鄭順義，郭寶云，李彩林

1.武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院，湖北武漢430079；2.湖北工業(yè)大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，湖北武漢430068

圓柱是工業(yè)零件中基本的幾何結(jié)構(gòu)，大量的工業(yè)零件如軸承、滾柱、轉(zhuǎn)軸、銷等都是圓柱體的，同時圓柱也是更多復(fù)雜零件的基本組成部分。因此圓柱體的三維重建與檢測是工業(yè)零件檢測的重要內(nèi)容之一。但是目前這方面的研究還較少，僅文獻(xiàn)［1］基于物體成像輪廓對圓柱體進(jìn)行了視覺測量與重建，引入圓柱體模型，討論了基于模型重建的優(yōu)勢，取得較好的重建結(jié)果。但該算法要求圓柱輪廓（包括頂面圓、底面圓和母線）中頂面圓和底面圓上空間點與像點是對應(yīng)點，但對于圓來說并不存在嚴(yán)格的對應(yīng)點；另外其初始值需要手工給定。

共線方程［2］作為攝影測量的核心方程，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于攝影測量的各個領(lǐng)域，但是在傳統(tǒng)的攝影測量理論中，共線方程的使用前提是要先提取出嚴(yán)格意義上的同名點，這在很多情況下比較難以實現(xiàn)。廣義點攝影測量理論［3］，擴(kuò)展了共線方程的使用范圍，不再需要空間點與像點間嚴(yán)格的對應(yīng)關(guān)系。這對于不能提取出嚴(yán)格意義上的同名點的一些工業(yè)零件來說，使用廣義點攝影測量平差模型進(jìn)行解算，可以達(dá)到很好的量測精度。文獻(xiàn)［4］曾基于廣義點攝影測量完成圓和圓角矩形的三維重建，文獻(xiàn)［5］借助于廣義點攝影測量理論完成鈑金件上圓的檢測，文獻(xiàn)［6］也基于廣義點攝影測量計算同心圓孔的物方參數(shù)，都取得了較好的結(jié)果。

本文在此基礎(chǔ)上，結(jié)合邊緣曲線編組的橢圓提取方法［7－11］，提出一種基于模型和廣義點攝影測量理論的圓柱體自動三維重建與誤差檢測方法，推導(dǎo)出基于圓柱體幾何模型的廣義點平差模型，并且給出自動獲取初始值的方法，從而直接解算出圓柱體的模型參數(shù)，實現(xiàn)圓柱體的自動三維重建與尺寸檢測。

1 圓柱的數(shù)學(xué)模型與輪廓表達(dá)

以圓柱體底面圓的圓心O為原點，底面圓所在的平面為XOY面，形成的右手坐標(biāo)系O－XYZ作為圓柱體的模型坐標(biāo)系。如圖1所示，在模型坐標(biāo)系中，圓柱體有兩個參數(shù)：圓柱的高H和半徑R。

圖1 圓柱體模型坐標(biāo)系Fig.1 Model coordinate system of cylinder

圓柱體在影像上投影的輪廓為頂面圓、底面圓和圓柱的兩條母線，通過圖2可以確定這兩條母線對應(yīng)的角度為θ1和θ2，其中攝影中心S（XS，YS，ZS）在模型坐標(biāo)系中坐標(biāo)為S′（X′S，Y′S，Z′S），D點為S′在XOY面上的投影。DA和DB為D點到底面圓的兩條切線。

圖2 影像上兩條可視母線對應(yīng)的角度（θ1和θ2）分析［1，12］Fig.2 Analysis of angles（θ1andθ2）related to two visual generatrix of cylinder contours［1，12］

令

則

當(dāng)Xs＞0時

當(dāng)Xs＜0時

則輪廓中頂面圓和底面圓可通過式（4）來表達(dá)，兩條母線利用式（5）計算得到。

2 基于廣義點攝影測量的圓柱體數(shù)學(xué)平差模型

2.1 廣義點攝影測量

傳統(tǒng)攝測量中的“點”指的是“物理”意義上（或稱為“可視”）的點，如圓點、交叉點、角點、端點等。在現(xiàn)實世界中除了物理點外還存在著大量的曲線，如河流、道路以及工業(yè)零件上的圓、圓弧和二次曲線等。在數(shù)學(xué)上，所有的直線和曲線都是由點構(gòu)成的，與可視點一樣，共線方程也可用到線特征中的點，而且攝影測量中的所有特征都可以歸結(jié)為“點”，以適合共線方程，這就是所謂的廣義點攝影測量［3］。廣義點攝影測量是傳統(tǒng)點攝影測量的擴(kuò)充，與傳統(tǒng)攝影測量又有本質(zhì)的區(qū)別，即不再需要空間點與像點間嚴(yán)格的對應(yīng)關(guān)系。其基本數(shù)學(xué)形式見下式。

