王任杰，章躍進(jìn)

(上海大學(xué)，上海200072)

0 引 言

隨著永磁材料的開發(fā)利用以及電機(jī)設(shè)計(jì)與分析技術(shù)、電力電子技術(shù)、微電子技術(shù)以及控制理論的迅速發(fā)展，高性能的交流調(diào)速系統(tǒng)在許多高科技領(lǐng)域得到了非常廣泛的應(yīng)用，如機(jī)器人控制、數(shù)控機(jī)床、大規(guī)模集成電路制造、雷達(dá)與各種軍用武裝跟隨系統(tǒng)、航空航天以及柔性制造系統(tǒng)等。

高性能交流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的控制方法中，無論是矢量控制還是直接轉(zhuǎn)矩控制，要達(dá)到良好的性能，都需要建立精確的電機(jī)數(shù)學(xué)模型。經(jīng)典的交流電機(jī)數(shù)學(xué)模型是以電機(jī)氣隙磁場(chǎng)正弦分布為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的。但是，隨著電機(jī)結(jié)構(gòu)的日新月異，新型永磁電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)并非呈現(xiàn)正弦分布，電機(jī)鐵心不同部分的飽和情況也與轉(zhuǎn)子位置和電流有關(guān)，經(jīng)典模型無法準(zhǔn)確描述新型永磁電機(jī)的非線性因素，因此，難以與實(shí)際情況相符。

如何得到永磁同步電動(dòng)機(jī)這樣一個(gè)非線性、強(qiáng)耦合、參數(shù)時(shí)變的多變量系統(tǒng)的精確的數(shù)學(xué)模型又重新成為了一個(gè)值得思考和研究的問題。令人欣喜的是，近年來，隨著有限元磁場(chǎng)計(jì)算方法的逐步完善，對(duì)于這樣一個(gè)問題已經(jīng)能夠給出令人滿意的數(shù)值解了。這樣得到的離散的非線性數(shù)學(xué)模型能夠比較方便地在計(jì)算機(jī)上用于交流調(diào)速系統(tǒng)的離線仿真，為控制系統(tǒng)的構(gòu)建提供更好的參考。

1 永磁同步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型

1.1 永磁同步電動(dòng)機(jī)的非線性數(shù)學(xué)模型

經(jīng)典的永磁同步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型難以考慮鐵心飽和以及電機(jī)磁感應(yīng)強(qiáng)度非正弦分布所引起的非線性因素，而這一問題主要體現(xiàn)在電感參數(shù)上?？紤]磁路飽和因素，電機(jī)電感既是轉(zhuǎn)子位置的函數(shù)，又是繞組電流的函數(shù)。電機(jī)運(yùn)行時(shí)，電感參數(shù)不僅隨時(shí)間變化，也與電流有關(guān)。為了提高計(jì)算準(zhǔn)確性，需將電機(jī)內(nèi)部磁場(chǎng)的變化和電流的變化同時(shí)考慮。文獻(xiàn)［2］通過多次磁場(chǎng)計(jì)算求得電機(jī)繞組在不同電流組合和轉(zhuǎn)子位置時(shí)的磁鏈值，為電機(jī)動(dòng)態(tài)仿真作好了數(shù)據(jù)準(zhǔn)備;在此基礎(chǔ)上建立磁鏈函數(shù)描述的電機(jī)非線性動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真。由于仿真計(jì)算采用的是精確的磁鏈函數(shù)模型，計(jì)算精度有保證。由于動(dòng)態(tài)仿真與磁場(chǎng)計(jì)算分開進(jìn)行，仿真過程中不僅可以計(jì)算轉(zhuǎn)速變化的過程，也可僅考慮電磁動(dòng)態(tài)過程，設(shè)定轉(zhuǎn)速恒定，提高仿真效率。另外，電路仿真獨(dú)立進(jìn)行更能適應(yīng)外接電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化，有利于提高方法的通用性。

在定子靜止坐標(biāo)系下電機(jī)定子的電壓方程式:

式中:us為定子三相電壓，us=［uaubuc］T;is為定子三相電流，is=［iaibic］T;Rs為定子繞組電阻矩陣，Rs=diag［r r r］T;p 為微分算子;ψs為定子繞組磁鏈，ψs=［ψaψbψc］T。上標(biāo) T表示轉(zhuǎn)置，下標(biāo)s表示定子，a、b、c表示三相繞組。

考慮到繞組端部漏電感為常數(shù)，為了分析方便，將其從總磁鏈中分離出來，并用下標(biāo)l表示，則磁鏈方程式:

