王春峰，鄭仲民，房振明

(天津大學(xué)管理學(xué)院金融工程研究中心，天津300072)

一、引 言

跳躍是證券市場(chǎng)中一種常見的資產(chǎn)價(jià)格行為，對(duì)跳躍行為的研究有利于更好地刻畫收益率的統(tǒng)計(jì)特性，進(jìn)而提高資產(chǎn)定價(jià)的準(zhǔn)確度，從而對(duì)資產(chǎn)配置和風(fēng)險(xiǎn)管理產(chǎn)生深刻影響。

以往對(duì)資產(chǎn)價(jià)格跳躍行為的研究大都把其產(chǎn)生的原因歸結(jié)為信息沖擊下資產(chǎn)均衡價(jià)格的突變，認(rèn)為跳躍行為本質(zhì)上是市場(chǎng)信息融入所表現(xiàn)出來的價(jià)格發(fā)現(xiàn)特征。與信息相聯(lián)系的資產(chǎn)價(jià)格跳躍行為往往比較明顯，跳躍幅度也比較大。在此理論框架下，一些幅度比較小，在短時(shí)間內(nèi)具有回補(bǔ)特性且不足以被泊松過程捕捉到的跳躍行為往往被忽略，而此類跳躍與信息影響下的均衡價(jià)格無關(guān)，其體現(xiàn)的是訂單流對(duì)價(jià)格的沖擊，因?yàn)闆]有信息作用，所以影響持續(xù)時(shí)間很短即會(huì)出現(xiàn)回補(bǔ)，又由于訂單流的實(shí)時(shí)到達(dá)，此類跳躍在日內(nèi)表現(xiàn)為無限維活躍的特性。對(duì)無限活躍跳躍行為的辨識(shí)最近已經(jīng)開始成為跳躍研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題之一。對(duì)無限活躍跳躍行為的辨識(shí)具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義和實(shí)用價(jià)值，由于無限維活躍跳躍產(chǎn)生的根源是逐筆成交產(chǎn)生的流動(dòng)性系統(tǒng)沖擊，同時(shí)對(duì)投資者產(chǎn)生相應(yīng)的沖擊成本，因此準(zhǔn)確識(shí)別無限活躍跳躍行為是制定交易策略控制交易中的沖擊成本的首要環(huán)節(jié)。Li和Wells［1］等驗(yàn)證了無限活躍列維模型，更好地刻畫了標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)特征，填補(bǔ)了仿射跳躍擴(kuò)散模型的不足。但是參數(shù)方法的普適性不強(qiáng)，不同類別資產(chǎn)由于其價(jià)格形成機(jī)制的制約往往呈現(xiàn)個(gè)異性特征，所以很難用統(tǒng)一的模型來表征。非參數(shù)方法的思路是根據(jù)所要研究的特定價(jià)格行為的特點(diǎn)直接構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，通過對(duì)其統(tǒng)計(jì)特征的考察進(jìn)而達(dá)到研究價(jià)格行為的，因此可以很好的解決參數(shù)方法存在的上述問題。目前，跳躍行為非參數(shù)分析模型應(yīng)用最廣泛的是 Barndorff-Nielsen和Shephard(BNS)［2-3］發(fā)展的一套檢驗(yàn)跳躍存在與否的計(jì)量方法，該方法提出以后，國際上的學(xué)者圍繞該方法作了大量的實(shí)證研究。此外，Ait-Sahalia和Jocad［4］從日收益閾值多冪次變差(TMPV)出發(fā)構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，通過考察其分布的漸進(jìn)性行為對(duì)跳躍行為進(jìn)行有效辨析。

