張永軍，王 蕾，2，魯一慧

1.武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院，湖北武漢430079；2.四川測(cè)繪局第三測(cè)繪工程院，四川成都610500

衛(wèi)星遙感影像有理函數(shù)模型優(yōu)化方法

張永軍1，王 蕾1，2，魯一慧1

1.武漢大學(xué)遙感信息工程學(xué)院，湖北武漢430079；2.四川測(cè)繪局第三測(cè)繪工程院，四川成都610500

針對(duì)高分辨率遙感影像有理函數(shù)模型（RFM）在實(shí)際應(yīng)用中存在過(guò)度參數(shù)化和定位精度不高的問(wèn)題，提出基于離差陣和消去變換及殘余系統(tǒng)誤差補(bǔ)償?shù)母叻直媛蔬b感影像RFM優(yōu)化方法。試驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)參數(shù)篩選后的RFM參數(shù)均為無(wú)偏估計(jì)值，擬合精度可以達(dá)到全部參數(shù)用于擬合時(shí)的精度，而且模型病態(tài)性基本消除，模型穩(wěn)定性更高。殘余系統(tǒng)誤差補(bǔ)償方法可以有效消除RFM擬合嚴(yán)格成像模型的殘余誤差，達(dá)到與嚴(yán)格成像模型一致的對(duì)地定位精度。

高分辨率衛(wèi)星影像；有理函數(shù)模型；離差陣；消去變換；病態(tài)問(wèn)題；殘余系統(tǒng)誤差

1 前 言

隨著航天測(cè)圖技術(shù)的不斷發(fā)展和廣泛應(yīng)用，高分辨率衛(wèi)星遙感影像的攝影測(cè)量處理理論和應(yīng)用技術(shù)引起了國(guó)際攝影測(cè)量界的普遍關(guān)注［1－2］。有理函數(shù)模型（rational function model，RFM）作為一種通用的傳感器成像模型，形式簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，更具一般性和保密性，自2000年以來(lái)迅速成為研究熱點(diǎn)［3－10］，目前大部分高分辨率遙感衛(wèi)星運(yùn)營(yíng)商均采用該模型作為傳感器成像模型。然而RFM作為嚴(yán)格成像模型的擬合模型，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中凸現(xiàn)出許多亟待解決的問(wèn)題：①模型參數(shù)求解存在病態(tài)問(wèn)題［11－12］；②高階RFM因參數(shù)過(guò)多導(dǎo)致解不穩(wěn)定［13］；③ 采用有理函數(shù)擬合嚴(yán)格成像模型時(shí)存在較為明顯的殘余誤差［8］。

針對(duì)RFM擬合嚴(yán)格成像模型存在過(guò)度參數(shù)化的問(wèn)題，目前國(guó)內(nèi)外主要從算法改進(jìn)和模型構(gòu)造兩個(gè)方面進(jìn)行研究，例如采用嶺估計(jì)等方法改善有理多項(xiàng)式系數(shù)（rational polynomial coefficients，RPC）求解過(guò)程中法方程的狀態(tài)［11］或略去RFM的三次項(xiàng)［13］。但是，嶺估計(jì)等方法不能徹底解決過(guò)度參數(shù)化問(wèn)題，且用二次RFM擬合嚴(yán)格成像模型沒有分析每個(gè)參數(shù)的顯著性，理論上不嚴(yán)密。

事實(shí)上，利用RFM“代替”嚴(yán)格成像模型進(jìn)行對(duì)地定位時(shí)，其系統(tǒng)誤差可以分為嚴(yán)格成像模型本身存在的系統(tǒng)誤差和利用RFM擬合嚴(yán)格模型的殘余系統(tǒng)誤差兩類。目前提高RFM定位精度的方法都是利用地面控制點(diǎn)進(jìn)一步優(yōu)化RFM參數(shù)，并未將嚴(yán)格成像模型本身存在的系統(tǒng)誤差和由RFM模型局限性造成的殘余系統(tǒng)誤差區(qū)別處理。

