李紅敏，褚衍東，柳 亭，王華萍

(蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院，甘肅蘭州 730070)

帶有不同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡的同步

李紅敏，褚衍東，柳 亭，王華萍

(蘭州交通大學數(shù)理與軟件工程學院，甘肅蘭州 730070)

針對帶有不同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡，先通過降價法，把不同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡的混沌同步問題轉(zhuǎn)換為相同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡的混沌同步問題，然后，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，構造了使得復雜網(wǎng)絡的節(jié)點達到同步的耦合函數(shù).數(shù)值仿真結(jié)果表明，理論分析是可行的、有效的.

復雜網(wǎng)絡；混沌同步；Lyapunov穩(wěn)定性理論

現(xiàn)今，復雜網(wǎng)絡備受關注.在現(xiàn)實世界中，我們經(jīng)常會遇到和聽到各種不同的網(wǎng)絡，如Internet網(wǎng)、神經(jīng)元網(wǎng)絡、人際網(wǎng)絡等[1-2].網(wǎng)絡的動力學行為是人們研究網(wǎng)絡的重要內(nèi)容之一.在網(wǎng)絡諸多的動力學行為當中，網(wǎng)絡所有節(jié)點的同步問題尤為重要，近年來已成為非線性動力學研究的熱點[3-5].復雜網(wǎng)絡的同步與一般的混沌同步不同，前者是N(N≥3)個系統(tǒng)間的同步，后者僅僅是2個系統(tǒng)間的同步[6].復雜網(wǎng)絡的一個典型特征就是擁有大量的網(wǎng)絡節(jié)點，過去10年里，幾乎所有的研究工作都是假定復雜網(wǎng)絡具有相同的節(jié)點[7]，事實上，絕大多數(shù)的實際復雜網(wǎng)絡節(jié)點并不完全相同，它們之間總是或多或少地存在一些差異.為了能夠更好地了解和解釋現(xiàn)實世界中復雜網(wǎng)絡所呈現(xiàn)出來的各種動態(tài)特征，更好地控制現(xiàn)實中的具體網(wǎng)絡，本文將對帶有不同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡的同步問題進行研究.

1 同步分析

考慮由N個不同節(jié)點且不同階數(shù)組成的復雜動態(tài)網(wǎng)絡，節(jié)點i的動態(tài)方程如下：

定義 如果滿足下式，就稱兩個系統(tǒng)是同步的.

根據(jù)式（1）式，任意節(jié)點s和t的系統(tǒng)模型分別為：

其中，xs∈Rn和xt∈Rm分別是節(jié)點s和t的狀態(tài)向量；Fs:Rn→Rn和Ft:Rm→Rm是向量值函數(shù)，分別描述了節(jié)點s和t的運動情況；Hs(x1,x2,L,xN)和Ht(x1,x2,L,xN)分別是節(jié)點s和t與其它節(jié)點間的耦合函數(shù).假設n>m，式（2）能被分解為：

這里xp∈Rm和xq∈Rl分別是節(jié)點p和q的狀態(tài)向量，F(xiàn)p:Rn→Rm，F(xiàn)q:Rn→Rl，m+l=n.降階后，式（2）與（3）的同步問題轉(zhuǎn)換為式（4）與（3）的同步問題.

網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)誤差定義為：

對ei求導，得

由Lyapunov穩(wěn)定性理論知，整個網(wǎng)絡達到了同步.

2 數(shù)值仿真

下面對含有三個節(jié)點的網(wǎng)絡進行數(shù)值仿真，這三個節(jié)點分別為混沌Liu系統(tǒng)、受迫的Vander Pol系統(tǒng)和超混沌Lorenz系統(tǒng)，它們的動力學方程分別如下：

混沌Liu系統(tǒng)的動力學方程為：

這里a1,b1,c1,k1,h是系統(tǒng)（12）的參數(shù).當參數(shù)a1= 10,b1= 40,c1= 2.5,k1= 1,h=4時，系統(tǒng)（12）處于混沌狀態(tài)[8].

受迫的Vander Pol系統(tǒng)的動力學方程是：

其中μ,F,Ω是系統(tǒng)（13）的參數(shù).當參數(shù)μ= 1,F= 1,Ω=2時，系統(tǒng)（13）是混沌的[9].

超混沌Lorenz系統(tǒng)的動力學方程為：

此處a3,b3,c3,k3是系統(tǒng)（14）的參數(shù).當參數(shù)a3= 10,b3= 8/3,c3=28,k3= 10時，系統(tǒng)（14）存在混沌吸引子[10].

當仿真網(wǎng)絡同步時，任意地選取耦合函數(shù)H1=0，這意味著第一個節(jié)點（即混沌Liu系統(tǒng)）為驅(qū)動系統(tǒng)，另外的節(jié)點為響應系統(tǒng).帶有不同階數(shù)的異結(jié)構網(wǎng)絡的節(jié)點按照式（2）相互連接.

根據(jù)方程（2）和（3），式（12）和（13）的同步問題轉(zhuǎn)換為（13）和下面（15）式的同步問題：

實施耦合后，式（13）轉(zhuǎn)換為式（16）：

根據(jù)式（9）知：

參數(shù)α∈ (0 ,+∞ ).仿真時，任意地選取α=2，節(jié)點大約在2.3秒達到了同步，其時間序列如圖1所示，相應的同步誤差曲線見圖2.可以看到，由于每個節(jié)點不同的結(jié)構和不同的階，狀態(tài)變量的時間序列在2.3秒以前各不相同，然而，不久之后它們就完全相同，同步誤差曲線也很快趨于0，無論網(wǎng)絡的節(jié)點有多少，整個網(wǎng)絡都能達到同步.

3 結(jié) 論

本文主要研究了帶有不同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡的混沌同步問題.首先通過降價法，把不同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡的混沌同步問題轉(zhuǎn)換為相同階數(shù)的異結(jié)構復雜網(wǎng)絡的混沌同步問題，然后，基于 Lyapunov穩(wěn)定性問題，構造了使得復雜網(wǎng)絡的節(jié)點達到同步的耦合函數(shù)，無論節(jié)點的個數(shù)是多少，無論何時實施耦合，網(wǎng)絡中所有節(jié)點的相應狀態(tài)變量都能達到完全一樣的軌道，其同步誤差也能迅速地收斂到0，也就是說復雜網(wǎng)絡迅速地達到了同步.理論分析和數(shù)值仿真都證實了該方法的有效性和普遍性.

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Synchronization of Certain Complex Network with Different Structures and Different Orders

LI Hongmin, CHU Yandong, LIU Ting, WANG Huaping
(School of Mathematics, Physics and Software Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

This paper aimed at chaos synchronization of a complex network with different structures and different orders. Firstly, problem of the chaos synchronization was translated into problem of chaos synchronization of a complex network with different structures and identical orders by subtract-order method. Secondly, based on the Lyapunov stability theory, the coupling function for the synchronization of connected nodes of the complex network was identified. Numerical simulation results indicated that the theoretical analysis is feasible and effectual.

Complex Network; Chaos Synchronization; Lyapunov Stability Theory

(編輯：王一芳)

TP393

A

1674-3563(2011)02-0041-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.008 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-07-11

國家自然科學基金(50474008)；蘭州交通大學科研基金(DXS2010-019)

李紅敏(1983- )，女，河北邯鄲人，碩士研究生，研究方向：復雜網(wǎng)絡的混沌同步與控制