跳躍行為具有瞬時(shí)性，因此超高頻數(shù)據(jù)是識(shí)別跳躍行為尤其是無限活躍跳躍行為的必要條件，但是采樣頻率的提高也意味著噪音干擾的增大。目前，學(xué)術(shù)界對(duì)跳躍行為的非參數(shù)辨識(shí)研究只有BNS與TMPV兩個(gè)體系，在考慮無限活躍跳躍行為與噪音存在的研究框架下，哪種方法更能對(duì)跳躍行為進(jìn)行有效識(shí)別以及二者之間的關(guān)系如何，至今還沒有人做過相關(guān)問題的研究。由于真實(shí)市場(chǎng)中的價(jià)格行為包含的不確定因素較多，因此，用實(shí)證的方法來比較兩種方法的辨識(shí)能力，得到的結(jié)果可信度不高。本文首次采用模擬的方法來比較兩種方法的準(zhǔn)確度，假設(shè)收益率與波動(dòng)過程存在相關(guān)的無限活躍列維跳躍，分別利用 BNS和TMPV研究方法對(duì)跳躍現(xiàn)象進(jìn)行識(shí)別，進(jìn)而對(duì)比研究兩類模型的特點(diǎn)。在模擬過程中，由于涉及較多參數(shù)的選取，本文亦從理論上對(duì)兩個(gè)模型的辨識(shí)能力作出討論。

二、資產(chǎn)價(jià)格跳躍行為非參數(shù)辨識(shí)方法

1.BNS基于已實(shí)現(xiàn)方差非參數(shù)辨識(shí)方法

定義對(duì)數(shù)價(jià)格Xt已實(shí)現(xiàn)冪次變差(RPV)和已實(shí)現(xiàn)雙冪次變差(RBV)分別為［8］

類似定義三次冪變差(RTV)，h、δ分別為每天交易時(shí)間、數(shù)據(jù)頻率。BNS［2］構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，即

由此可得顯著水平α下沒有跳躍發(fā)生的拒絕域?yàn)?/p>

2.基于TMPV非參數(shù)辨識(shí)方法

定義對(duì)數(shù)價(jià)格Xt的TMPV［4］為

un=αΔn被稱為截?cái)嚅撝担瑯?gòu)造統(tǒng)計(jì)量SJ［4］，即

Ait-Sahalia和Jocad［4］證明了在不同情況下SJ的斂散性，即

附加噪音是指由流動(dòng)性交易者行為導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格偏離均衡價(jià)格，記作

取整噪音是指由最小報(bào)價(jià)差等市場(chǎng)交易機(jī)制非完美性導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格偏離均衡價(jià)格，記作

三、資產(chǎn)價(jià)格跳躍行為非參數(shù)辨識(shí)方法比較

在資產(chǎn)價(jià)格跳躍行為的研究領(lǐng)域內(nèi)，本節(jié)首次從理論上對(duì)跳躍行為非參數(shù)辨識(shí)的兩類方法體系BNS法與TMPV法進(jìn)行比較討論。BNS方法自從提出以來對(duì)跳躍行為辨識(shí)的采樣頻率一般都在5到10分鐘。之所以沒有應(yīng)用于信息損失更低的超高頻率，排除數(shù)據(jù)獲取困難的技術(shù)因素外，主要原因是噪音的干擾。對(duì)于能被BNS檢驗(yàn)出跳躍行為，必須要求