廣義點是“數(shù)學(xué)”意義上的點，包括直線上的點、曲線上的點，以及滅點等，這些點和物理意義上的點統(tǒng)稱為廣義點。根據(jù)“廣義點”理論，曲線（或直線）上任意一個點都可以作為“控制點”，而且可以直接應(yīng)用“共線方程”，其與物理意義上的點之間僅有的差別就在于：物理意義上的點使用關(guān)于x和y的兩個共線方程，而特征線上的點根據(jù)線段的方向僅僅使用關(guān)于x或y的一個共線方程。當(dāng)將特征線的參數(shù)方程代入共線方程時，可以通過平差的過程，同時解算出特征線的參數(shù)，從而直接求解出特征線。因此，點、直線、圓、圓弧、任意曲線很容易歸納為一個數(shù)模型——共線方程，進(jìn)行統(tǒng)一平差。本文利用廣義點攝影測量的這個優(yōu)勢，直接解算出圓柱體的各個空間參數(shù)。

2.2 基于模型和廣義點攝影測量的圓柱體數(shù)學(xué)平差模型

空間中的圓柱體可以使用底面圓圓心（X0，Y0，Z0），半徑R，中心軸線方向向量（Vx，Vy，Vz）和圓柱高度H唯一表示。利用圓柱體數(shù)學(xué)模型計算物方坐標(biāo)系中圓柱體輪廓上點的空間坐標(biāo)，需要建立圓柱體模型坐標(biāo)系O－XYZ與物方坐標(biāo)系O′－X′Y′Z′（檢校中確定的坐標(biāo)系）之間的關(guān)系。

圖3 圓柱體模型坐標(biāo)系與物方坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.3 Relationship between cylinder model coordinate system and spatial coordinate system

圓柱體輪廓線在模型坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和物方坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系見式（9）。其中A為模型坐標(biāo)系中圓柱體輪廓上任意一點，A′為A在物方坐標(biāo)系中對應(yīng)點的坐標(biāo)（見圖3）。

將式（4）、式（5）計算出的圓柱體輪廓在模型坐標(biāo)系中的坐標(biāo)代入式（9），得到所有點在物方坐標(biāo)系下的空間坐標(biāo)（X′，Y′，Z′）。

將式（10）計算出的空間點坐標(biāo)代入式（6）得到基于圓柱體幾何模型的廣義點攝影測量構(gòu)像方程，如式（11）所示。

式中，（X0，Y0，Z0）為底面圓的圓心在物方坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)；R為半徑；θ為頂面和底面圓輪廓離散采樣的角度值，對于母線來說是θ對應(yīng)于影像上可視母線的角度值；（Xs，Ys，Zs）是相機(jī)位置；（aj，bj，cj），j＝1，2，3為物方坐標(biāo)系下相機(jī)參數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣；（a′j，b′j，c′j），j＝1，2，3為圓柱體模型坐標(biāo)系與物方坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)矩陣；f為相機(jī)的焦距；（xi，yi）為像點坐標(biāo)；（x0，y0）為像主點坐標(biāo)；（Δx，Δy）為畸變差改正值，計算公式見式（12），其中r2＝（x－x0）2＋（y－y0）2，K1、K2為徑向畸變差，P1、P2為偏心畸變差。從式（11）可以看出，構(gòu)像方程中圓柱體有7個參數(shù)：底面圓心坐標(biāo)（X0，Y0，Z0），半徑R，圓柱高度H，圓柱模型坐標(biāo)系與物方坐標(biāo)系之間的兩個旋轉(zhuǎn)角φ′、ω′。

如圖4所示，點p為圓柱的底面或頂面圓上任意一點在像方投影，其構(gòu)像方程根據(jù)p點處的切向量方向角α來確定。

圖4 圓柱輪廓中圓的廣義點攝影測量模型Fig.4 Generalized point photogrammetry model of circles in cylinder contours

母線上每個點的構(gòu)像方程通過該母線在影像上投影的直線的方向來確定。

將式（11）線性化，得到基于圓柱體幾何模型和廣義點攝影測量的數(shù)學(xué)平差模型，見下式

式中，A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7和B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7為改正數(shù)系數(shù)；dx、dy為常數(shù)項。

式中，x、y為圓柱體投影到影像上的輪廓點的坐標(biāo)；x′、y′為影像上的相應(yīng)的真實輪廓點的坐標(biāo)。

3 圓柱體重建流程

在建立了圓柱體的幾何模型以及平差模型后，對圓柱體進(jìn)行三維重建，重建步驟主要包括初始值計算、廣義點迭代平差兩個方面，流程圖如圖5所示。

3.1 初始值計算

（1）利用canny算子對已標(biāo)定的立體相機(jī)拍攝的兩幅影像分別進(jìn)行邊緣提取，然后對提取的邊緣進(jìn)行細(xì)化、跟蹤，去除短邊緣，得到曲線段集合［13－14］。

