徐天河，賀凱飛

1.武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院，湖北武漢430079；2.西安測(cè)繪研究所，陜西西安710054；3.長(zhǎng)安大學(xué)地測(cè)學(xué)院，陜西西安710054

1 引 言

歐洲地球重力場(chǎng)和海洋環(huán)流探測(cè)衛(wèi)星（GOCE）重力場(chǎng)恢復(fù)涉及諸多研究?jī)?nèi)容，如數(shù)據(jù)預(yù)處理、數(shù)字濾波、大型方程組快速解算、正則化算法等［1－3］，而重力梯度數(shù)據(jù)預(yù)處理是其中的關(guān)鍵問(wèn)題，主要包括數(shù)據(jù)的粗差探測(cè)、系統(tǒng)誤差標(biāo)定、數(shù)據(jù)歸算等［1－2］。系統(tǒng)誤差標(biāo)定經(jīng)常涉及重力梯度數(shù)據(jù)的延拓處理，如衛(wèi)星軌跡交叉點(diǎn)不符值計(jì)算中的延拓。此外，空域法恢復(fù)GOCE重力場(chǎng)中，需要將衛(wèi)星重力梯度觀測(cè)值延拓到平均軌道面，同樣涉及梯度數(shù)據(jù)的延拓處理［4－8］。許多學(xué)者對(duì)衛(wèi)星重力梯度的延拓進(jìn)行深入研究，并使其在GOCE數(shù)據(jù)質(zhì)量評(píng)定、系統(tǒng)誤差標(biāo)定、GOCE重力場(chǎng)恢復(fù)中得到廣泛應(yīng)用［9－15］。也有部分學(xué)者對(duì)GOCE衛(wèi)星重力梯度（satellite gravity gradient，SGG）延拓誤差的量級(jí)進(jìn)行估計(jì)，但大都集中在數(shù)值分析上，且主要考慮重力場(chǎng)模型、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等帶來(lái)的誤差影響，而利用解析方法研究GOCE衛(wèi)星SGG數(shù)據(jù)的延拓誤差及可忽略的延拓誤差最大高度方面研究較少［6，9］。實(shí)際上，在一定的延拓高度范圍內(nèi)，延拓誤差可以忽略，即可用觀測(cè)點(diǎn)梯度值代替延拓點(diǎn)梯度值［1，13］。若能從解析角度分析延拓的誤差影響，并較準(zhǔn)確估計(jì)可忽略的延拓誤差最大高度，不僅能大大簡(jiǎn)化計(jì)算，也可為GOCE數(shù)據(jù)處理提供有益參考。要對(duì)此進(jìn)行解析估算，涉及的關(guān)鍵問(wèn)題是重力梯度一階、二階徑向偏導(dǎo)數(shù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差解析公式的推導(dǎo)?？紤]到徑向重力梯度Tzz是GOCE衛(wèi)星重力梯度最主要的觀測(cè)分量以及論文篇幅的限制，以Tzz為例，立足于推導(dǎo)GOCE衛(wèi)星Tzz的一階、二階徑向偏導(dǎo)數(shù)˙Tzz、¨Tzz標(biāo)準(zhǔn)差的近似解析公式，試圖給出簡(jiǎn)便、快捷的計(jì)算公式及量級(jí)估計(jì)，由此給出實(shí)際延拓計(jì)算中可忽略的延拓誤差最大高度。因此，本文推導(dǎo)出的近似解析公式具有理論和實(shí)踐意義。

2 徑向重力梯度Tzz的延拓公式及誤差分析

衛(wèi)星的擾動(dòng)位公式可表示如下［16－17］

式中，φ和λ為空間單位質(zhì)點(diǎn)在地固系中的緯度和經(jīng)度；r為衛(wèi)星的地心距；Re為地球平均半徑；GM為地球引力系數(shù)為正?；木喓侠兆尩聽柖囗?xiàng)式；Cnm和Snm為正?；牡厍蛞ξ幌禂?shù)；l和m為多項(xiàng)式的階和次。