即在顯著性水平0.05下要求

因此在超高頻率下噪音的干擾使得BNS方法失效。其次，在超高采樣頻率上BNS方法無法對(duì)無限活躍跳躍和有限活躍跳躍行為進(jìn)行有效區(qū)別。BNS方法的理論基礎(chǔ)是基于無噪音、無跳躍情況下BV統(tǒng)計(jì)量與RBV統(tǒng)計(jì)量差服從正態(tài)分布，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造式(3)，以無跳躍行為發(fā)生為零假設(shè)對(duì)逐日資產(chǎn)價(jià)格路徑進(jìn)行判斷。在超高頻率上，由于無限活躍跳躍行為的普遍存在，使得式(3)的結(jié)果始終處于拒絕域內(nèi)，即BNS可以有效的對(duì)跳躍行為進(jìn)行辨識(shí)。但這種跳躍行為是有限跳躍和無限跳躍混合在一起的結(jié)果，而對(duì)RV的方差貢獻(xiàn)度起最大作用的是無限活躍行為。隨著采樣頻率的降低，無限活躍跳躍行為的特征越發(fā)不明顯，而有限活躍跳躍行為越發(fā)明顯，因此，體現(xiàn)在BNS對(duì)有限活躍跳躍行為的辨識(shí)能力上，即以前研究的一般思路框架:基于BNS對(duì)事件作用下有限活躍跳躍行為的辨識(shí)。此過程存在很嚴(yán)重的缺陷:其一，BNS對(duì)跳躍行為的辨識(shí)始終無法將無限活躍跳躍與有限活躍跳躍行為進(jìn)行有效分離，而這種分離無論是對(duì)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)管理還是資產(chǎn)配置都有著重要的意義;其二，無法在不同采樣頻率下對(duì)跳躍行為的屬性進(jìn)行深入的分析，即在廣義跳躍的框架下無法對(duì)跳躍辨識(shí)的最優(yōu)采樣頻率進(jìn)行分析;其三，對(duì)無限活躍跳躍行為的辨識(shí)研究只有聯(lián)系不同采樣頻率下的跳躍行為的活躍程度才有實(shí)際意義，而BNS方法中基于RV與RBV離差的思想并不支持以上的研究。

綜上所述，BNS方法適用范圍僅局限于相對(duì)較低的高頻數(shù)據(jù)下對(duì)事件引發(fā)的有限活躍跳躍行為辨識(shí)。

TMPV方法雖然不能有效的魯棒掉噪音干擾，但可根據(jù)不同類型噪音特點(diǎn)將噪音行為也納入了式(6)分析體系中，這對(duì)于有效超高頻率的選取是有實(shí)際意義的。此外，針對(duì)不同采樣頻率有限活躍跳躍與無限活躍跳躍行為糾結(jié)在一起的問題，TMPV基于閾值控制的思想構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量SFA，即

進(jìn)而對(duì)跳躍行為的類型進(jìn)行了更為有效的甄別［4］，在此基礎(chǔ)上，Ait-Sahalia和Jocad進(jìn)一步提出了無限活躍跳躍活躍度的指標(biāo)用以刻畫無限活躍跳躍的集中度［7］，在此范疇上對(duì)無限活躍跳躍行為也就有了實(shí)際的研究意義。

四、基于模擬數(shù)據(jù)的跳躍行為非參數(shù)辨識(shí)方法比較

上一節(jié)我們證明了在超高頻采樣數(shù)據(jù)段上將無限活躍跳躍行為以及噪音納入研究體系后，相對(duì)于BNS方法，閾值多冪次變差方法對(duì)不同屬性跳躍行為以及噪音特征的討論更為完備。本節(jié)力圖通過蒙特卡洛模擬來驗(yàn)證以上結(jié)論。

1.參數(shù)設(shè)計(jì)

為了驗(yàn)證上一節(jié)的理論結(jié)果，我們分別在無噪音以及噪音存在的條件下，根據(jù)單位時(shí)間內(nèi)的泊松到達(dá)率和跳躍活躍性強(qiáng)度各自設(shè)計(jì)了3組實(shí)驗(yàn)，分別模擬有限活躍跳躍情況、無限活躍跳躍情況以及無跳躍的情況。根據(jù)中國股市實(shí)際交易時(shí)段，時(shí)間窗口選取為14 400秒，由于中國市場(chǎng)上午收盤和下午開盤階段均屬于連續(xù)競(jìng)價(jià)交易，上午收盤價(jià)和下午開盤價(jià)分別由上午最后一筆交易成交價(jià)和下午第一筆成交價(jià)決定，所以在模擬中不需要特殊處理。

