1、后半部分幅值為1.2、頻率為400Hz的正弦信號（圖4中未顯示），三個步長因子中有相同的μ值，均為0.08。由圖4分析可知，當(dāng)期望信號幅值發(fā)生變化時，只有MNVSS算法的誤差信號可以很好地再收斂，因此針對AMB系統(tǒng)中幅值及頻率時變的位移反饋信號的實(shí)時濾波，可考慮應(yīng)用MNVSS算法。

圖4 MNVSS類算法在不同步長因子時的誤差信號比較

2 MNVSS算法在AMB系統(tǒng)應(yīng)用中的改進(jìn)

2.1 定轉(zhuǎn)速時濾波算法改進(jìn)

考慮到AMB系統(tǒng)中位移電壓信號的幅值較小的特點(diǎn)（一般情況下的幅值都小于1.0，在轉(zhuǎn)子正常旋轉(zhuǎn)時，一般轉(zhuǎn)動頻率為500Hz，其幅值小于0.6），由式（2）、式（9）知，MNVSS算法在運(yùn)算過程中有最大誤差信號emax（k），并且emax（k）＜dmax（k）＜ 1.0，所以存 在 不 等 式e2max（k）＜emax（k）?，F(xiàn)對式（9）進(jìn)行變形處理，有

其中，μ0為參考步長因子，針對不同頻率的期望信號，事先要選擇合適的μ0值，一般μ0取值的數(shù)量級為10－2；a為加權(quán)系數(shù)，起放大作用，目的為增加誤差信號在可變步長因子中的影響，其實(shí)際取值可參考期望信號的幅值情況，一般為20～30。

在式（14）中用ae（k）代替式（9）中的e2（k），即可變步長因子僅是誤差信號的非線性函數(shù)，其目的是為了增加誤差信號對可變步長因子的影響程度。

現(xiàn)選擇幅值為0.6、頻率為200Hz的正弦信號作為期望信號，取a＝20，μ0＝0.04，對 MNVSS算法及M－MNVSS算法的誤差信號進(jìn)行比較，如圖5所示。

從圖5可看出，兩算法都有很快的收斂速度，誤差信號在經(jīng)過一個周期后基本重合，兩個周期后兩誤差信號趨于零，但是M－MNVSS算法誤差信號跟隨期望信號的能力明顯好于MNVSS

此時，當(dāng)e（k）變化時，因?yàn)?／μ?1［14］，式（13）中的μ（k）受e2（k）的影響較小，則在AMB系統(tǒng)不平衡濾波補(bǔ)償中達(dá)不到最理想控制效果。

圖5 算法誤差信號比較

現(xiàn)參考MNVSS算法提出一種針對AMB系統(tǒng)不平衡濾波補(bǔ)償?shù)母倪M(jìn)的變步長算法，稱之為M－MNVSS算法，其可變步長因子為算法。因?yàn)榇艖腋≥S承系統(tǒng)具有主動控制周期短、轉(zhuǎn)動頻率高等特點(diǎn)，當(dāng)此誤差信號作為功率放大器輸入時，只有其能夠更好地響應(yīng)轉(zhuǎn)子反饋位移信號，即跟隨期望信號，才能在實(shí)施濾波時更有利于提高系統(tǒng)控制穩(wěn)定性。

式（14）中的可變步長因子在濾波處理過程中雖然同時具有好的跟隨期望信號能力和較快的收斂速度，但是當(dāng)參數(shù)μ0確定后，M－MNVSS算法也只能對一固定頻帶有好的濾波效果，當(dāng)期望信號頻率變化相對較大時，其對期望信號跟隨能力明顯降低，如圖6所示。對于相同的μ0，取值為0.08，當(dāng)f＝400Hz時，從誤差信號特性曲線上分析知其有好的濾波效果，當(dāng)f＝200Hz時，其跟隨期望信號能力明顯降低。因此在AMB系統(tǒng)實(shí)時變速濾波補(bǔ)償控制時，如果將其作為控制器輸入信號對系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時控制，由于誤差信號對轉(zhuǎn)子位移反饋信號的跟隨靈敏度減弱而降低控制系統(tǒng)穩(wěn)定性，就會導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)，影響AMB系統(tǒng)的正常工作。