由式（1）對(duì)r求二階導(dǎo)數(shù)便可得出徑向重力梯度Tzz的計(jì)算公式［16－17］

在GOCE數(shù)據(jù)預(yù)處理如利用衛(wèi)星交叉點(diǎn)不符值，以及利用空域法進(jìn)行GOCE重力場(chǎng)恢復(fù)的計(jì)算中，通常要進(jìn)行衛(wèi)星重力梯度的延拓處理。GOCE衛(wèi)星徑向重力梯度的延拓公式可近似采用如下泰勒級(jí)數(shù)展開的形式（忽略二階以上展開項(xiàng)）［6］

考慮到延拓高度是小量（相對(duì)于衛(wèi)星高度），實(shí)際中可以忽略二階以上的誤差影響［6］。不考慮一階項(xiàng)和二階項(xiàng)的相關(guān)性，由誤差傳播定律，有如下公式

可忽略的延拓誤差最大高度應(yīng)滿足如下條件

式中，σobs為觀測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)差，利用式（4）、（5）進(jìn)行可忽略延拓誤差的最大高度的判別時(shí)，需要計(jì)算衛(wèi)星徑向重力梯度的一階、二階徑向偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，因此主要目標(biāo)便是推導(dǎo)其解析表達(dá)式。

3 Tzz一階、二階徑向偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的近似解析表達(dá)式及數(shù)值分析

依據(jù)球諧分析公式［18］

根據(jù)Kaula準(zhǔn)則［18］

由此可得

同樣可推出

考慮到

式中，ki、kj的值見表1、表2。

令e－α＝ρ2，即α＝－2lnρ，由此可將公式（13）、（14）改寫為

考慮到

并顧及［19］

式中，Γ為伽瑪函數(shù)，則有

取GM＝398 600.441 5×109，Re＝6 378km，GOCE衛(wèi)星軌道高度取為h＝250km，即r?Re＋h＝6 628km，由此計(jì)算得到ρ?0.962 281，α＝0.076 895，G0＝1.536 2×10－6s－2，Γ（i＋1，2α）、Γ（j＋1，2α）可依據(jù)數(shù)學(xué)庫(kù)函數(shù)計(jì)算得到，具體見表1、表2。由此得到GOCE衛(wèi)星σ（）和σ（）的近似估值為

表1 計(jì)算公式中的系數(shù)ki及對(duì)應(yīng)Γ函數(shù)值Tab.1 The values of kiandΓfunction ofσ

表1 計(jì)算公式中的系數(shù)ki及對(duì)應(yīng)Γ函數(shù)值Tab.1 The values of kiandΓfunction ofσ

i ki Γ（i＋1，2α）－3 36 16.020 4－2 132 4.126 2－1 193 1.442 1

表2 計(jì)算公式中的系數(shù)kj及對(duì)應(yīng)Γ函數(shù)值Tab.2 The values of kjandΓfunction ofσ

表2 計(jì)算公式中的系數(shù)kj及對(duì)應(yīng)Γ函數(shù)值Tab.2 The values of kjandΓfunction ofσ

j kj Γ（j＋1，2α）－3 576 16.020 4－2 2 400 4.126 2－

實(shí)際的重力場(chǎng)模型階數(shù)只能截?cái)嗟揭欢A次如360，假定重力場(chǎng)模型最大階數(shù)為Nmax，則式（22）、（23）可改寫為

顯然當(dāng)階數(shù)超過(guò)一定范圍時(shí)（如圖1中180階以上、圖2中200階以上）幾乎不發(fā)生變化，這從另一方面說(shuō)明，在利用現(xiàn)有重力場(chǎng)模型對(duì)梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓時(shí)，重力場(chǎng)的階數(shù)取200階以上即可。