有限活躍跳躍模擬價(jià)格數(shù)據(jù)由下面隨機(jī)波動(dòng)模型SVCMJ產(chǎn)生，即

其中Wt是定義在R2上的標(biāo)準(zhǔn)維納過程;，分別代表收益和波動(dòng)的跳躍;μ為收益均值;vt表示收益波動(dòng)率;θ代表隨機(jī)波動(dòng)長期均值;κ為波動(dòng)過程均值回復(fù)速度;σv是波動(dòng)率的波動(dòng)率;ρ為收益與波動(dòng)的相關(guān)系數(shù)，這里有限活躍跳躍行為用有限計(jì)數(shù)泊松過程來擬合?；诤喕⑶也挥绊懻w模擬效果的原則，本文參數(shù)的具體取值分別為:μ=0，κ=5，ρ=－0.5，θ= 0.016，跳躍行為服從到達(dá)率為λ，強(qiáng)度服從正態(tài)分布的復(fù)合泊松過程，正態(tài)分布的參數(shù)有模擬中跳躍成分的方差貢獻(xiàn)度來決定。無限活躍跳躍模擬價(jià)格數(shù)據(jù)由下面隨機(jī)波動(dòng)模型產(chǎn)生，即

這里參數(shù)的意義與有限活躍跳躍模擬模型相同，Yt為一個(gè)柯西過程，用以刻畫無限活躍跳躍行為任意時(shí)間窗口內(nèi)的無限到達(dá)率，?為無限活躍跳躍強(qiáng)度相對(duì)于波動(dòng)率的測(cè)度。

上述模擬均為無噪音理想狀況下進(jìn)行。噪音存在的情況下，我們根據(jù)不同類型噪音產(chǎn)生的根源，結(jié)合中國市場(chǎng)實(shí)際情況進(jìn)行模擬:取整噪音以最小報(bào)價(jià)單位截尾的原則進(jìn)行構(gòu)造，附加噪音按照觀測(cè)價(jià)格等于真實(shí)價(jià)格與噪音價(jià)格之和的原則進(jìn)行擬合，且滿足獨(dú)立同分布。以下每組模擬均在相同參數(shù)下均進(jìn)行5 000次，以保證結(jié)果在統(tǒng)計(jì)意義下有效。

2.模擬結(jié)果

首先，我們控制股票價(jià)格非連續(xù)部分的方差貢獻(xiàn)度［4］，在10%和25%的標(biāo)準(zhǔn)下分別模擬出股票價(jià)格路徑。為了增加比較效果，我們還模擬出無跳躍情況下，僅存在單一路徑噪音或附加噪音股票情況下價(jià)格路徑(見表1和表2)。

表1 無跳躍零假設(shè)下，無噪音時(shí)股票價(jià)格不同非連續(xù)部分樣本方差貢獻(xiàn)度BNS方法拒絕率比較

表2 無跳躍但噪音存在條件下，股票價(jià)格BNS方法拒絕無跳躍零假設(shè)率比較

一般來說，在5分鐘的采樣頻率上，噪音的影響可以忽略不計(jì)，因此，本文模擬的終止頻率設(shè)定在300秒。文中的拒絕率等于在5 000次模擬中，能夠識(shí)別出跳躍行為的次數(shù)除以總的模擬次數(shù)。由表1可知，BNS方法在無噪音條件下是能夠在超高頻率下對(duì)無限活躍跳躍行為進(jìn)行有效辨識(shí)，但隨著采樣頻率的降低，其有效性也隨之降低，主要原因在于無限活躍跳躍行為在短時(shí)間內(nèi)具有較強(qiáng)的回補(bǔ)性特征，因此對(duì)無限活躍跳躍行為的辨識(shí)需要較高的采樣頻率。對(duì)于不同顯著性水平下的拒絕率，5%顯著性水平下統(tǒng)計(jì)量尾部分布對(duì)頻率的敏感度高于10%顯著性水平，因此下降速度更快。此外，BNS方法在跳躍10%方差貢獻(xiàn)度模擬結(jié)果下，對(duì)無跳躍假設(shè)的拒絕率下降速度明顯快于跳躍25%方差貢獻(xiàn)度結(jié)果。說明BNS方法對(duì)非連續(xù)部分方差貢獻(xiàn)度反應(yīng)敏感性非常顯著，方差貢獻(xiàn)度越小，BNS對(duì)其識(shí)別所需要采樣頻率越高。非連續(xù)部分樣本方差除了跳躍行為貢獻(xiàn)之外，還有噪音。一般情況下，在超高采樣頻率下，噪音對(duì)樣本方差的貢獻(xiàn)不能忽略不計(jì)，而且隨著采樣頻率的升高而增大。從表2可見，在超高頻率上，無論是路徑噪音還是附加噪音都使得BNS在對(duì)跳躍的辨識(shí)上嚴(yán)重失真，尤其是附加噪音，直到5分鐘采樣頻率下辨識(shí)結(jié)果才穩(wěn)定，而無限活躍跳躍行為的影響頻率段一般在5秒鐘以內(nèi)。因此噪音的干擾使得BNS方法無法在不同的超高頻率下對(duì)無限活躍存在特征進(jìn)行辨識(shí)。接下來，我們分別在僅有有限活躍跳躍、僅有無限活躍跳躍以及無限有限活躍跳躍存在的情況下模擬出股票價(jià)格路徑。泊松計(jì)數(shù)過程參數(shù)λ取1，無限活躍跳躍強(qiáng)度相對(duì)于波動(dòng)率的測(cè)度?=10，見表3。