圖6 M－MNVSS算法對不同頻率信號的誤差特性曲線

2.2 實(shí)時旋轉(zhuǎn)時濾波算法改進(jìn)

經(jīng)過上述分析，自適應(yīng)濾波算法在AMB系統(tǒng)實(shí)時濾波補(bǔ)償控制應(yīng)用中應(yīng)具有以下特點(diǎn)：

（1）既要有好的跟隨期望信號能力，以免控制系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速變化時失穩(wěn)，又要有較快的收斂速度，以達(dá)到比較理想的濾波效果。

（2）算法應(yīng)具有簡單的結(jié)構(gòu)以便節(jié)約運(yùn)算時間，有利于實(shí)時控制，因?yàn)橄到y(tǒng)要求有很小的控制周期；算法可調(diào)參數(shù)盡量少，方便聯(lián)合調(diào)試。

（3）算法應(yīng)能很好地跟蹤轉(zhuǎn)子位移信號的轉(zhuǎn)動頻率，以便實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速實(shí)時濾波補(bǔ)償。

針對以上特點(diǎn)以及式（5）中的要求，本文提出一種新的改進(jìn)算法，簡稱NM－MNVSS算法。此算法中可變步長因子為

其中，期望信號頻率f在這里為實(shí)時檢測到的AMB系統(tǒng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動頻率（Hz），期望信號d（t）的角頻率ω＝2πf；μ1是個很小的正參數(shù)，此值可根據(jù)式（5）及f的范圍選取，一般μ1取值的數(shù)量級為10－4。由式（15）知，當(dāng)a 、μ1確定后，μ（k）主要依據(jù)轉(zhuǎn)動頻率f和誤差信號e（k）而變化。

圖7給出NM－MNVSS算法在相同參數(shù)情況下針對不同頻率時的濾波效果，其中a＝20，μ1＝0.0002，可以看出，當(dāng)f 分別為400Hz、200Hz時新算法都有很好的濾波效果，既能很好地跟隨期望信號又能快速收斂。圖8給出MMNVSS算法及NM－MNVSS算法在期望信號頻率實(shí)時變化時的誤差響應(yīng)比較。15ms前期望信號是幅值為0.6、頻率為200Hz的正弦信號，15ms后期望信號幅值突變?yōu)?.4，頻率變?yōu)?00Hz。從圖8分析得出，在頻率為200Hz時兩種改進(jìn)算法有相同的收斂能力，但是當(dāng)頻率突變時，NM－MNVSS算法能很好地再次跟隨期望信號并很快實(shí)現(xiàn)信號對消，而M－MNVSS算法雖然跟隨能力比較好但其收斂速度明顯變慢。因此可初步驗(yàn)證NM－MNVSS算法在AMB系統(tǒng)中對頻率時變的轉(zhuǎn)子位移反饋正弦信號能夠?qū)崿F(xiàn)有效濾波，并使系統(tǒng)控制環(huán)節(jié)在變頻濾波控制時保持穩(wěn)定懸浮控制。

7 NM－MNVSS算法對不同頻率信號的誤差特性曲線

圖8 變頻、變幅值時兩改進(jìn)算法的濾波效果比較

3 實(shí)驗(yàn)

針對AMB系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子位移反饋信號的濾波處理，所設(shè)計(jì)的濾波控制系統(tǒng)框圖見圖9。

圖9 加濾波算法后AMB控制系統(tǒng)