圖1 隨Nmax變化的計(jì)算結(jié)果Fig.1 The values ofwith different Nmax

圖2 隨Nmax變化的計(jì)算結(jié)果Fig.2 The values ofwith different Nmax

4 Tzz平均軌道面延拓計(jì)算中可忽略的延拓誤差最大高度

軌道高度差異最大值可表示為Δhmax＝2rsine，由于GOCE衛(wèi)星偏心率e＜0.001，由此Δhmax≈2re＝13.3km，而空域法重力場(chǎng)恢復(fù)延拓中通常是取平均軌道作為參考面，因此平均延拓的最大高度

依據(jù)上一節(jié)解析公式的計(jì)算結(jié)果，若要滿足1mE（1mE＝10－12s－2）的延拓精度要求，對(duì)于而言可忽略的延拓誤差最大高度約0.8km，而對(duì)而言約為13.4km。

顯然，如果以GOCE衛(wèi)星平均軌道面為基準(zhǔn)面，實(shí)際延拓處理中可忽略二階以上的高階項(xiàng)影響，即用泰勒展開一階即可滿足精度要求，即

而對(duì)小于0.8km的延拓高度可忽略不計(jì)，可不作延拓處理。

5 計(jì)算驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文解析公式的正確性，模擬10d的GOCE衛(wèi)星Tzz數(shù)據(jù)，采樣間隔為5s，衛(wèi)星高度約為250km，重力場(chǎng)采用EGM96模型截至200階。采用嚴(yán)格公式（7）、（8）計(jì)算結(jié)果見圖3、4，然后統(tǒng)計(jì)其標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式見式的計(jì)算公式與之類似。將上述計(jì)算結(jié)果作為“真值”，將解析公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差與“真值”進(jìn)行比較，結(jié)果見表3。

表3 解析結(jié)果與嚴(yán)格公式計(jì)算結(jié)果比較Tab.3 The comparison between analytical formula and strict formula

圖3 公式（7）計(jì)算出的˙Tzz結(jié)果Fig.3 The results of˙Tzzfrom formula（7）

圖4 公式（8）計(jì)算出的¨Tzz結(jié)果Fig.4 The results of¨Tzzfrom formula（8）

6 結(jié)束語(yǔ)

GOCE數(shù)據(jù)預(yù)處理及重力場(chǎng)恢復(fù)中經(jīng)常涉及重力梯度數(shù)據(jù)的延拓，利用衛(wèi)星重力梯度一階、二階徑向偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差信息能對(duì)可忽略的延拓誤差最大高度進(jìn)行估算和判別，以此確定延拓處理的必要性。從解析角度出發(fā)，推導(dǎo)出徑向重力梯度Tzz一階、二階徑向偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的近似解析計(jì)算公式，由此對(duì)GOCE衛(wèi)星Tzz可忽略的延拓誤差最大高度進(jìn)行估算，并利用嚴(yán)格公式的計(jì)算結(jié)果對(duì)近似解析表達(dá)式的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，解析公式形式簡(jiǎn)單，其計(jì)算結(jié)果與實(shí)際結(jié)果吻合較好。本文的所推導(dǎo)出的解析公式可較容易推廣到Tzz的N階徑向偏導(dǎo)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算情形。

［1］ ALBERTELLA A，MIGLIACCIO F，SANSO F.From E?tv?s to mGal［R］.Noordwijk：ESA／ESTEC，2000.

