張波

(陜西理工學(xué)院土木工程與建筑系，陜西漢中 723001)

軸向流動(dòng)中可移動(dòng)彈性支承黏彈性圓柱體的動(dòng)力特性

張波

(陜西理工學(xué)院土木工程與建筑系，陜西漢中 723001)

分析了軸向流動(dòng)中可移動(dòng)彈性支承對黏彈性圓柱體動(dòng)力特性的影響。以彈性支承點(diǎn)為分界點(diǎn)，分段建立了運(yùn)動(dòng)微分方程，同時(shí)還建立滿足支承點(diǎn)處的連續(xù)條件。應(yīng)用微分求積法導(dǎo)出其特征方程，運(yùn)用Matlab語言編程求解黏彈性圓柱體在軸向流動(dòng)中的前三階復(fù)頻率，對可移動(dòng)彈性支承的彈簧剛度和支承點(diǎn)位置對圓柱體動(dòng)力特性的影響進(jìn)行了分析。

動(dòng)力特性 軸向流動(dòng) 黏彈性圓柱體 可移動(dòng)彈性支承

1 圓柱繞流問題

物體繞流是日常生活和工程實(shí)際中普遍存在的現(xiàn)象，圓柱繞流問題也是流體力學(xué)的經(jīng)典研究課題，在許多實(shí)際工程問題中有非常重要的意義。例如，航天工業(yè)、發(fā)電和送變電工程(橋梁、建筑物、煙囪)、架空電纜以及海底技術(shù)等，經(jīng)常會(huì)遇到旋渦脫落誘發(fā)的流體動(dòng)力載荷和結(jié)構(gòu)振動(dòng)問題。然而國內(nèi)外學(xué)者大部分都是從彈性或剛性圓柱體的角度來研究流體誘發(fā)振動(dòng)問題的［1-2］，但是，實(shí)際上像塑料、橡膠、混凝土以及金屬等工業(yè)材料，巖石、土壤、石油、礦物等地質(zhì)材料，常同時(shí)具有彈性和黏性兩種不同機(jī)理的形變，綜合體現(xiàn)黏性流體和彈性固體兩者的特性，很少有人從黏彈性材料的角度出發(fā)來研究這個(gè)問題。本文是在前人研究成果的基礎(chǔ)之上，研究了軸向流動(dòng)中可移動(dòng)彈性支承的彈簧剛度和支承點(diǎn)位置對黏彈性圓柱體動(dòng)力特性的影響。

2 黏彈性圓柱體的特征方程

如圖1所示，在x=x1處有一個(gè)可移動(dòng)彈性支承的黏彈性圓柱體。假定圓柱體的運(yùn)動(dòng)全部限制在x—y平面內(nèi)，其材料服從Kelvin模型［3-4］，即

式中，σ為正應(yīng)力，e為線應(yīng)變，E為彈性模量，η為黏性系數(shù)。

圖1 軸向流動(dòng)中具有可移動(dòng)彈性支承黏彈性圓柱體

設(shè)兩端的線彈簧剛度分別為k1和k2，轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度分別為c1和c2;y為圓柱體撓度;m為圓柱體單位長度質(zhì)量;ma為圓柱體單位長度附加質(zhì)量(ma=ρVCm，其中ρ為流體密度，V是圓柱體的體積，Cm為附加質(zhì)量系數(shù));u為流動(dòng)速度;EI為抗彎剛度;D為圓柱體直徑;l為圓柱體長度，將該圓柱體分成兩段，即［x0，x1］，［x1，x2］，其中x0=0，x2=l，設(shè)每段對應(yīng)的撓度函數(shù)為yi(x，t)(i=1，2)，則各段的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中，CT為圓柱體縱向阻力系數(shù);CN為圓柱體橫向阻力系數(shù);Cv為有效黏性阻力系數(shù);γ為常數(shù)(圓柱體下游受支承時(shí)γ=1，下游端自由或彈性支承時(shí)γ=0)，是自由端的形狀阻力系數(shù)，T0為初始軸向拉力。

支承處連續(xù)條件為

式中，k為可移動(dòng)彈性支承的彈簧剛度。

引入無量綱量，求得具有可移動(dòng)彈性支承的Kelvin模型黏彈性圓柱體在軸向流動(dòng)中的無量綱振型微分方程為

式中，β為質(zhì)量比;v為無量綱流動(dòng)速度;α為無量綱延滯時(shí)間;ω為圓柱體無量綱復(fù)頻率。

相應(yīng)的邊界條件為

支承處連續(xù)條件為

本文采用δ法(取δ=10－5)處理邊界條件，網(wǎng)點(diǎn)的布置為

采用微分求積法［5］，可以得到方程(4)的模擬方程

邊界條件的模擬方程為

支承處連續(xù)條件的模擬方程為

從式(8)、(9)和(10)可以得到

矩陣［K］，［G］，［I］(［I］為(N－4)×(N－4)階單位矩陣)中含有無量綱延滯時(shí)間、無量綱流速等參數(shù)，式(11)構(gòu)成了廣義特征值問題。