本文結(jié)合參數(shù)顯著性檢驗(yàn)理論，提出基于離差陣逐步回歸的RFM參數(shù)篩選求解方法，減少RFM擬合嚴(yán)格成像模型的參數(shù)個(gè)數(shù)，解決RFM過(guò)度參數(shù)化問(wèn)題，同時(shí)提出一種無(wú)需地面控制點(diǎn)的RFM殘余系統(tǒng)誤差改正方法，提高無(wú)地面控制點(diǎn)情況下的對(duì)地定位精度。

2 基于離差陣的RFM參數(shù)逐步篩選求解

RFM的一般形式如式（1）所示［7］

式中，（P，L，H）表示正則化的地面坐標(biāo)，（Sr，Sc）表示正則化的影像坐標(biāo)，NumL（P，L，H）、DenL（P，L，H）、NumS（P，L，H）及DenS（P，L，H）分別為下列三階多項(xiàng)式

式中，a0，…，b19，c0，…，d19為有理多項(xiàng)式系數(shù)，即RFM未知數(shù)，通常取b0＝1，d0＝1。

設(shè)有n組觀測(cè)數(shù)據(jù)，則上述模型可以用矩陣形式表達(dá)為［7］

令式（2）和式（3）的系數(shù)矩陣為X，其元素為xi1，…，xim（i＝1，2，…n），ri（i＝1，2，…n）為線性方程組的常數(shù)項(xiàng)，m為未知數(shù)個(gè)數(shù)，n為觀測(cè)方程個(gè)數(shù)。分別對(duì)上述兩式構(gòu)造m＋1階離差陣式（4），采用消去變換法［14］求解未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)并在計(jì)算中消去多余參數(shù)，優(yōu)化回歸模型，即可獲得無(wú)偏的最優(yōu)解算結(jié)果。下面以式（2）中參數(shù)a0到b19的計(jì)算為例進(jìn)行分析說(shuō)明。

令m＋1階離差陣A（0）為

式中

通過(guò)參數(shù)顯著性檢驗(yàn)判斷參數(shù)項(xiàng)是否可以被選入模型，計(jì)算各個(gè)自變量的偏回歸平方和

（1）判斷不在模型中的變量可否引入時(shí)，設(shè)

檢驗(yàn)H0：βi1＝0（即變量Xi1對(duì)r的作用是否顯著），檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為［14］

式中，Q（i1）表示在原有參數(shù)基礎(chǔ)上選入Xi1時(shí)的殘差平方和。給定顯著性水平α1，記自由度為n－2的F分布臨界值為若Fin（1，n－2），則引入變量Xi1，并對(duì)以該變量為主元的離差陣作消去變換，否則停止篩選。

（2）設(shè)t為已引入的變量個(gè)數(shù)，判斷已在模型中的變量可否剔除時(shí)，設(shè)

檢驗(yàn)變量Xi0可否剔除的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為［14］

式中，Q（i1，…，it）表示已選入Xi1，…，Xit時(shí)的殘差平方和。給定顯著性水平α2，記自由度為n－t－1的F分布臨界值為Fout（1，n－t－1），若≤Fout（1，n－t－1），則剔除變量Xi0，并對(duì)以該變量為主元的離差陣作消去變換，然后繼續(xù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ椭械淖兞靠煞裉蕹?；否則考慮能否引入新變量。

假定篩選變量結(jié)束后，引入方程的變量個(gè)數(shù)為h（h≤m），記為Xi1，…，Xih，A（0）經(jīng)過(guò)h次消去變換后轉(zhuǎn)化為