［2］ XU Tianhe，HE Kaifei.Outlier Snooping Based on the Test Statistic of Moving Windows and Its Applications in GOCE Data Preprocessing［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38（5）：391－396.（徐天河，賀凱飛.移動(dòng)開窗檢驗(yàn)法及其在GOCE數(shù)據(jù)粗差探測(cè)中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2009，38（5）：391－396.）

［3］ XU Xinyu，LI Jiancheng，WANG Zhengtao，et al.The Simulation Research on the Tikhonov Regularization Applied in Gravity Field Determination of GOCE Satellite Mission［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（5）：465－470.（徐新禹，李建成，王正濤，等.Tikhonov正則化方法在GOCE重力場(chǎng)求解中的模擬研究［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2010，39（5）：465－470.）

［4］ WU Xing，ZHANG Chuanding，ZHAO Dongming.Generalized Torus Harmonic Analysis of Satellite Gravity Gradients Component［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2009，38（2）：471－477.（吳星，張傳定，趙東明.衛(wèi)星重力梯度分量的廣義輪胎調(diào)和分析 ［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2009，38（2）：101－107.）

［5］ WU Xing，ZHANG Chuanding，LIU Xiaogang.Leastsquares Harmonic Analysis of Radial Satellite Gravity Gradients［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2010，39（5）：471－477.（吳星，張傳定，劉曉剛.衛(wèi)星重力徑向梯度數(shù)據(jù)的最小二乘配置調(diào)和分析 ［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2010，39（5）：471－477.）

［6］ TOTH G，F(xiàn)OLDVARY L.Effect of Geopotential Model Errors on the Projection of GOCE Gradiometer Observables［C］∥Gravity，Geoid and Space Missions，IAG International Symposium.Portugal：IAG，2004.

［7］ JARECKI F，WOLF K I，DENKER H，et al.Observation of the Earth System from Space［M］.Berlin：Springer，2006：271－285.

［8］ MüLLER J，JARECKI F，WOLF K I.External Calibration and Validation of GOCE Gradients［C］∥Gravity and Geoid 2002 3rd Meeting of the International Gravity and Geoid Commission.Thessaloniki：Ziti Editions，2003：268－274.

［9］ MULLER J.GOCE Gradients in Various Reference Frame and Their Accuracies［J］.Advances in Geosciences，2003（1）：33－38.

［10］ JARECKI F，MULLER J.Validation of GOCE Gradients Using Crossovers，in Geotechnologien：Observation of the System Earth from Space［R］.Karlsruhe：Geotechnologien，2003.

［11］ JARECKI F，MULLER J.GOCE Gradiometer Validation in Satellite Track Cross－overs［C］∥Proceeding of the 1st International Symposium of the International Gravity Field Service.Istanbul：International Association of Geodesy，2006.

［12］ JARECKI F，MULLER J.Robust Trend Estimation from GOCE SGG Satellite Track Cross－over Differences［C］∥Observing Our Changing Earth，International Association of Geodesy Symposia.Perugia：International Association of Geodesy，2009：363－369.

［13］ YANG Xue.GOCE Sensitivity Studies in Terms of Crossover Analysis［D］.Stuttgart：University of Stuttgart，2009.

［14］ MIGLIACCIO F，REFUNZZONI M，SANSO F，et al.The Latest Test of the Space－wise Approach for GOCE Data Analysis［C］∥Proceedings of the 3rd International GOCE User Workshop.Frascati：ESRIN，2007：241－247.

［15］ ARABELOS D，TSCHERNING C C.On a Strategy for the Use of GOCE Gradiometer Data for the Development of a Geopotential Model by LSC［C］∥Proceedings of the 3rd International GOCE User Workshop.Frascati：ESRIN，2007：69－75.

［16］ RUMMEL R，KOOP M，KOOP R，et al.Spherical Harmonic Analysis of Satellite Gradiometry［M］.Delft：Netherlands Geodetic Commission，1993.

［17］ KOOP R.Global Gravity Field Modelling Using Satellite Gravity Gradiometry［M］.Delft：Netherlands Geodetic Commission，1993.

［18］ KAULA W M.Theory of Satellite Geodesy［M］.Waltham：Blaisdell Publishing Company，1966.

［19］ Writing Group of Mathematical Manual.Mathematical Manual［M］.Beijing：Press of Higher Education，2004.（數(shù)學(xué)手冊(cè)編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè)［M］.北京：高等教育出版社，2004.）