式中:下標(biāo)m表示主磁鏈及互磁鏈，與磁路飽和及轉(zhuǎn)子位置有關(guān)，可表示:

為獲得以上關(guān)系式，需設(shè)定不同的電流組合，通過多次磁場(chǎng)計(jì)算得到。采用旋轉(zhuǎn)電機(jī)磁場(chǎng)數(shù)值解析結(jié)合法進(jìn)行磁場(chǎng)計(jì)算，由于氣隙無網(wǎng)格，轉(zhuǎn)子能夠自由地轉(zhuǎn)動(dòng)，在計(jì)算磁鏈函數(shù)時(shí)顯示了優(yōu)越性。為了與前述的一般數(shù)學(xué)模型更好地比較，也將上述的三相磁鏈變換到d、q軸系，同時(shí)為了方便比較和討論，忽略了端部漏磁鏈。由此得到了下面的定子電壓方程:

式中:ud、uq為定子電壓 d、q 軸分量;id、iq為定子電流 d、q軸分量;ψd、ψq為定子磁鏈 d、q軸分量;ωr為轉(zhuǎn)子電角速度;Rs為定子繞組電阻。上式中的d、q軸磁鏈?zhǔn)请娏骱娃D(zhuǎn)子位置角的多元函數(shù)，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，可得:

由此得到了永磁同步電動(dòng)機(jī)非線性模型的定子電壓和磁鏈方程，電磁轉(zhuǎn)矩同樣也可以通過磁場(chǎng)計(jì)算求得 Te=f(id，iq，θ)，而運(yùn)動(dòng)方程:

式中:Te為電磁轉(zhuǎn)矩;Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩;ωr為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度;J為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;RΩ為粘滯系數(shù)。

1.2 磁鏈與電磁轉(zhuǎn)矩非線性函數(shù)

本文的控制對(duì)象是一臺(tái)10極/12槽的采用轉(zhuǎn)子偏心氣隙設(shè)計(jì)的永磁同步電動(dòng)機(jī)，其定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖2是d軸磁鏈函數(shù)曲面，圖3是q軸磁鏈函數(shù)曲面，圖4是永磁同步電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩函數(shù)曲面，為了在三維空間顯示圖形，將id設(shè)定為零。其中轉(zhuǎn)子位置角所取范圍為 θr=［0°，60°］電角度，電流 iq=［0，18］，轉(zhuǎn)子位置每隔2°取一點(diǎn)，電流每隔1 A取一點(diǎn)。

從圖2可以十分明顯地看出，d軸磁鏈隨著轉(zhuǎn)子電角度和電流的變化而變化，雖然變化不大(最大值與最小值也只有差了0.003 3 Wb)，但由于此電機(jī)的極對(duì)數(shù)為5，同時(shí)考慮q軸電流的變化范圍，這樣小的變化反映到電磁轉(zhuǎn)矩上也會(huì)引起不小的波動(dòng)。從圖3、圖5、圖6可以看到，q軸磁鏈也隨著轉(zhuǎn)子電角度和電流的變化而變化，但是q軸磁鏈主要隨著iq的增加而增加，但是從圖5中也可以看出，q軸磁鏈也不是隨著iq線性增長的，隨著iq的增加，q軸磁鏈的增加越來越小。綜上所述，d、q軸磁鏈和電磁轉(zhuǎn)矩都是轉(zhuǎn)子電角度和電流的多元函數(shù)，采用永磁同步電動(dòng)機(jī)的非線性模型比一般的數(shù)學(xué)模型能更精確地描述電機(jī)的非線性因素。

圖1 永磁同步電動(dòng)機(jī)定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖

2 支持向量機(jī)用于模型擬合

上述得到的非線性模型是數(shù)值的離散模型，無論是仿真研究還是實(shí)際電機(jī)的運(yùn)行都是連續(xù)的模型，至少是步長很小的離散模型。如果通過磁場(chǎng)計(jì)算得到步長極小的離散模型，需要大量的計(jì)算時(shí)間。因此本文采用支持向量機(jī)方法獲得上述非線性模型的回歸函數(shù)，以供仿真研究使用。

