王圣宇，吉 梗，朱瓊瑤，李玲玲，王 賽

（臺州學院 數學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

一類非線性時滯系統(tǒng)的自適應動態(tài)面控制

王圣宇，吉 梗＊，朱瓊瑤，李玲玲，王 賽

（臺州學院 數學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

針對一類嚴格反饋非線性時滯系統(tǒng)，提出了一種自適應神經網絡動態(tài)面控制方案。通過引入一階濾波器，避免了傳統(tǒng)反演設計中的“計算膨脹”問題。通過構造恰當的Lyapunov-Krasovskii函數，對未知時滯項進行了補償。此外，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致最終有界。最后，仿真實例表明了所提控制方案的有效性。

自適應控制；神經網絡；動態(tài)面控制；非線性時滯系統(tǒng)

1 引言

在非線性系統(tǒng)設計中，模糊和神經網絡是處理未知非線性函數常用的智能控制方法。在這些方法中，將模糊邏輯系統(tǒng)、神經網絡系統(tǒng)和自適應反演法相結合，解決了許多不確定非線性系統(tǒng)的自適應控制器設計問題［1-3］。但是，基于反演技術的自適應控制方法都有一個缺陷，即“計算膨脹”問題。由于每一步遞推設計中都要對虛擬控制律進行重復求導，導致虛擬控制量所含項隨系統(tǒng)階數的增加而爆炸性膨脹，使得控制器的計算量非常大。針對反演法中的計算膨脹問題，Swaroop等在文獻［4］中首次提出了動態(tài)面控制方法，通過引入一階低通濾波器，消除了對虛擬控制律的求導，使得計算量大大降低。隨后，Wang等［5］將動態(tài)面技術與神經網絡控制相結合，針對一類嚴格反饋非線性系統(tǒng)，提出了自適應動態(tài)面控制方法。此后許多學者對動態(tài)面技術的自適應控制作了更進一步的研究［6-9，12］。然而基于動態(tài)面控制方法的非線性系統(tǒng)控制中，還存在在線調整參數過多的現(xiàn)象，這樣將加大計算負擔，不便于實際應用［9］。另一方面，實際工程領域廣泛存在著時滯現(xiàn)象。時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制問題研究的重要性是不言而喻的［10-13］。

本文針對一類非線性時滯系統(tǒng)，設計了一種自適應神經網絡動態(tài)面控制器。在每一步設計中，將未知非線性函數打包，利用徑向基（RBF）神經網絡逼近，并且將神經網絡權重的范數定義為估計參數，這樣大大降低了在線調整參數的個數。通過引入一階濾波器，消除了傳統(tǒng)反演設計中的計算膨脹問題。另外，本文研究的系統(tǒng)包括時滯項，所以該系統(tǒng)是具有一般性的嚴格反饋非線性系統(tǒng)。最后，理論分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號是半全局一致最終有界。

2 問題的描述

考慮如下一類單輸入單輸出嚴格反饋非線性時滯系統(tǒng)

假設 1：未知增益函數 gi（）的符號是已知的，且存在未知正常數 gmax≥gmin＞0 使得 gmin≤/gi（）/≤gmax.不失一般性我們假設 0＜gmin≤gi（），i=1，2，…，n.

注1：假設1類似于文獻［1，2，8-10，13］，應該強調的是常數gmin和gmax僅僅是為了后文的分析目的，它的實際值在控制器設計中不必已知.

為了給出假設2，我們先介紹下面的坐標變換：

這里Si是第i個誤差面，vif是通過一階濾波器得到的虛擬控制律.

假設 2：存在未知連續(xù)函數 qij（（t）+（t））使得

注2：假設2類似于文獻［12］中的假設3，不過那里要求qij（·）是已知的.而本文的假設2是不需要qij（·）已知的.這放松了文獻［12］對時滯項的限制.

3 自適應神經網絡動態(tài)面控制設計

本節(jié)給出控制器的設計方法，控制器的設計包含n步，在每一步中將設計虛擬控制律vi，i=1，…，n-1.最后，實際的系統(tǒng)控制律u在第n步中給出.

步驟 i（1≤i≤n-1）：由第 i個誤差面 Si=xi-vif，有

選擇虛擬控制律

和自適應律

這里 ki，ηi，li，γi和 σi是正的設計常數.是 θi=gmin-1‖‖2的估計值， 這里表示理想的神經網絡權重矩陣.Pi（Zi）是 RBF 基函數向量且以 Z1=［S1］∈Ωz1∩R1，Zi=［S1，…，Si，］T∈Ωzi∩Ri+1為輸入向量.

注3：這里將gmin-1///2定義為被估計參數θi，可看出在每一步設計中僅有一個調整參數然而在以往的自適應神經網絡設計過程中［2，3，5-7，10］，未知神經網絡權重矩陣視為被估計參數，所以以往的方法中需要在線調整大量的參數，從而增加了計算負擔.

