聶法健，張艷玉

(中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島 266555)

改進(jìn)的IIk反褶積算法在變流量試井中的應(yīng)用

聶法健，張艷玉

(中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院，山東青島 266555)

引入定義在混合代數(shù)和三角多項式空間的5階NUAT B樣條，建立基于IIk模型的改進(jìn)型反褶積算法。結(jié)果表明:改進(jìn)型反褶積算法繼承了IIk算法的穩(wěn)定性，加強(qiáng)了IIk反褶積算法對弧度的適應(yīng)性;相對于目前存在的變流量反褶積方法，改進(jìn)的算法不僅對常見的試井?dāng)?shù)據(jù)具有高度的精確性和適應(yīng)性，而且可得到更多更準(zhǔn)確的地層資料，能夠消除疊加效應(yīng)影響，并對具有復(fù)雜壓力導(dǎo)數(shù)曲線的試井?dāng)?shù)據(jù)具有良好的適應(yīng)性。

試井;反褶積算法;NUAT B樣條

試井解釋是獲取油氣藏動態(tài)和靜態(tài)特性的一種行之有效并且十分重要的手段，但傳統(tǒng)的壓力導(dǎo)數(shù)法只能分析單個流動期，獲得的油藏探邊信息有限，采用壓力迭加原理對變產(chǎn)量情況下的數(shù)據(jù)解釋也存在誤差。Von Schroeter等［1-7］提出的反褶積算法可避免上述問題，使得反褶積方法在試井界引起了廣泛的注意，國內(nèi)研究者也針對這一新領(lǐng)域開展了很多研究［8-10］。然而，較為復(fù)雜的壓力導(dǎo)數(shù)曲線會存在圓弧段、橢圓段、拋物線段等復(fù)雜形態(tài)，上述算法采用普通的B樣條逼近，處理曲線弧度較大的壓力導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)效果較差。筆者提出5階基于NUAT B樣條的反褶積算法用于處理復(fù)雜的試井壓力導(dǎo)數(shù)曲線，考察反褶積方法在復(fù)雜地層情況下的適應(yīng)性。

1 NUAT B樣條反褶積算法

在油藏滲流線性系統(tǒng)中，井底壓力在產(chǎn)量變化時符合以下褶積積分:

式中，Δp為觀測到的實(shí)際壓差，MPa;q(t)為實(shí)際的產(chǎn)量歷史，m3;p'u(t)為恒定產(chǎn)量下壓力差對時間t的導(dǎo)數(shù)，代表對應(yīng)的時間段內(nèi)恒定產(chǎn)量生產(chǎn)條件下的壓力響應(yīng)，MPa/d。

反褶積算法的目標(biāo)就是利用變產(chǎn)量情況下的油藏壓力響應(yīng)求得恒定產(chǎn)量下的壓力降落數(shù)據(jù)，反褶積后的數(shù)據(jù)不受疊加效應(yīng)影響，也不存在產(chǎn)量歷史不完整所帶來的誤差。

本算法采用混合代數(shù)和三角多項式空間{1，t，t2，sin t，cos t} 的5階NUAT B樣條［7］代替未知的函數(shù):

對方程進(jìn)行Laplace變換(如果產(chǎn)量不穩(wěn)定，可以分段對產(chǎn)量用指數(shù)函數(shù)逼近，如果產(chǎn)量呈穩(wěn)定階梯狀變化，建議使用每個階梯的均值)可以得到

得到未知的參數(shù)ci，i=0，±1，±2，…。方程(7)為超定線性方程組，可以用最小平方求解也可以用加權(quán)最小平方求解。因此，引入一個加權(quán)矩陣，Wj=1/Δpm，j，方程(7) 可以修改為

在這種情況下，NUAT B樣條的目標(biāo)就是找到加權(quán)最小二乘法目標(biāo)函數(shù)E(C)，

根據(jù)得到的參數(shù)ci(詳細(xì)解法參見文獻(xiàn)［6］)，可以得到恒定產(chǎn)量下的壓力響應(yīng)為

得到反褶積結(jié)果后，通過積分形式得到壓力響應(yīng)就可以在雙對數(shù)坐標(biāo)系下繪制出恒定產(chǎn)量下壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線。