由A（h）即可得到回歸分析中的所有結(jié)果。

3 RFM殘余系統(tǒng)誤差改正

研究表明，利用衛(wèi)星影像輔助文件提供的RPC參數(shù)，無(wú)論是物方還是像方定位誤差都具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，并且誤差主要隨緯度或影像行（衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)前進(jìn)方向）的變化而變化［15］。許多利用SPOT－5和IKONOS衛(wèi)星影像提供的RPC分析定位誤差同樣呈現(xiàn)相似的系統(tǒng)性。本文利用SPOT－5衛(wèi)星參數(shù)和嚴(yán)格成像模型生成虛擬控制點(diǎn)格網(wǎng)并采用RFM擬合嚴(yán)格成像模型，兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的像方坐標(biāo)殘余誤差分布如圖1所示。可以看出，利用RFM擬合嚴(yán)格成像模型的殘差呈現(xiàn)明顯而有規(guī)律的系統(tǒng)性，最大殘差分別達(dá)到0.1和0.05像素，且系統(tǒng)誤差主要隨影像行的變化而變化，與已有研究成果的試驗(yàn)結(jié)論相似，說(shuō)明殘余系統(tǒng)誤差分布呈現(xiàn)普遍性。

本文提出的RPC殘余系統(tǒng)誤差補(bǔ)償方法與攝影測(cè)量中系統(tǒng)誤差處理的間接補(bǔ)償法類似，結(jié)合了自檢校法和驗(yàn)后補(bǔ)償法的優(yōu)點(diǎn)，不需要地面控制點(diǎn)，不改變?cè)衅讲畛绦?，通過(guò)先驗(yàn)知識(shí)構(gòu)造較為通用的殘余系統(tǒng)誤差補(bǔ)償模型，直接嵌入RPC逐步篩選求解的過(guò)程中，利用RPC殘差值求出殘余系統(tǒng)誤差模型參數(shù)，從而提高定位精度。

圖1 利用RFM擬合嚴(yán)格成像模型后的像點(diǎn)殘差分布Fig.1 Image point residues after RFM interpolation

利用殘余誤差主要隨影像行變化而變化，變化趨勢(shì)呈現(xiàn)波狀分布的先驗(yàn)知識(shí)，通過(guò)試驗(yàn)，在傅里葉系數(shù)和高次項(xiàng)系數(shù)中（其他方法在擬合時(shí)均出現(xiàn)不足）選用擬合效果較好的傅里葉系數(shù)構(gòu)造殘余系統(tǒng)誤差模型式（14），式中ΔSr和ΔSc即為殘余系統(tǒng)誤差改正模型。由于像點(diǎn)坐標(biāo)Sr和Sc相互獨(dú)立，殘差分布也不相同，因此需要分別改正。

式中

式中，pr0、pr1、…、qr5、wr為像點(diǎn)坐標(biāo)Sr方向（衛(wèi)星軌道運(yùn)行方向）殘余系統(tǒng)誤差改正模型系數(shù)，pc0、pc1、…、qc4、wc為像點(diǎn)坐標(biāo)Sc方向殘余系統(tǒng)誤差改正模型系數(shù)。由于Sr方向系統(tǒng)誤差比Sc方向系統(tǒng)誤差分布復(fù)雜，其改正模型也比Sc方向多一對(duì)傅里葉系數(shù)項(xiàng)。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

本文方法理論上適用于所有高分辨率衛(wèi)星影像，但由于其他商業(yè)衛(wèi)星影像的嚴(yán)格成像模型未知，因此利用已知嚴(yán)格成像模型的SPOT－5數(shù)據(jù)進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，下面采用其中兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行說(shuō)明。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)1：該數(shù)據(jù)由基于共線方程的嚴(yán)格成像模型生成，影像大小為12 000×12 000像素?？刂泣c(diǎn)和檢查點(diǎn)格網(wǎng)均為5層，交叉分布。最小高程200.000 000m，最大高程2 200.000 000m，地面點(diǎn)坐標(biāo)精確到小數(shù)點(diǎn)后6位。

試驗(yàn)數(shù)據(jù)2：影像大小為6 000×6 000像素，像點(diǎn)坐標(biāo)按200×200像素均勻分布?？刂泣c(diǎn)和檢查點(diǎn)格網(wǎng)均為11層，交叉分布。最小高程－0.000 003m，最大高程8 999.993 091m，地面點(diǎn)坐標(biāo)精確到小數(shù)點(diǎn)后6位。