（2）根據(jù)曲率在曲線段集合中識別影像中圓柱體上下橢圓部分，利用邊緣曲線編組的橢圓提取方法分別擬合上下橢圓［7－11］。這是保證初始值正確獲取的關(guān)鍵。

（3）基于核線約束實現(xiàn)立體像對中上下橢圓圓心的匹配，然后前方交會得到兩個圓心的空間坐標(biāo)。將其中一個圓的圓心坐標(biāo)作為（X0，Y0，Z0）的初始值，將另一個圓的圓心減去它得到的向量作為圓柱中心軸線方向向量（Vx，Vy，Vz）的初始值，兩個圓心的距離作為高度H的初始值。利用核線約束在兩幅影像中的橢圓上找出一對匹配點，計算其三維空間坐標(biāo)，該三維點與對應(yīng)圓心間的距離作為半徑的初始值。然后利用式（7）、式（8）計算模型坐標(biāo)系和物方坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)平移矩陣。

圖5 圓柱體重建流程圖Fig.5 The flow chart of cylinder reconstruction

3.2 廣義點迭代平差

（1）計算參與平差的空間點的坐標(biāo)。根據(jù)式（1）～式（3），分別計算立體像對中兩條可見母線對應(yīng)的角度θ1和θ2，利用式（10）計算頂面圓的全部離散點坐標(biāo)，底面圓中θ1和θ2間的可見部分及兩條可見母線上的離散點坐標(biāo)。

（2）計算影像上的相應(yīng)的真實輪廓點。首先將步驟（1）中計算出的空間離散點全部反投影到影像上，頂面圓和底面圓上的投影點分別擬合成橢圓，母線上的投影點分別擬合成直線。搜索橢圓法線方向上梯度變化最大的點作為該空間點對應(yīng)的真實像方輪廓點，搜索母線法線方向上梯度變化最大的點作為該母線上空間點對應(yīng)的真實像方輪廓點。

（3）列出參與平差的所有點的誤差方程式，根據(jù)最小二乘平差計算改正數(shù)，利用改正數(shù)修正未知參數(shù)后，重復(fù)上面的步驟，直到改正數(shù)小于一定的閾值，迭代結(jié)束，得到圓柱體的精確參數(shù)。

4 試驗結(jié)果與分析

為了驗證本文方法的有效性，采用兩個130萬像素的CMOS相機(jī)組成立體相機(jī)，硬件裝置如圖6所示，然后利用該立體相機(jī)采集某一圓柱體工業(yè)零件的立體像對進(jìn)行試驗，圖7為其中的一組立體像對。

圖6 試驗場景Fig.6 Experimental environment

圖7 圓柱體工業(yè)零件立體像對Fig.7 Stereo images of cylinder industrial part

依據(jù)文獻(xiàn)［15—16］中基于平面檢校板的方法對立體相機(jī)進(jìn)行檢校。圓柱體7個參數(shù)的初始值（見表1第一列數(shù)據(jù)）由第3節(jié)步驟（1）計算得到，將初始圓柱體輪廓反投影到影像上，結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出初始值較好，從而保證了后面廣義點平差時可以快速收斂到正確解。試驗中將頂面圓和底面圓的可見部分每隔6°、可視母線間隔0.01 H計算離散采樣點，利用上述廣義點攝影測量的圓柱體數(shù)學(xué)平差模型及其第3節(jié)中描述的重建方法獲取圓柱的各個精確參數(shù)（見表1第二列數(shù)據(jù)），反投影結(jié)果如圖9所示。細(xì)部放大圖見圖10。從圖中可以看出重建后的參數(shù)反投到影像上的輪廓與影像的真實輪廓完全地套合在一起，這表明在沒有已知圓柱體的空間位置與尺寸參數(shù)的情況下，本文提出的方法能自動、正確地重建空間圓柱體。由于無法獲取試驗零件的設(shè)計值，本文將測量的結(jié)果與游標(biāo)卡尺及文獻(xiàn)［1］的測量結(jié)果進(jìn)行比較。對10次測量平均值進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示，表明該試驗裝置下檢測精度能夠達(dá)到±0.03mm以下。

表1 計算出的圓柱參數(shù)值Tab.1 The calculated value of cylinder parameters mm

圖8 初始圓柱體輪廓反投結(jié)果Fig.8 Projection result of original cylinder contours

圖9 重建后圓柱體輪廓反投結(jié)果Fig.9 Projection result of reconstructed cylinder contours

圖10 重建前后細(xì)節(jié)比較Fig.10 Detail comparison between original cylinder and reconstructed cylinder

表2 重建結(jié)果平均值比較Tab.2 Comparison of average reconstruction results mm

5 結(jié) 論

試驗結(jié)果表明該方法切實可行且具有很好的重建精度。另外，該方法還可方便地推廣到其他具有數(shù)學(xué)模型的基本幾何結(jié)構(gòu)物體，如立方體、球、圓錐等。

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