羅二輝 王曉冬

（1.中國石油勘探開發(fā)研究院； 2.中國地質(zhì)大學(xué)（北京））

低滲透儲層存在低速非達西滲流現(xiàn)象，可用帶啟動壓力梯度的非Darcy方程來描述其滲流過程［1－5］。存在啟動壓力梯度時，壓力傳播并非瞬時達到無窮遠，而是存在一個動邊界（壓力擾動外邊界）［6－7］。由于啟動壓力梯度和動邊界的共同作用大大增強了不定常滲流方程的非線性和非齊次性，不少學(xué)者采取近似求解或利用數(shù)值方法進行求解［6－9］。我國許多低滲透油田儲層裂縫都比較發(fā)育，其開發(fā)特征與單純低滲透油藏不同［10］。針對雙重孔隙低滲介質(zhì)，許多研究者都以 Warren－Root雙重介質(zhì)模型為基礎(chǔ)進行了有益探索［11－17］；然而，研究者往往忽略了動邊界的存在，這雖然極大地簡化了復(fù)雜非線性模型的求解難度，但不能準確反映雙重低滲介質(zhì)中壓力傳播規(guī)律［11－16］。劉啟國等［17］采取格林函數(shù)法與固定邊界模型相結(jié)合的數(shù)值逼近方法研究了動邊界對低滲雙重介質(zhì)試井曲線的影響，目前還沒有人給出同時考慮啟動壓力梯度和動邊界影響的雙重介質(zhì)不定常滲流問題比較完整的解析結(jié)果。筆者改進了無量綱壓力定義，由此消除控制方程組的非齊次性，從而解析求出動邊界運動方程和壓力分布。

1 考慮啟動壓力梯度和動邊界交互作用的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)在平面無限大雙重介質(zhì)低滲地層中，儲層厚度均勻，介質(zhì)微可壓縮且各向同性，滲透率和流體粘度、體積系數(shù)等不隨壓力變化，忽略重力和毛管力的影響?？紤]有一口生產(chǎn)井以定產(chǎn)量生產(chǎn)，滲流滿足低速非達西定律，采用Warren－Root模型描述雙重介質(zhì)。首先在SI單位制下定義無量綱量。

無量綱壓力、無量綱井壁壓力及無量綱壓力導(dǎo)數(shù)為

無量綱時間、無量綱徑向距離和動邊界為

無量綱啟動壓力梯度為

在上述無量綱定義下，雙重介質(zhì)不定常滲流模型為

其中：

初始條件為

內(nèi)邊界定產(chǎn)條件為

外邊界移動界面條件為

對方程（1）～（7）作Laplace變換，則方程和定解條件變成如下形式：

其中：

聯(lián)立方程（8）和方程（9），得

式（8）～（13）中：

2 定解問題的解

解析求解方程組（10）～（13）可分為兩步，先由方程（10）、（11）、（13）組成（邊界移動的）封閉儲層不定常滲流控制方程組進行解析求解，再將解析解式代入式（12）得到動邊界運動方程，即：

（1）對由式（10）、（11）、（13）組成的方程組解析求解，得到Laplace空間壓力分布解式為

（2）將式（14）代入式（12）得到動邊界運動方程為

在得到式（15）的過程中應(yīng)用了Bessel函數(shù)相應(yīng)的Wronskians關(guān)系式。

計算過程中首先利用牛頓迭代方法在Laplace變換域中計算式（15），再采用Stehfest數(shù)值反演方法［18］計算式（14），得到儲層無量綱壓力分布或井壁壓力分布。

有效井徑模型和Duhamel褶積分別包含了表皮效應(yīng)和井筒存儲效應(yīng)，據(jù)此定義無量綱井筒存儲系數(shù)

