張 強(qiáng)，王永清，章雙龍，楊玲智，蔣 睿

(油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西南石油大學(xué)，四川 成都 610500)

考慮啟動(dòng)壓力和二次梯度的壓裂井穩(wěn)態(tài)滲流模型

張 強(qiáng)，王永清，章雙龍，楊玲智，蔣 睿

(油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西南石油大學(xué)，四川 成都 610500)

從質(zhì)量守恒原理出發(fā)，推導(dǎo)了考慮啟動(dòng)壓力梯度和二次壓力梯度非線性單向滲流微分方程。并通過變量代換，將滲流方程線性化，獲得單向穩(wěn)定滲流模型的解析解。再利用保角變換將壓裂井復(fù)雜的平面流動(dòng)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的單向流動(dòng)，最終獲得考慮啟動(dòng)壓力梯度和二次壓力梯度的壓裂井產(chǎn)量公式。通過對(duì)比分析可知:只考慮啟動(dòng)壓力梯度或二次梯度項(xiàng)所得產(chǎn)能公式都是文中公式的特例;忽略二次梯度項(xiàng)將使計(jì)算所得產(chǎn)能偏低，忽略啟動(dòng)梯度項(xiàng)將使計(jì)算所得產(chǎn)能偏高，且誤差隨二次梯度項(xiàng)系數(shù)和啟動(dòng)壓力梯度的增大而增大。

啟動(dòng)壓力梯度;二次梯度;非線性滲流;壓裂井;產(chǎn)能

引 言

近幾年來，隨著油氣勘探開發(fā)的逐步深入，已經(jīng)把勘探開發(fā)重點(diǎn)逐步轉(zhuǎn)移到低滲透油氣藏。一方面，理論研究、室內(nèi)實(shí)驗(yàn)以及生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)均表明低滲透儲(chǔ)層中具有啟動(dòng)壓力梯度，即只有生產(chǎn)壓差大于某個(gè)數(shù)值，儲(chǔ)層流體才會(huì)流動(dòng)［1－2］;另一方面，公式推導(dǎo)中曾經(jīng)忽略的二次梯度作用帶來的理論誤差可達(dá)20% 以上［3－6］。針對(duì)該問題，本文從低速非達(dá)西滲流理論入手，同時(shí)考慮高階梯度項(xiàng)，推導(dǎo)出了綜合考慮2種因素的壓裂井產(chǎn)能評(píng)價(jià)公式。通過比較分析可知，只考慮單一因素的產(chǎn)能公式是本文公式的特殊形式。

1 一維滲流模型的建立

假設(shè)條件:水平均質(zhì)等厚條帶狀地層;地層一端有一直線供給邊緣，另一端有一排液道，孔隙介質(zhì)及滲透率均勻，各向同性;流體微可壓縮且黏度是常數(shù);忽略重力和毛管力。

低滲透油藏低速非達(dá)西滲流方程為:

式中:V為流體滲流速度，m/s;K為地層滲透率，10－3μm2;μ為原油黏度，mPa·s;p為地層壓力，MPa;λ為啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m;x為距井底距離，m。

液體的狀態(tài)方程為:

式中:ρ為液體密度，kg/m3;ρo為原始地層壓力下液體密度，kg/m3;pi為原始地層壓力，MPa;Cρ為液體等溫壓縮系數(shù)，MPa－1。

由質(zhì)量守恒原理可得連續(xù)性方程為:

由▽算子的定義可得:

對(duì)液體狀態(tài)方程先取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)可得:

聯(lián)立式(1)、(3)、(4)、(5)可得:

式(6)就是考慮二次梯度項(xiàng)和啟動(dòng)壓力梯度的非線性滲流控制偏微分方程。

若對(duì)式(2)用麥克勞林級(jí)數(shù)展開并忽略所有高階項(xiàng)，得:

二次梯度項(xiàng)出現(xiàn)的原因在于上述推導(dǎo)滲流控制微分方程的過程中沒有對(duì)狀態(tài)方程(2)做任何的簡(jiǎn)化處理。如果對(duì)狀態(tài)方程用麥克勞林級(jí)數(shù)展開，用式(7)對(duì)滲流控制方程進(jìn)行推導(dǎo)，導(dǎo)出的滲流控制方程不含二次壓力梯度項(xiàng)。由于二次壓力梯度項(xiàng)的存在，使得描述多孔介質(zhì)、微可壓縮液體流動(dòng)的壓力分布的微分方程呈現(xiàn)非線性特征。故常規(guī)線性滲流控制方程是非線性控制方程的近似與簡(jiǎn)化。

式中:q為井底產(chǎn)油量，m3/d;h為油層厚度，m;w為油層寬度，m;pe為油藏外邊界壓力，MPa;pw為生產(chǎn)井底的壓力，MPa;L為油層長度，m;B為原油壓縮系數(shù)。

當(dāng)λ趨于零時(shí)，式(12)、(13)出現(xiàn)數(shù)學(xué)上求解%型的極限，應(yīng)用洛必達(dá)法則可得到不考慮啟動(dòng)壓力梯度的解式:

當(dāng)Cρ趨于零時(shí)，式(12)出現(xiàn)數(shù)學(xué)上求解%型的極限，應(yīng)用洛必達(dá)法則可得到不考慮二次壓力梯度項(xiàng)的解式:

如果λ和Cρ同時(shí)趨于零，式(14)利用洛必達(dá)法則得到常規(guī)一維油藏產(chǎn)量公式:

2 壓裂井滲流模型的建立

假設(shè)條件:均質(zhì)等厚圓形油藏中心1口橢圓形裂縫井穩(wěn)定生產(chǎn);裂縫對(duì)稱分布，無限導(dǎo)流，裂縫半長為Lf;產(chǎn)層全部打開，厚度為h;地層泄油半徑為re，其壓力為pe，井底壓力為pw;地層均質(zhì)且各向同性;壓縮系數(shù)和黏度是常值;流體單相微可壓縮;忽略重力和毛管力。

取保角變換為［9］:

式中:Lf為裂縫半長，m;Z、W為坐標(biāo)平面。

變換后，圖1(a)中的Z平面被映射為圖1(b)中的W平面(W平面為寬度為π的帶狀地層)。

圖1(a)中的裂縫AB經(jīng)過保角變換映射成圖1(b)中的A'B'。此時(shí)，Z平面內(nèi)垂直裂縫井的復(fù)雜滲流問題就轉(zhuǎn)變?yōu)閃平面內(nèi)簡(jiǎn)單的單向滲流問題。

可得相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為:

式中:(X，Y)為Z平面的坐標(biāo)，(U，V)為W平面的坐標(biāo)。

3 產(chǎn)能誤差分析

有關(guān)計(jì)算參數(shù)為:油藏有效厚度為20 m，滲透率為5 ×10－3μm2，供給半徑為 1 000 m，裂縫半長為400 m，地層原油黏度為20 mPa·s，生產(chǎn)壓差為10 MPa，原油壓縮系數(shù)為 1.2。λ的值分別取0.001、0.050、0.100、0.500 MPa/m;Cρ的值分別取0.000 1、0.003 4、0.006 7、0.010 0 MPa－1。對(duì)應(yīng)的誤差如表1、2所示。其中誤差的獲得是以產(chǎn)量公式(25)為基準(zhǔn)。由式(25)求得的產(chǎn)量為14.031 8 m3/d。

由表1、2可知，忽略二次梯度項(xiàng)將使計(jì)算所得產(chǎn)能偏低，忽略啟動(dòng)壓力梯度項(xiàng)將使計(jì)算所得產(chǎn)能偏高，且誤差隨啟動(dòng)壓力梯度和二次梯度項(xiàng)因子的增大而增大。

表1 二次壓力梯度引起的誤差

表2 啟動(dòng)壓力梯度引起的誤差

4 結(jié)論

(1)此次推導(dǎo)的單向流動(dòng)壓力分布公式(12)和產(chǎn)量公式(13)以及壓裂井產(chǎn)量公式(22)綜合考慮了啟動(dòng)壓力梯度和二次梯度項(xiàng)的影響，貼近生產(chǎn)實(shí)際，應(yīng)用范圍更廣泛。

(2)只考慮啟動(dòng)壓力梯度或者只考慮二次梯度項(xiàng)的單向流動(dòng)產(chǎn)量公式和壓裂井產(chǎn)量公式分別是所推導(dǎo)公式(13)、(22)的特例。

(3)忽略二次梯度項(xiàng)將使計(jì)算所得產(chǎn)能偏低，而忽略啟動(dòng)梯度項(xiàng)將使計(jì)算所得產(chǎn)能偏高，且誤差隨啟動(dòng)壓力梯度和二次梯度項(xiàng)因子的增大而增大。

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Steady state flow model of fractured wells considering kickoff pressure gradient and secondary pressure gradient

ZHANG Qiang，WANG Yong － qing，ZHANG Shuang– long，YANG Ling– zhi，JIANG Rui
(State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu，Sichuan 610500，China)

Based on the principle of mass conservation，a differential equation for the nonlinear unidirectional flow considering the kickoff pressure gradient and secondary pressure gradient has been derived in the paper．An analytical solution was obtained for the unidirectional steady state flow model by linearizing the flow model through substituting the variants．The complicated plane flow of fractured wells was then converted to a simple unidirectional flow by conformal transformation，resulting in a production formula for fractured wells considering the kickoff pressure gradient and secondary pressure gradient．It can be learned by comparative study that the production formulas considering only the kickoff pressure gradient or secondary pressure gradient are special cases of the formula．Ignoring secondary pressure gradient will result in lower calculation values of production while ignoring kickoff pressure gradient will result in higher calculation values of production and the errors will increase with the increase of the secondary gradient coefficient and the kickoff pressure．

kickoff pressure gradient;secondary gradient;nonlinear flow;fractured well;productivity

TE312;TE348

A

1006－6535(2011)06－0089－03

20110323;改回日期20110802

國家科技重大專項(xiàng)“火山巖氣藏完井優(yōu)化與產(chǎn)能評(píng)價(jià)”(2008ZX05054)

張強(qiáng)(1985－)，男，2009年畢業(yè)于大慶石油學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，現(xiàn)為西南石油大學(xué)油氣田開發(fā)專業(yè)在讀碩士研究生，從事油氣田開發(fā)方面的研究。

編輯 孟凡勤