方進明,韓 慧

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

0 引 言

模糊集又稱L-集,是Zadeh在1965年創(chuàng)立的模糊集合論中提出的。設(shè)論域X是不空集合,L是隸屬度值格,X上的L-集全體記作LX,稱之為X的L-冪集格。特別地,當(dāng)L={0,1}時,LX等同于X的冪集。此后,國內(nèi)外學(xué)者對模糊集合與經(jīng)典集合之間的聯(lián)系進行了廣泛的研究,其中表現(xiàn)定理是建立這種聯(lián)系的主要形式,其本質(zhì)都是尋找L-冪集格的經(jīng)典同構(gòu)對象。學(xué)者羅承忠[1]最早提出集合套的概念,并以此為工具建立了模糊集的表現(xiàn)定理。隨后文獻[2-4]等又分別研究了基于不同形式集合套上的模糊集表現(xiàn)定理。文獻[5-6]在值格L僅為完備格的條件下,用不同工具研究了L-集表現(xiàn)定理。近年來,若干相關(guān)的工作在不斷進展中,其中文獻[7]是較新的研究成果之一。為使L-集能在多值邏輯環(huán)境下描述問題,現(xiàn)在文獻中多以完備剩余格作為L-集的隸屬度值格,如文獻[4]等,本文簡稱此時的L-冪集格LX為完備剩余冪集格。事實上,可以證明此時LX關(guān)于從L上誘導(dǎo)的張量積和蘊涵運算的確是構(gòu)成完備剩余格。完備剩余冪集格作為完備剩余格,其上有適合進行多值邏輯推理的張量積和蘊涵運算。因此,完備剩余冪集格較文獻[5-6]中涉及的完備冪集格的代數(shù)結(jié)構(gòu)要復(fù)雜?；诖?尋找完備剩余冪集格的經(jīng)典同構(gòu)對象是有待研究的問題。

本文的目的是在現(xiàn)有工作的基礎(chǔ)上,給出完備剩余冪集格的經(jīng)典同構(gòu)對象,從而建立完備剩余格環(huán)境下的L-集表現(xiàn)定理。

1 預(yù)備知識

文中L記完備格,0和1分別記L中的最小元和最大元,X是非空集合。映射A:X→L稱為模糊集或L-集,其全體記為LX,用0X,1X表示LX中的最小元與最大元。X的子集的全體記作P(X),本文不區(qū)分X的子集及其對應(yīng)的特征函數(shù)。對任意a∈L和A∈LX,記A的截集為Aa={x∈X|A(x)≥a},L-集(a∧A):X→L和(a∨A):X→L的意義分別是對任意x∈X,(a∧A)(x)=a∧A(x)和(a∨A)(x)=a∨A(x)。

一般地,當(dāng)L是完備格時,LX也是完備格。下面給出L為完備格時的一些預(yù)備結(jié)論,其中多數(shù)在文獻中已見。

定理1[2-3](L-集分解定理)設(shè)X是非空集,L是完備格,則對每個

推論1 若A,B∈LX,則A=BΖΠa∈L,Aa=Ba。

命題1 若{At}t∈TΑLX,則對任意a∈L,有

定義1[4]設(shè)映射H:L→P(X)滿足:

設(shè)H,G∈HL(X),定義HL(X)中的偏序關(guān)系關(guān)于此偏序關(guān)系,HL(X)有最小元其中意義如下:設(shè)HL(X)中的下、上確界意義如下:

根據(jù)上面的定義,可證偏序集(HL(X),≤)是完備格,即下面的命題2。

命題2 設(shè)X是非空集,L是完備格,則(HL(X),≤)是完備格。

命題3 設(shè)A∈LX,H∈HL(X)。若對任意x∈X,A(x)=∨a∈L(a∧H(a)(x)),其中H(a)(x)理解為H(a)的特征函數(shù),則對任意a∈L,有Aa=H(a)。

定義2[4]設(shè)(L,≤)是完備格。若L上有二元運算和→滿足:

2 HL(X)中的張量積與蘊涵運算

本節(jié)在隸屬度值格L為完備剩余格的條件下,首先由LX上的張量積與蘊涵運算相應(yīng)地定義HL(X)中的運算,然后在預(yù)備知識部分已得結(jié)論的基礎(chǔ)上證明HL(X)關(guān)于定義的張量積與蘊涵運算構(gòu)成完備剩余格。

一般地,當(dāng)L是完備剩余格時,LX從L中點態(tài)地誘導(dǎo)出格運算“(A→B)(x)=A(x)→B(x),其中A,B∈LX,x∈X。不難證明LX關(guān)于和→是完備剩余格。

相應(yīng)地,下面在HL(X)上定義張量積和蘊涵運算→。然后,證明HL(X)關(guān)于運算和→是完備剩余格。

定義3 設(shè)H∈HL(X)。定義L-集θH:X→L為:并稱θH是由H誘導(dǎo)的L-集。

運用由集合套誘導(dǎo)L-集的概念,HL(X)上的張量積運算及蘊涵運算可以自然的定義。為此,先介紹2個引理解決定義的合理性。

引理1 設(shè)H,G∈HL(X)。定義映射P(X)如下:

(LH1)對a,b∈L,若a≤b,則

引理2 設(shè)H,G∈HL(X)。定義映射H→G:L→P(X)如下:

則H→G∈HL(X),即H→G是L-集合套。證明 用引理1的方法證明。

基于上述HL(X)中定義的運算,可以得到下面的重要定理。

定理2 HL(X)關(guān)于構(gòu)成完備剩余格。

證明 (1)首先,由命題2可知,(HL(X),≤)是完備格,其最大元記作意義如下:(2)證是交換的單位半群,即(R1)成立。

最后,根據(jù)上述(1)-(3)及定義2得(HL(X),≤)關(guān)于運算和→是完備剩余格。證畢。

3 完備剩余冪集格的經(jīng)典同構(gòu)對象

本節(jié)將在上節(jié)的基礎(chǔ)上界定完備剩余冪集格的經(jīng)典同構(gòu)對象,并建立完備剩余格環(huán)境下的L-集表現(xiàn)定理。首先,給出如下引理。

引理3 設(shè)M,L是完備剩余格。若f:M→L是完備格同構(gòu),則f保持張量積運算當(dāng)且僅當(dāng)f保持蘊涵運算。證明 必要性:設(shè)f保持張量積運算。首先需指出,

在f為完備格同構(gòu)時,易證f-1也是保持張量積運算的。為證f保持蘊涵運算,任取x,y∈M,由M是完備剩余格知,上式兩邊同時作用f得,,從而f(y)。另一方面,對兩邊同時作用f-1得,從而f-1(f(x)→f(y))≤x→y。兩邊同時再作用f得,f(x)→f(y)≤f(x→y)。綜上知,f(x→y)=f(x)→f(y)。

充分性:設(shè)f保持蘊涵運算。首先,在f是完備格同構(gòu)時,易證f-1也保持蘊涵運算。為證f保持張量積運算,任取x,y∈M,由M是完備剩余格知,上式兩邊同時作用f得y),從而。另一方面,對兩邊同時作用f-1得,y≤x→,從而。兩邊同時再作用f得綜上知,證畢。

下面的同構(gòu)定理3給出了完備剩余冪集格的經(jīng)典同構(gòu)對象。

證明 定義映射f:HL(X)→LX使得對任意H∈HL(X),f(H)=∨a∈L(a∧H(a))。

(1)證f是一一映射。事實上,若f(H1)=f(H2),則由推論1知,對任意a∈L,有(f(H1))a=(f(H2))a。進而由命題3可得,對任意a∈L,H1(a)=H2(a),從而H1=H2。因此f為單射。又對任意A∈LX,定義映射H:L→P(X)使得對任意a∈L,H(a)=Aa,則H∈HL(X)。由定理1知f(H)=∨a∈L(a∧H(a))=∨a∈L(a∧Aa)=A,因此f是滿射。

任取x∈X及H,G∈HL(X),下列等式成立:因此,由x的任意性知f,即f保持張量積運算。

由引理3知f也保持蘊涵運算。綜合(1)和(2)可得,f為與之間的同構(gòu)映射,從而證畢。

因此,在L-集合的隸屬度值格是完備剩余格的條件下,定理3肯定了L-冪集格LX的經(jīng)典同構(gòu)對象是HL(X),此即完備剩余格環(huán)境下L-集合的表現(xiàn)定理。

4 結(jié)語

完備剩余格是適合多值推理要求的隸屬度值格。L-集合表現(xiàn)定理的研究是格值集合理論的重要內(nèi)容,但此前的研究都不要求L-集合的隸屬度值格是完備剩余格。出于格值集合在表示概念時應(yīng)該適合多值推理的考慮,當(dāng)前文獻中的L-集合多要求隸屬度值格是完備剩余格。本文結(jié)果表明在完備剩余格的環(huán)境下,L-冪集不但是完備剩余格,而且可以證明L-集合的經(jīng)典對象L-集合套在合理的運算下也構(gòu)成完備剩余格,而且二者仍然是完備剩余格同構(gòu),此即本文的主要結(jié)果定理3。L-集合套理論是L-集合理論的層次分析或水平分析的主要工具。因此本文的理論結(jié)果進一步肯定在完備剩余格環(huán)境下,使用L-集合表示概念時,L-集合套仍然可以對L-集合所表示的概念給出層次分析或水平分析。

[1] 羅承忠.Fuzzy集與集合套[J].模糊數(shù)學(xué),1983,3(4):113-126.

[2] 張文修.模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1984.

[3] 史福貴.Lβ集合套與Lα集合套理論及應(yīng)用[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),1995,9(4):65-72.

[4] Belohlavek R.Fuzzy relational system s:foundations and p rincip les[M].New York:Kluw er Academic/Plenum Publishers,2002.

[5] 熊鳳蘭.完備格上的表現(xiàn)定理及應(yīng)用[J].青島海洋大學(xué)學(xué)報,1998,28(2):339-344.

[6] 方進明,韓元良.一種新的L-集表現(xiàn)定理[J].中國海洋大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,38(6):1025-1028.

[7] Gorjanac-Ranitovic M,Tepavcevic A.General form of lattice-valued fuzzy sets under the cut worthy approach[J].Fuzzy Sets and System s,2007,158(11):1213-1216.