表3 不同跳躍模式下，股票價(jià)格BNS方法拒絕無跳躍零假設(shè)率比較

由表3可見，BNS方法無論在哪種跳躍模式下對(duì)跳躍行為的辨識(shí)能力均隨采樣頻率的降低而降低。在相同頻率下，BNS方法對(duì)有限活躍跳躍行為的辨識(shí)能力要強(qiáng)于對(duì)無限活躍跳躍行為。在混合跳躍模式下，BNS對(duì)跳躍行為的辨識(shí)能力稍弱于對(duì)有限活躍跳躍行為，但明顯強(qiáng)于對(duì)無限活躍跳躍行為的辨識(shí)，在混合模式下，這種微小的差別不能作為分析不同屬性跳躍行為的依據(jù)。不考慮噪音干擾情況下，無論是那種跳躍模式，BNS方法辨識(shí)采用的頻率一定是越高越好;在考慮噪音的情況下，由于BNS的基本思路僅來自于樣本非連續(xù)部分方差貢獻(xiàn)度，而沒有對(duì)非連續(xù)部分成分進(jìn)行進(jìn)一步分析，因此在超高頻率下也就無法對(duì)噪音的方差貢獻(xiàn)度進(jìn)行識(shí)別，所以也就無法確定能夠魯棒噪音干擾的最優(yōu)采樣頻率。

根據(jù)式(7)可知，在噪音干擾的條件下，基于不同類型的噪音特征，統(tǒng)計(jì)量SJ(p，k，Δn)收斂于不同的數(shù)值。由于噪音干擾主要作用于超高采樣頻率上，因此我們分別在無噪音、路徑噪音、附加噪音的框架下模擬存在跳躍和不存在跳躍兩種情況的價(jià)格路徑，分別在1秒和10秒的采樣頻率下對(duì)統(tǒng)計(jì)量SJ(p，k，Δn)進(jìn)行分析。這里因?yàn)橹饕容^超高頻率噪音條件下TMPV統(tǒng)計(jì)量的分布特征，因此弱化跳躍行為屬性以及對(duì)波動(dòng)的方差貢獻(xiàn)對(duì)TMPV統(tǒng)計(jì)量的作用。本文選擇有限活躍跳躍行為作為代表，其參數(shù)設(shè)置與表2中的價(jià)格路徑相同，而對(duì)無限活躍跳躍行為存在的情況，本文只列出模擬結(jié)果(見圖1和圖2)。