式（16）中：C 為井筒存儲系數(shù)，m3/MPa。

根據(jù)Duhamel褶積，在Laplace變換域中受井筒存儲和表皮效應(yīng)影響的井底壓力計算方法［19］是

式（17）中：Skin為表皮因子（無量綱）。

3 敏感參數(shù)分析

根據(jù)式（14）、（15）繪制出動邊界傳播規(guī)律和井壁壓力動態(tài)特征曲線如圖1～4所示。由圖1～4可知，雙重低滲介質(zhì)中壓力動態(tài)變化經(jīng)歷3個階段：裂縫系統(tǒng)的滲流、基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流、基巖系統(tǒng)和裂縫系統(tǒng)混合流。由于啟動壓力梯度和動邊界的影響，壓力導(dǎo)數(shù)曲線在后期不再表現(xiàn)為水平直線段，而是呈現(xiàn)上翹趨勢，這表明由于動邊界的作用，即使考慮為無窮大邊界，單井的控制范圍也是有限的。

圖1示出了啟動壓力梯度對動邊界傳播規(guī)律的影響，在其它參數(shù)不變的情況下，啟動壓力梯度增大，壓力擾動傳播的速度變慢，曲線中間的平穩(wěn)段是由于基巖系統(tǒng)向裂縫系統(tǒng)的竄流引起，代表了雙重介質(zhì)有別于單純介質(zhì)的過渡流特征。圖2示出了啟動壓力梯度對井底壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響，在其它參數(shù)一定時，由于啟動壓力梯度和動邊界的影響，壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期出現(xiàn)上翹；隨著啟動壓力梯度增加，無量綱壓力增加，而無量綱壓力是正比于壓力降落的，它的增加說明滲流過程中能量損失增加。圖3、4分別為竄流系數(shù)和彈性儲容比對壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響，可以看出，兩者區(qū)別于中高滲雙重介質(zhì)的特征在于由動邊界作用引起的壓力導(dǎo)數(shù)曲線的后期上翹特征。

根據(jù)式（17）計算得到受參數(shù)團CDe2Skin和GD影響的不穩(wěn)定試井分析典型曲線圖版（圖5）。圖5表明，由于受到井筒存儲的影響，不穩(wěn)定壓力變化早期不能體現(xiàn)出啟動壓力梯度的特別影響，但進入中后期井筒存儲影響漸弱，啟動壓力梯度和動邊界的作用變得明顯，這與圖2的結(jié)果一致。

圖5 不同CDe2Skin對壓力及壓力導(dǎo)數(shù)的影響

4 結(jié)論

（1）通過引入新定義的無量綱壓力，對非齊次非線性非穩(wěn)態(tài)滲流方程進行無量綱化，在保證初始條件方程齊次性的同時消除了控制方程的啟動壓力梯度非線性項，從而方便進行解析求解。

（2）低滲雙重介質(zhì)敏感參數(shù)分析結(jié)果表明，啟動壓力梯度對動邊界傳播、井壁壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線有較大影響，并且動邊界引起壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期上翹；不同彈性儲容比和竄流系數(shù)條件下低滲雙重介質(zhì)井壁壓力導(dǎo)數(shù)曲線區(qū)別于中高滲雙重介質(zhì)之處在于其后期有上翹特征，這表明低滲雙重介質(zhì)滲流過程中能量損失增加。

（3）給出的低滲雙重介質(zhì)考慮啟動壓力梯度、包含井筒存儲和表皮效應(yīng)的不穩(wěn)定試井分析典型曲線圖版表明，由于受到井筒存儲的影響，不穩(wěn)定壓力變化早期不能體現(xiàn)出啟動壓力梯度的特別影響，但進入后期，啟動壓力梯度和動邊界的作用變得明顯。

符號注釋

Kf—裂縫滲透率，mD；Km—基巖滲透率，mD；h—儲層厚度，m；q—井產(chǎn)量，m3/d；μ—原油粘度，mPa·s；B—原油體積系數(shù)；pi—原始地層壓力，MPa；pf—裂縫系統(tǒng)壓力，MPa；pm—基巖壓力，MPa；t—延續(xù)時間，h；φ—儲層孔隙度，f；c—系統(tǒng)壓縮系數(shù)，1/MPa；rw—井筒半徑，m；rf—壓力擾動外邊界，m；G—啟動壓力梯度，MPa/m；ω—彈性儲容比；λ—竄流系數(shù)；Ij（x）—j階第一類變型Bessel函數(shù)（j＝0，1）；Kj（x）—j階第二類變型Bessel函數(shù)（j＝0，1）；s—Laplace變換量。

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