張興軍，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 310035)

二階橢圓問(wèn)題的格林函數(shù)雙線性矩形元的超收斂性

張興軍，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 310035)

把二維二階橢圓問(wèn)題的格林函數(shù)的雙線性矩形元的逐點(diǎn)誤差估計(jì)與一般二階橢圓問(wèn)題的一次線性元的超收斂性結(jié)合起來(lái)，對(duì)二維二階橢圓問(wèn)題的格林函數(shù)的雙線性矩形元的超收斂性進(jìn)行了研究，得到了相應(yīng)的逐點(diǎn)誤差估計(jì).

二階橢圓問(wèn)題；格林函數(shù)；雙線性矩形元；逐點(diǎn)誤差估計(jì)；超收斂性

考慮如下的二階橢圓問(wèn)題：

設(shè)x0∈Ω，（1）式在點(diǎn)x0的格林函數(shù)被定義為[1-2]：

如果采用內(nèi)積的方法，則(x)可以被定義為：

這里A(u,v)被定義為：

由于在一般情況下不能得到方程（1）的解析解，因此有限元等數(shù)值方法就成為求解（1）的有效工具.近年來(lái)，有限元的超收斂性很受關(guān)注，有些文獻(xiàn)是通過(guò)研究其相應(yīng)格林函數(shù)的有限元的逐點(diǎn)估計(jì)來(lái)觀察有限元的超收斂性的[3-5].設(shè)Th為區(qū)域Ω的一致矩形部分，由文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[6]得到如下的超收斂性結(jié)果：

本文運(yùn)用研究一般橢圓問(wèn)題的有限元方法的超收斂性的方法[9]來(lái)對(duì)（1）的格林函數(shù)雙線性矩形元的超收斂性進(jìn)行研究，得到如下結(jié)果：

注：本文中，c表示常數(shù)，c在各個(gè)地方的取值可以不一樣，但都與h無(wú)關(guān).

1 主要結(jié)果

本節(jié)要用到如下3個(gè)基本結(jié)果：

引理2[4]設(shè)Th為定義在區(qū)域Ω上的一致矩形剖分，而是?xGx基于Th的雙線性矩形元近似，則

引理3 在引理2的條件下有：

本文的主要結(jié)果如下：

2 數(shù)值算例

[1]謝銳鋒. 凹角域上Green函數(shù)逼近的逐點(diǎn)估計(jì)與有限元外推[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 1988, 10(3): 232-241.

[2]Krasovskii J P. Isolation of singularities of the Green’s function [J]. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1967, 1(5): 935-966.

[3]林群, 朱起定. 有限元的預(yù)處理與后處理[M]. 上海: 上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 1994: 80-89.

[4]朱起定, 林群. 有限元的超收斂理論[M]. 長(zhǎng)沙: 湖南科學(xué)技術(shù)出版社, 1989: 73-79.

[5]朱起定. 有限元法的逐點(diǎn)估計(jì)及最大模內(nèi)估計(jì)[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 1981, 3(1): 87-90.

[6]陳傳淼, 黃云清. 有限元高精度理論[M]. 長(zhǎng)沙: 湖南科學(xué)技術(shù)出版社, 1995: 47-53.

[7]Schtaz A H, Wahlbin L B. Interior maximum norm estimates for finite element methods [J]. Mathematics of Computation, 1995, 64: 414-442.

[8]Wahlbin L B. Superconvergence in Galerkin Finite Finite Element Methods [M]. New York: Springer Press, 1995: 166-195.

[9]何文明, 崔俊芝, 朱起定. 一種改進(jìn)的超收斂與外推的方法[J]. 計(jì)算數(shù)學(xué), 2002, 24(3): 327-334.

[10]He W M. Error estimates of finite element method about elliptic problems with singular righthand side [J]. Applied Mathematics and Computation, 2007, 188(1): 824-832.

[11]Zhu Q D. Superconvergence analysis for cubic triangular element of the finite element [J]. Journal of Computational Mathematice, 2000, 18(5): 541-550.

[12]Zhu Q D, Zhao Q H. New Discussions for Finite Element Superconvergence [J]. Advances in Mathematics, 2004, 33(4): 453-466.

Super-convergence of Bilinear Rectangular Element of Green’s Function in Second Order Elliptic Problems

ZHANG Xingjun, HE Wenming
(College of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

By combining pointwise error estimates of bilinear rectangular element of Green’s function in two-dimensional second order elliptic problems with super-convergence of one order linear element of common second order elliptic problems, the super-convergence of bilinear rectangular element of Green’s function in two-dimensional second order elliptic problems was examined. And the corresponding pointwise error estimates were obtained at the same time.

Second Order Elliptic Problem; Green Function; Bilinear Rectangular Element; Pointwise Error Estimate; Super-convergence

(編輯：王一芳)

O175.2

A

1674-3563(2011)02-0007-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2011.02.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

2010-05-27

張興軍(1984- )，男，貴州遵義人，碩士研究生，研究方向：偏微分方程

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