為避免對虛擬控制器重復微分，導致所謂的“計算膨脹”問題，這里利用動態(tài)面控制技術消除這一問題.為此，將vi通過時間常數為i+1的一階低通濾波器，得到濾波虛擬控制器

這里 Bi+1（·）是一個連續(xù)函數且具有最大值 Mi+1（詳細分析可參見文獻［5，6，12］）.

步驟 n：由第 n 個誤差面 Sn＝xn-vnf，有

這里 kn，ηn和 ln是正的設計參數為 θn=gmin-1‖‖2的估計值，這里表示理想的神經網絡權重矩陣.Pn（Zn）是 RBF 基函數向量且以 Zn=［S1，…，Sn］T∈Ωzn∩Rn+1為輸入向量.

4 穩(wěn)定性分析

我們考慮如下的Lyapunov-Krasovskii函數VQi和V

假設 3：對于給定的 μ＞0，存在 V（0）≤μ.現(xiàn)在提出如下定理：

定理1：在假設條件1-3下，考慮非線性時滯系統(tǒng)（1），控制器（9）和自適應律（6）所組成的閉環(huán)系統(tǒng).那么對于有界初始條件（0）≥0，存在 ki，ηi，li，γi，σi和j，i=1，…，n，j=2，…，n 使得閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號是一致最終有界的.

其中vn=u.通過利用（13），并注意到xi+1=Si+1+yi+1+vi，Lyapunov函數關于時間的導數為

The specific parameters of high energy nanosecond pulsed Nd:YAG laser are shown in Table 2. The laser beam travels through optical microscope, homogenized microscope and focusing lens and then irradiates onto a material surface as a circle laser beam spot.

利用假設2和揚不等式，我們有

所以

將（16）代入（14）有

因為 Fi（Zi）是未知的函數，因此，采用 RBF 神經網絡來逼近 Fi（Zi）

其中，逼近誤差 δi（Zi）滿足 δi（Zi） ≤εi.此外，我們有

將（18）代入（17），并且利用（6）（19）和（20）可得

注5：本文采用動態(tài)面控制方法類似于文獻［12］，但本文具有以下優(yōu)勢：（1）本文采用神經網絡逼近未知打包的非線性函數，使得控制器結構簡單；（2）本文放松了對時滯項的要求；（3）對于一個n階系統(tǒng)，所需在線調整參數僅需n個，大大降低了在線計算負擔.

5 仿真算例

考慮如下二階非線性時滯系統(tǒng)

選取τ1=1和τ2=2.則顯然τmax=2.應用定理1，選擇虛擬控制器、實際控制器和自適應參數如下

其中 S1＝x1，S2＝x2-v2f，Z1＝S1，Z2＝［S1，S2，］T.我們選擇初始條件為［x1（t），x2（t）］T＝［0.1，-1］T，-τmax≤t≤0，v2f（0）＝0 和［（0），（0）］T＝［0，0］T.在仿真中，設計參數選取如下：k1＝3，k2＝2，l1＝l2=5，γ1＝γ2=1，η1=0.1，η2=2，σ1＝σ2＝0.2，2＝0.005.RBF 神經網絡P1（Z1）包含 5 個節(jié)點，中心平均分布在［-2，2］，寬度為 1.RBF 神經網絡P2（Z2）包含 125 個節(jié)點，中心平均分布在［-2，2］×［-2，2］×［-4，4］，寬度為 2.

圖1-2顯示了仿真結果.從圖1，可看出經過幾秒鐘之后，狀態(tài)變量x1和x2就已收斂.從圖2，我們可看出自適應參數和是有界的.仿真結果說明了所提出的控制器很好的實現(xiàn)了控制性能.

圖 1.狀態(tài)變量 x1（--）和 x2（-）.

圖 2.自適應參數 （--）和（-）.

6 結論

本文針對一類嚴格反饋非線性時滯系統(tǒng)，提出了一個自適應神經網絡動態(tài)面控制方案.應用動態(tài)面設計技術克服了傳統(tǒng)自適應反演法中的“計算膨脹”問題.通過構造恰當的Lyapunov-Krasovskii函數，未知時滯項得到了完美處理.另外本文所設計的控制器結構簡單，包含了較少的在線調整個數，使得計算負擔大大減少，從而使得該方案便于實際應用.最后通過仿真實例說明了所提算法的有效性.

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Adaptive Dynamic Surface Control for a Class of Nonlinear Time-delay Systems

WANG Sheng-yu,JI Geng,ZHU Qiong-yao,LI Ling-ling,WANG Sai
(School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China)

This paper investigates the adaptive neural network dynamic surface control problem for a class of strict-feedback nonlinear systems with unknown time delays.The problem of “explosion of complexity” in traditional backstepping design is avoided by introducing the first order filter. By constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functions,the unknown time delay terms have been compensated.Furthermore,based on Lyapunov theory, all signals in the closed loop system are guaranteed to be semi-globally uniformly ultimately bounded.Finally,simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the approach.

adaptive control;neural network;dynamic surface control;nonlinear time delay system

耿繼祥）

TP273

A

1672-3708（2011）03-0007-07

2011-05-16

吉 梗（1980- ），男，湖北通山人，碩士，講師，主要從事智能控制的研究。