在數(shù)字PID控制器前串聯(lián)NM－MNVSS算法作為自適應(yīng)濾波器，使算法經(jīng)過迭代運(yùn)算后實(shí)現(xiàn)對信號的濾波對消，以便減小功率放大器輸入端的位移電壓幅值，從而降低不平衡力對系統(tǒng)基礎(chǔ)振動響應(yīng)，提高控制穩(wěn)定性。圖10為AMB系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置圖，其中，補(bǔ)償控制算法由PC機(jī)完成，DSP2407芯片實(shí)現(xiàn)數(shù)字采樣以及轉(zhuǎn)速測量，PCI卡實(shí)現(xiàn)PC機(jī)與DSP之間的數(shù)據(jù)交互，變頻器的作用是驅(qū)動電機(jī)使轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)接箱的作用是方便AMB系統(tǒng)聯(lián)合調(diào)試，轉(zhuǎn)子的徑向位移信號以及控制電流信號由示波器顯示。

圖10 AMB實(shí)驗(yàn)裝置

現(xiàn)對轉(zhuǎn)子頻率為200Hz時的AMB系統(tǒng)進(jìn)行濾波補(bǔ)償，選取μ1＝0.0002，PID主要參數(shù)為Kp＝0.875，Ti＝0.545，Td＝0.679，利用這些參數(shù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)。通過分析可知，200Hz時濾波補(bǔ)償后的控制電流曲線基本趨于一條直線，說明NM－MNVSS算法的濾波效果比較明顯。然后在μ1相同的前提下對400Hz時的系統(tǒng)進(jìn)行濾波補(bǔ)償，此時的PID參數(shù)分別為Kp＝1.025，Ti＝0.545，Td＝0.569。同樣可得出400Hz時補(bǔ)償前后的電流曲線趨于平直，說明NM－MNVSS算法也有很好的濾波效果。

上述分析說明了新改進(jìn)算法NM－MNVSS對不同頻率、不同幅值的正弦信號都有比較理想的濾波效果，進(jìn)一步驗(yàn)證了圖8所示結(jié)論的正確性。但可以看出在200Hz和400Hz時對應(yīng)的PID控制參數(shù)不同的，從側(cè)面說明如果要實(shí)施實(shí)時在線濾波補(bǔ)償，需要采用合適的控制器以及合理的控制策略。

4 結(jié)束語

本文針對AMB系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子反饋正弦位移信號的小振幅現(xiàn)象及頻率的時變性，提出一種對此類變化的期望信號進(jìn)行濾波對消的新的變步長LMS算法（MN－MNVSS），并通過不同定轉(zhuǎn)速補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了NM－MNVSS算法在AMB系統(tǒng)濾波補(bǔ)償應(yīng)用中的有效性。NM－MNVSS算法的提出為AMB系統(tǒng)實(shí)時濾波補(bǔ)償提供一種可行性參考。

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Analysis of Kinds of LMS Algorithms in Application of Filtering Compensation for Magnetic Bearings

Gao Hui Xu Longxiang
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing，210016

The time－variable unbalance interference signals exist synchronous with rotor rotational speed in active magnetic bearings system，which will affect the control effects of the system.To filter the unbalance signals，one kind of relatively suitable filter algorithm was proposed through analyzing some kinds of least mean square（LMS）algorithms.According to the real－time variation of the amplitudes and frequency of the interference signals in AMB system，the original LMS algorithm proposed was improved，and the filter effects on time－variable signals about the original and the improved algorithms were compared.The simulation and experimental results show that the new improved LMS algorithm has better ability of following the anticipant signals and convergence to timevariable and small amplitude signals.It can provide convenience to real－time filter compensation for the AMB system.

active magnetic bearing（AMB）；frequency mismatch；variable step－size LMS algorithm；frequency time－varying；adaptive filtering

TN911.72；TP274.2

1004—132X（2011）01—0009—06

2010—03—17

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2006AA05Z205）；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（BK2007590）；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2008ZB52018）

（編輯 郭 偉）

高 輝，男，1981年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)橹鲃哟艖腋≥S承系統(tǒng)不平衡振動補(bǔ)償。徐龍祥，男，1959年生。南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院教授、博士生研究生導(dǎo)師。