張智奇

(忻州市第一中學(xué) 山西 忻州 034000)

郝占朋

(大理市第一中學(xué) 云南 大理 671003)

在人民教育出版社《物理·必修2》第六章第一節(jié)行星的運(yùn)動(dòng)中，把開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律做了近似處理：以太陽為圓心，地球繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng).這樣做合理嗎?下面，采用三種方法來論證，說明這樣處理的合理性.

1 理論計(jì)算

為了問題的簡便，不考慮其他星體的影響，那么太陽與地球間的問題屬于雙星問題.在萬有引力的作用下，為了保持各自的穩(wěn)定，他們必然繞他們之間的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)各自做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖1所示.那么如何計(jì)算這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的位置呢?

1.1 常規(guī)算法

由高中的知識(shí)(雙星系統(tǒng)中角速度相同)并結(jié)合圖1，圖中S表示太陽中心，其質(zhì)量為M;E表示地球，其質(zhì)量為m；O為二者的共同圓心；SO長為r1，EO長為r2，SE長為r.根據(jù)萬有引力公式很容易列出以下三式

圖1

r1+r2=r

(1)

(2)

(3)

由(1)～(3)式得

(4)

1.2 質(zhì)心法

質(zhì)心的定義

將上式求二階導(dǎo)數(shù)得

其中M總為系統(tǒng)的總質(zhì)量，F(xiàn)合為系統(tǒng)所受合外力.

由上式知

M總ac=F合

如果把太陽與地球看做一個(gè)系統(tǒng)，此系統(tǒng)不受外力的作用，此系統(tǒng)的質(zhì)心只能做勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止，根據(jù)常識(shí)，此系統(tǒng)的質(zhì)心只能靜止的.從而太陽和地球都繞其質(zhì)心做圓周運(yùn)動(dòng).如圖1所示，建立一維坐標(biāo)系Ox來求質(zhì)心，得

(5)

至此，根據(jù)(4)、(5)式，可以發(fā)現(xiàn)太陽到不動(dòng)點(diǎn)(質(zhì)心)的距離的表達(dá)式是一樣的.可以知道太陽的質(zhì)量mS=1.97×1030kg，半徑rS=6.963×108m，地球的質(zhì)量mE=6.68×1024kg，地球與太陽間的距離為rSE=1.49×1011m.

將以上數(shù)據(jù)代入(4)、(5)式可得

r1=rc=4.6 km

rc?rS，可見，質(zhì)心離太陽的中心很近，太陽繞其內(nèi)部的某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).由此可以看來，把太陽的中心看做地球繞其做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是可以的.

1.3 坐標(biāo)系法

建立如圖2所示坐標(biāo)系，地球E和太陽S間繞點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).

圖2

設(shè)地球的質(zhì)量為m，太陽的質(zhì)量為M，分別可得

(6)

(7)

由(6)式乘以m和(7)式乘以M得

(8)

(9)

(8)式減去(9)式得

以太陽為圓心，將式變形為

(10)

一般情況下，M?m,故

(10)式近似表述為

所以，把太陽的中心近似為地球繞其作圓周運(yùn)動(dòng)的圓心是可以的.

2 理論拓展

以上推導(dǎo)是以太陽和地球?yàn)檠芯繉ο?，且不考慮其他星球的影響.如果考慮到其他星球的影響，那么太陽還是各行星做圓周運(yùn)動(dòng)的中心嗎？(r是軌道半徑，rc是太陽中心到質(zhì)心距離)

表1 各行星計(jì)算數(shù)據(jù)

由以上數(shù)據(jù)知太陽與每一個(gè)行星組成的雙星系統(tǒng)中，其質(zhì)心都在太陽(rS=6.963×105km)的內(nèi)部或表面，所以太陽可以看做是所有這些行星做圓周運(yùn)動(dòng)的中心.

1 賈書惠.理論力學(xué)教程.北京：高等教育出版社，2008

2 趙凱華，羅蔚茵.力學(xué).北京：高等教育出版社，2006