2.1 機(jī)器學(xué)習(xí)方法

基于數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)是現(xiàn)代智能技術(shù)中十分重要的一個(gè)方面。機(jī)器學(xué)習(xí)的目的是根據(jù)給定的訓(xùn)練樣本對(duì)某系統(tǒng)輸入輸出之間依賴關(guān)系進(jìn)行估計(jì)。一般情況下，只有訓(xùn)練樣本數(shù)趨于無窮多時(shí)，經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)才收斂于實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，但是，在實(shí)際應(yīng)用中，樣本數(shù)據(jù)往往是有限的。因此，很有必要研究在有限樣本情況下的機(jī)器學(xué)習(xí)理論。

Vapnik 等人根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論［3－4］，發(fā)展了一種通用學(xué)習(xí)方法－支持向量機(jī)(以下簡稱SVM)。作為一種小樣本學(xué)習(xí)方法，在實(shí)際應(yīng)用中體現(xiàn)出強(qiáng)有力的生命力。通過多年的深入研究，SVM已發(fā)展成為機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域的重要工具。因而，統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論和支持向量機(jī)受到越來越廣泛的重視。

支持向量機(jī)是通過事先選擇的非線性映射，將輸入向量映射到一個(gè)高維特征空間，在這個(gè)空間構(gòu)造最優(yōu)分類超平面的實(shí)現(xiàn)過程。其基本思想如圖7所示。

如圖7所示，它形式上類似神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸出是中間結(jié)點(diǎn)的線性組合，每個(gè)中間節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)支持向量。支持向量機(jī)通過引入核函數(shù)將輸入空間映射成高維的特征空間(Hilbert空間)，然后在特征空間中尋找最優(yōu)超平面。核函數(shù)K需要滿足Mercer條件:

圖7 支持向量機(jī)示意圖

該過程可表述為:將輸入向量x通過映射Rn→H映射到高維Hilbert空間中。核函數(shù)的引入繞過特征空間，直接在輸入空間上求取，從而避免了計(jì)算非線性映射［4］。

目前常用的核函數(shù)有:

(1)線性核函數(shù):k(xi，xj)=xi·xj;

(2)多項(xiàng)式核函數(shù):k(xi，xj)=(xi·xj+c)d;

(4)多層感知器核函數(shù):k(xi，xj)=tanh(kxi·xj+θ);

(5)B 樣條核函數(shù):k(xi，xj)=B2N+1(‖xixj‖)。核函數(shù)的選擇需要一定的先驗(yàn)知識(shí)，目前還沒有一般性的結(jié)論［5］。

2.2 本文采用的算法和擬合結(jié)果分析

本文采用自適應(yīng)迭代最小二乘支持向量機(jī)回歸學(xué)習(xí)算法(Support Vector Regression，AILSSVR)［6］，算法對(duì) ψd=f(id，iq，θr)，ψq=f(id，iq，θr)和 T=f(id，iq，θr)模型進(jìn)行擬合，以得到永磁同步電動(dòng)機(jī)的直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)的磁鏈和電磁轉(zhuǎn)矩的估計(jì)公式，同時(shí)用于構(gòu)建一個(gè)非線性永磁同步電動(dòng)機(jī)模型。

為與前面的數(shù)值計(jì)算結(jié)果相比較，對(duì)應(yīng)圖2～圖4列出對(duì) ψd=f(id，iq，θr)，ψq=f(id，iq，θr)和 T=f(id，iq，θr)的擬合結(jié)果。

從圖8～圖10可以看出，AILSSVR學(xué)習(xí)算法對(duì)于前述的永磁同步電動(dòng)機(jī)的非線性數(shù)值模型的整體擬合度還是令人滿意的，對(duì)于d軸磁鏈的相對(duì)擬合誤差的最大值為0.11%，q軸磁鏈的相對(duì)擬合誤差的最大值為4.7%，電磁轉(zhuǎn)矩的相對(duì)擬合誤差的最大值為7.4%。從圖11～圖13可以看出AILSSVR學(xué)習(xí)算法的擬合效果還是相當(dāng)不錯(cuò)，圖11的d軸磁鏈的絕對(duì)擬合誤差的最大值分別為0.000 1 Wb、0.000 1 Wb，圖12的q軸磁鏈的絕對(duì)擬合誤差的最大值分別為0.000 2 Wb、0.000 2 Wb，圖13 的電磁轉(zhuǎn)矩的絕對(duì)擬合誤差的最大值分別為0.039 8 N·m、0.027 2 N·m。綜上所述，AILSSVR學(xué)習(xí)算法對(duì)于永磁同步電動(dòng)機(jī)的非線性數(shù)值模型的擬合精度是可以接受的。