地面點(diǎn)采用大地坐標(biāo)系（L，B，H），單位分別為（°）、（°）、m。

4.1 RFM參數(shù)逐步篩選求解

利用本文提出的逐步參數(shù)篩選方法求解的RPC參數(shù)與利用傳統(tǒng)的嶺估計(jì)方法求解的RPC參數(shù)序號(hào)對(duì)比如表1所示。本文方法將原模型的78個(gè)RPC參數(shù)經(jīng)過(guò)顯著性檢驗(yàn)，分別篩選減少為29和32個(gè)參數(shù)。此外，篩選法求解的RPC未知數(shù)中誤差比嶺估計(jì)法求解的未知數(shù)中誤差要小，精度更高。

表1 參數(shù)逐步篩選后保留的RPC未知參數(shù)Tab.1 Remained RPC unknowns with the proposed approach

表2是兩組數(shù)據(jù)的RFM求解模型設(shè)計(jì)矩陣條件數(shù)對(duì)比，可以看出采用嶺估計(jì)解算RPC時(shí)，設(shè)計(jì)矩陣條件數(shù)比原線性矩陣條件數(shù)有所減小，一定程度上改善了模型病態(tài)性。利用本文提出的參數(shù)篩選方法剔除不顯著的RPC參數(shù)項(xiàng)后，新模型的設(shè)計(jì)矩陣條件數(shù)非常小，基本克服了原模型求解RPC時(shí)存在的病態(tài)性問(wèn)題。

表2 設(shè)計(jì)矩陣條件數(shù)Tab.2 Condition index of the designed matrix

RFM擬合精度直接關(guān)系到高分辨率衛(wèi)星遙感影像處理和數(shù)字測(cè)圖的效果，為了驗(yàn)證利用篩選后的RFM參數(shù)是否能達(dá)到全部78個(gè)參數(shù)的擬合效果，表3列出兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別利用嶺估計(jì)法和逐步篩選參數(shù)法求解的RPC參數(shù)模型的擬合精度?？梢钥闯?，利用約30個(gè)RPC參數(shù)的模型擬合精度與嶺估計(jì)的78個(gè)RPC參數(shù)模型擬合精度幾乎一致，說(shuō)明本文方法的正確性和有效性。第一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的RPC擬合精度較差主要由不同的高程分層數(shù)引起，已有大量文獻(xiàn)討論該問(wèn)題，本文不再贅述。

4.2 RFM殘余系統(tǒng)誤差改正

利用基于離差陣的參數(shù)逐步篩選法求解RFM后，兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的像點(diǎn)殘差如圖1所示；采用本文提出的殘余系統(tǒng)誤差改正方法進(jìn)一步擬合后的像點(diǎn)殘差如圖2所示?？梢钥闯?，采用RFM擬合嚴(yán)格成像模型時(shí)，像點(diǎn)殘差大小分布呈現(xiàn)明顯的系統(tǒng)性，主要隨Sr方向（衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)前進(jìn)方向）變化，最大殘差達(dá)到0.1和0.05像素量級(jí)，本文提出的殘余系統(tǒng)誤差改正方法能夠明顯提高原模型的擬合精度，可以基本消除像點(diǎn)殘差的系統(tǒng)性，最大殘差僅為0.05、0.005像素量級(jí)，其擬合精度統(tǒng)計(jì)如表4所示?？梢钥闯鼋?jīng)過(guò)殘余系統(tǒng)誤差改正后，RFM定位精度顯著提高，完全可以替代嚴(yán)格成像模型進(jìn)行衛(wèi)星遙感影像的對(duì)地定位處理。

表3 不同RPC求解方法的擬合精度Tab.3 Precision of RPC using different methods 像素

圖2 殘余系統(tǒng)誤差改正后的像點(diǎn)坐標(biāo)殘差分布Fig.2 Image point residues after correction of remnant systematic errors