軸向流動(dòng)中具有可移動(dòng)彈性支承的Kelvin模型黏彈性圓柱體的特征方程為

3 結(jié)果與分析

從方程(4)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)無量綱延滯時(shí)間α=0時(shí)，方程就退化為具有可移動(dòng)支承的彈性圓柱體在軸向流動(dòng)中的流體誘發(fā)振動(dòng)方程。當(dāng)支承處無量綱線彈簧剛度a→∞時(shí)，方程就退化為Kelvin模型黏彈性圓柱體在軸向流動(dòng)中的流體誘發(fā)振動(dòng)方程。

圖2(a)～圖2(c)分別給出了無量綱延滯時(shí)間α =0.01，質(zhì)量比β=0.1，兩端同時(shí)有線彈簧(無量綱線彈簧剛度ɑ=0.1)支承和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧支承(無量綱轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度b=0.1)的條件下，中間有不同剛度(無量綱剛度分別取從0.01到100之間的數(shù)值)的線彈簧支承(支承位置相同，ζ1=0.5)時(shí)，Kelvin模型圓柱體的前三階模態(tài)無量綱復(fù)頻率ω的實(shí)部及虛部與無量綱流速v之間的關(guān)系圖。圖2(d)給出了兩端同時(shí)有線彈簧(無量綱線彈簧剛度a=0.1)支承和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧支承(無量綱轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧剛度b=0.1)，中間有彈簧剛度(無量綱線彈簧剛度a=1)線彈簧支承的條件下，線彈簧支承位置ζ1=0.1時(shí)，Kelvin模型圓柱體的前三階模態(tài)無量綱復(fù)頻率ω的實(shí)部及虛部與無量綱流速v之間的關(guān)系圖。

從圖2(a)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=0.01時(shí):在v=3.91時(shí)，第一階模態(tài)發(fā)生發(fā)散，在v=5.34時(shí)又恢復(fù)穩(wěn)定;第二階模態(tài)在v=8.68處發(fā)散，在v=8.78處又恢復(fù)穩(wěn)定;第三階模態(tài)在v<9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

從圖2(b)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=1時(shí):第一階模態(tài)在v=3.89處發(fā)散，在v=5.3時(shí)又恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài);第二階模態(tài)在v=8.58處發(fā)散，在v=8.8時(shí)又恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài);第三階模態(tài)在v<9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖2 無量綱流速與前三階模態(tài)的無量綱復(fù)頻率的實(shí)部及虛部的關(guān)系曲線

從圖2(c)可以看出在中間支承無量綱線彈簧剛度a=100時(shí):第一階模態(tài)在v<9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài);第二階模態(tài)在v=1.231處發(fā)散，在v=8.47處又恢復(fù)穩(wěn)定。同第一階模態(tài)相同，第三階模態(tài)在v <9的范圍內(nèi)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

從圖2(d)可以看出當(dāng)線彈簧支承位置ζ1=0.1時(shí):第一階模態(tài)在v=3.986處發(fā)散，在v=6.48時(shí)恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài);在v<9的范圍內(nèi)，第二階模態(tài)和第三階模態(tài)一直處于穩(wěn)定狀態(tài)。

4 結(jié)語

從以上的分析可以得到，當(dāng)中間支承線彈簧的剛度和支承位置不同時(shí)，圓柱體的動(dòng)力特性也存在很大的不同。剛度的影響主要隨著中間支承無量綱線彈簧剛度的增加，第一階模態(tài)首次發(fā)散的臨界無量綱流速增加，而第二階模態(tài)首次發(fā)散的臨界流速卻是減小。在無量綱流速v=0時(shí)，隨著中間支承無量綱線彈簧剛度的增加，第一階模態(tài)復(fù)頻率的實(shí)部和虛部都是逐漸減小，但是第二階模態(tài)和第三階模態(tài)復(fù)頻率的實(shí)部和虛部都是逐漸增加的。而支承位置的影響在于，第一階模態(tài)復(fù)頻率的實(shí)部和虛部越接近中間位置，數(shù)值越來越小，但是第二階模態(tài)和第三階模態(tài)卻相反。

［1］KANG H S，SONG K N，KIM H K，et al.Axial-Flow-Induced Vibration for a Rod Supported by Translation Springs at Both Ends［J］.Nuclear Engineering and Design，2003(220):83-90.

［2］ZHOU C Y，SO R M C and LAM K.Vortex-Induced Vibration of an Elastic Circular Cylinder［J］.Journal of Fluids and Structure，1999(13):165-189.

［3］楊挺青.黏彈性力學(xué)［M］.武漢:華中理工大學(xué)出版社，1990.

［4］倪振華.振動(dòng)力學(xué)［M］.西安:西安交通大學(xué)出版社，1989.［5］王鑫偉.微分求積法在結(jié)構(gòu)力學(xué)中的應(yīng)用［J］.力學(xué)進(jìn)展，1995，25(2):232-240

TU502+6

A

1003-1995(2011)02-0127-04

2010-08-27;

2010-12-18

張波(1976—)，男，陜西■陽人，講師，碩士。

(責(zé)任審編 王天威)