3 基于非線性模型的永磁同步電動(dòng)機(jī)SVMDTC的仿真研究

圖14為基于非線性模型的永磁同步電動(dòng)機(jī)的SVM－DTC系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖。此系統(tǒng)使用了給定電壓矢量發(fā)生器和一個(gè)空間電壓矢量調(diào)制單元替代了經(jīng)典直接轉(zhuǎn)矩中的兩個(gè)磁鏈、轉(zhuǎn)矩滯環(huán)控制器和開關(guān)電壓矢量表，同時(shí)利用速度、電流傳感器檢測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)子位置和定子三相電流，通過Clarke和Park變換，將定子三相坐標(biāo)系中的電流變量變換為dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中兩相分量。再通過前述的永磁同步電動(dòng)機(jī)的非線性數(shù)值模型來估計(jì)電磁轉(zhuǎn)矩和定子磁鏈。這樣使得磁鏈和轉(zhuǎn)矩的估計(jì)更準(zhǔn)確，控制電壓矢量的選擇也更準(zhǔn)確。其仿真模型如圖15所示。

圖14 基于非線性模型的永磁同步電動(dòng)機(jī)的SVM－DTC系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖

圖15 基于非線性模型的永磁同步電動(dòng)機(jī)的SVM－DTC系統(tǒng)的仿真結(jié)構(gòu)圖

本文的研究對(duì)象是一臺(tái)10極/12槽的采用轉(zhuǎn)子偏心氣隙設(shè)計(jì)的永磁同步電動(dòng)機(jī)。此電機(jī)的參數(shù)如下:極對(duì)數(shù)5;額定功率1 000 W;額定電壓220 V;額定轉(zhuǎn)速2 000 r/min;額定轉(zhuǎn)矩4.7 N·m。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的DTC系統(tǒng)在減小轉(zhuǎn)矩和磁鏈脈動(dòng)方面的有效性，同時(shí)也進(jìn)行了傳統(tǒng)的直接轉(zhuǎn)矩控制系統(tǒng)的仿真。

圖16和圖17都為系統(tǒng)給定轉(zhuǎn)速100 r/min，在t=0.02 s時(shí)，負(fù)載轉(zhuǎn)矩由0突變?yōu)? N·m，逆變器開關(guān)頻率為15 kHz下的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩、磁鏈圖。從圖16和圖17中可以看出，兩種控制方法的磁鏈運(yùn)動(dòng)軌跡都為圓形，轉(zhuǎn)矩響應(yīng)快。但是基于非線性模型的永磁同步電動(dòng)機(jī)的SVM－DTC系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，磁鏈和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)明顯減小，改善了控制系統(tǒng)性能。

圖16 傳統(tǒng)的永磁同步電動(dòng)機(jī)DTC系統(tǒng)仿真波形圖

圖17 基于非線性模型的永磁同步電動(dòng)機(jī)的SVM－DTC系統(tǒng)仿真波形圖

4 結(jié) 語

本文嘗試采用支持向量機(jī)擬合了通過磁場(chǎng)計(jì)算得到的永磁同步電動(dòng)機(jī)的非線性數(shù)值模型，通過計(jì)算數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)的比較分析說明了擬合模型的精度。

永磁同步電動(dòng)機(jī)的非線性數(shù)值模型精確地考慮了磁路的飽和效應(yīng)影響，為永磁同步電動(dòng)機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、性能分析及控制算法的研究提供了有效的工具。

通過基于非線性模型的永磁同步電動(dòng)機(jī)的SVM－DTC系統(tǒng)與傳統(tǒng)的永磁同步電動(dòng)機(jī)控制DTC系統(tǒng)仿真結(jié)果的比較分析表明，采用非線性模型的控制系統(tǒng)對(duì)磁鏈和轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)有一定的改善。

［1］王成元，夏加寬，楊俊友，等.電機(jī)現(xiàn)代控制技術(shù)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2006:79－103.

［2］章躍進(jìn).旋轉(zhuǎn)電機(jī)磁場(chǎng)計(jì)算數(shù)值解析結(jié)合法研究［D］.上海大學(xué)，2005.

［3］Vapnik V.The nature of statistical learning theory［M］.New York:Springer－Verlag，1995.

［4］Vapnik V.Statistical learning theory［M］.New York:Springer－Verlag，1998.

［5］Simon Haykin.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理［M］.葉世偉，史忠植，譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

［6］吳春國.廣義染色體遺傳算法與迭代式最小二乘支持向量機(jī)回歸算法研究［D］.吉林大學(xué)，2006.