圖1 無跳躍時(shí)統(tǒng)計(jì)量分布情況

通過圖1和圖2可以看出，無論是在無跳躍還是跳躍存在的情況下，SJ(p，k，Δn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)收斂性均能在模擬中得到比較好的反應(yīng)。特別是在附加噪音存在的條件下，SJ(p，k，Δn)統(tǒng)計(jì)量穩(wěn)定的收斂到1/2，這樣就有效的對(duì)超高頻采樣不同屬性、不連續(xù)部分對(duì)方差的貢獻(xiàn)進(jìn)行辨識(shí)。模擬無限活躍跳躍行為時(shí)，在相同條件下的收斂特征與有限活躍跳躍行為基本類似，只是在統(tǒng)計(jì)量的峰度上略大于有限活躍跳躍行為，我們考慮這是與模擬時(shí)參數(shù)取值有直接的關(guān)系，因此本文不再贅述。值得注意的是，在路徑噪音存在的條件下，TMPV的收斂結(jié)果與無噪音的情況大體相同，這與式(7)的理論結(jié)果有較大差異，究其原因，由于我們模擬的價(jià)格路徑最小報(bào)價(jià)差為1/100元，遠(yuǎn)小于美國市場(chǎng)的1/16元，因而路徑噪音的數(shù)量級(jí)在1/1 000，在此數(shù)量級(jí)上的路徑噪音可以忽略不計(jì)。

由于無限活躍跳躍行為的廣泛存在性，如果不能對(duì)跳躍行為的屬性進(jìn)行有效鑒別，那么在超高頻率上對(duì)跳躍行為的辨識(shí)將缺乏實(shí)際意義。因此，我們?cè)趯?duì)跳躍行為存在特征辨識(shí)結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入SFA(p，un，k，Δn)統(tǒng)計(jì)量分析其漸進(jìn)收斂特征，進(jìn)而對(duì)跳躍行為的根本屬性進(jìn)行研究。為了更好的反映無限活躍跳躍行為與有限活躍跳躍行為的區(qū)別，我們只在1秒、5秒采樣頻率下模擬存在跳躍的情況，而且不考慮噪音的干擾，其他參數(shù)設(shè)置不變，得到的結(jié)果見圖3和圖4。

圖2 跳躍存在時(shí)統(tǒng)計(jì)量分布情況

圖3 只存在有限活躍跳躍時(shí)統(tǒng)計(jì)量分布情況

圖4 只存在無限活躍跳躍時(shí)統(tǒng)計(jì)量分布情況

通過圖3和圖4可以看出，無論是對(duì)于跳躍屬性來說，還是有限活躍性質(zhì)、無限活躍性質(zhì)都可以通過SFA(p，un，k，Δn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)收斂性得到較好的體現(xiàn)。值得注意的是，在無限跳躍與有限跳躍混合的情況下，SFA(p，un，k，Δn)統(tǒng)計(jì)量可以比較清楚的反應(yīng)不同頻率下占支配地位的非連續(xù)部分樣本方差的跳躍類型，這是BNS方法所不能做到的。噪聲存在條件下SFA(p，un，k，Δn)統(tǒng)計(jì)量的收斂特征與無噪音的情況不同，當(dāng)噪音成為資產(chǎn)價(jià)格行為的主導(dǎo)因素，SFA(p，un，k，Δn)統(tǒng)計(jì)量將無法對(duì)有限活躍跳躍成分和無限活躍跳躍成分進(jìn)行有效的分離，Ait-Sahalia和Jocad［4］證明了這一點(diǎn)。

五、結(jié) 語

在連續(xù)時(shí)間金融學(xué)領(lǐng)域，對(duì)包括無限活躍跳躍行為的資產(chǎn)價(jià)格行為進(jìn)行非參數(shù)方法研究正在成為熱點(diǎn)問題。本文從理論上對(duì)BNS方法與閾值多冪次變差方法對(duì)跳躍行為的辨識(shí)進(jìn)行了深入的比較研究，得到的結(jié)論是:BNS方法只適用于在能夠有效魯棒掉噪音的相對(duì)較低的高頻數(shù)據(jù)段上對(duì)事件觸發(fā)的有限活躍跳躍行為進(jìn)行識(shí)別;而TMPV方法在資產(chǎn)價(jià)格非連續(xù)成分框架下，對(duì)不同類型噪音、有限活躍跳躍、無限活躍跳躍行為的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了深入的挖掘，進(jìn)而構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量對(duì)不同類型跳躍行為的存在性進(jìn)行有效辨識(shí)?；诿商乜寮夹g(shù)的模擬結(jié)果也驗(yàn)證了理論探討的結(jié)論。

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