表4 殘余系統(tǒng)誤差改正前后的擬合精度對(duì)比Tab.4 Precision comparison between precision before and after remnant systematic error correction 像素

5 結(jié) 論

本文提出基于離差陣和消去變換的RFM未知參數(shù)逐步篩選求解方法，用最少最合理的參數(shù)項(xiàng)擬合衛(wèi)星遙感影像的嚴(yán)格成像模型，克服過(guò)度參數(shù)化導(dǎo)致的系統(tǒng)病態(tài)性，并提出一種RFM殘余系統(tǒng)誤差的補(bǔ)償方法。

試驗(yàn)結(jié)果表明，利用分母不相同的三階RFM擬合嚴(yán)格成像模型，參數(shù)間的復(fù)共線性導(dǎo)致模型系統(tǒng)病態(tài)，參數(shù)解不穩(wěn)定。本文提出的逐步篩選參數(shù)求解方法可以解決RFM擬合嚴(yán)格成像模型的過(guò)度參數(shù)化問(wèn)題。該方法優(yōu)化了數(shù)學(xué)模型，可以獲得最小二乘無(wú)偏估計(jì)結(jié)果，且模型穩(wěn)定性比嶺估計(jì)方法高。該方法的參數(shù)個(gè)數(shù)雖然減少一半以上，但擬合精度與原78個(gè)參數(shù)模型的擬合精度一致。

RFM擬合嚴(yán)格成像模型時(shí)存在主要隨衛(wèi)星軌道運(yùn)行方向變化的殘余系統(tǒng)誤差，利用本文提出的殘余系統(tǒng)誤差補(bǔ)償方法可以有效消除該殘余誤差，擬合精度大大提高。

在實(shí)際應(yīng)用中，基于離差陣的RFM參數(shù)逐步篩選方法和RFM殘余系統(tǒng)誤差的改正方法可以獨(dú)立或結(jié)合使用，例如擬合RFM時(shí)可以采用逐步篩選法進(jìn)行解算，當(dāng)殘余系統(tǒng)誤差較大時(shí)再采用殘余系統(tǒng)誤差補(bǔ)償方法提高擬合精度。

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Optimization of the Rational Function Model of Satellite Imagery

ZHANG Yongjun1，WANG Lei1，2，LU Yihui1
1.School of Remote Sensing and Information Engineering，Wuhan University，Wuhan 430079，China；2.The Third Surveying and Mapping Institute of Sichuan Surveying and Mapping Bureau，Chengdu 610500，China

To solve the problems of over－parameterization and low geo－referencing accuracy of rational function model（RFM），a novel method of parameter optimization based on scatter matrix and elimination transformation and a new method of remnant systematic error compensation without ground control points are proposed.The proposed parameter optimization method can resolve the ill－posed problem of RFM by rejecting all excess parameters.The systematic error compensation method introduces a new correction model with Fourier coefficients.Experimental results indicate that the performance of the proposed method with less parameters is equal to that of the conventional model with all of the 78 parameters.Moreover，the ill－posed problem is effectively eliminated and thus the stabilities of estimated parameters are improved.The systematic error compensation scheme significantly eliminates the remnant systematic error of RFM and improves the geo－referencing accuracy.

high－resolution satellite imagery；rational function model；scatter matrix；elimination transformation；ill－posed problem；remnant systematic error

1001－1595（2011）06－0756－06

P237

A

國(guó)家自然科學(xué)基金（41071233；40671157）

叢樹平）

2010－07－09

2011－04－27

張永軍（1975—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)閿?shù)字?jǐn)z影測(cè)量與遙感、計(jì)算機(jī)視覺等。First author：ZHANG Yongjun（1975—），male，PhD，professor，PhD supervisor，majors in digital photogrammetry and remote sensing，computer vision.

E－mail：zhangyj＠whu.edu.cn