2 產(chǎn)量函數(shù)化

在進(jìn)行反褶積處理前，需要將產(chǎn)量相函數(shù)化，以方便進(jìn)行反褶積運(yùn)算。另外，需要引入躍階函數(shù)Heaviside將各階段函數(shù)整合起來，形成一個完整的產(chǎn)量函數(shù)表達(dá)式，否則會增加程序編制調(diào)整計算量。各階段產(chǎn)量變化如圖1所示。

圖1 產(chǎn)量變化示意圖Fig.1 Sketch map of output change

3 NUAT B樣條反褶積算法驗證

通過NUAT B反褶積方法在試井設(shè)計及現(xiàn)場的應(yīng)用，驗證算法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

3.1 通過反褶積觀測更遠(yuǎn)邊界

如圖2所示，通過試井設(shè)計得到的油井生產(chǎn)歷史為5 000 h、壓力恢復(fù)段約為100 h。根據(jù)壓力恢復(fù)段數(shù)據(jù)繪制的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線見圖3，井筒存儲階段占據(jù)了過大的比例，用于觀測邊界和地層參數(shù)的曲線過短，無法觀測到邊界信息，影響分析的準(zhǔn)確性。

圖2 變產(chǎn)量壓力歷史曲線Fig.2 Pressure history curve with variable well output

圖3 壓力恢復(fù)得到的壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.3 Pressure and pressure derivative curve by well pressure recovery

采用本文中反褶積方法對產(chǎn)量和壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后可得到時間長達(dá)5 000 h恒定產(chǎn)量下的壓力降落曲線(圖4)。通過反褶積處理后的壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線(圖5)可得到更多油藏數(shù)據(jù)，用于試井解釋的壓力恢復(fù)段時間長達(dá)4000 h，遠(yuǎn)超過反褶積前，反褶積后的壓力導(dǎo)致曲線井筒存儲段比例明顯縮小，清晰地反映出了油藏特征，并觀測到之前未觀測到的邊界響應(yīng)。

圖4 反褶積后產(chǎn)量、壓力歷史曲線Fig.4 Well output and pressure history curve after deconvolution

圖5 反褶積后壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.5 Pressure and pressure derivative curve after deconvolution

3.2 通過反褶積消除疊加效應(yīng)

圖6 某井產(chǎn)量和壓力歷史Fig.6 Well output and pressure history diagram

圖6為某井的長達(dá)2600 h生產(chǎn)歷史，包含若干次關(guān)井段。取時間較長的兩個壓力恢復(fù)段，其壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線如圖7所示。由圖7可以看出，兩個壓力恢復(fù)段壓力和壓力導(dǎo)數(shù)前期曲線一致，包括前期的井筒存儲階段和徑向流階段。短暫的徑向流之后，壓力恢復(fù)段壓力導(dǎo)數(shù)曲線呈上翹趨勢，據(jù)此初步判斷可能是復(fù)合型油藏或是線性不滲透邊界的反應(yīng)，且時間較長的壓力導(dǎo)數(shù)曲線末端呈下降趨勢，反映了定壓邊界的特征。然而，如圖6所示，整個壓力時期壓力衰竭明顯，不應(yīng)該存在恒壓邊界。

圖7 兩個壓力恢復(fù)段壓力和壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.7 Pressure and pressure history curve at two pressure recovery sections

由此可以推測，壓力導(dǎo)數(shù)曲線末端的下降是因為疊加影響產(chǎn)生的。此時，常規(guī)試井方法通常要嘗試各種可能帶來壓力衰竭的試井模型，經(jīng)過反復(fù)試算后確定得到可信的結(jié)果，但這種方法費(fèi)時費(fèi)力。對壓力和產(chǎn)量數(shù)據(jù)進(jìn)行反褶積后繪制的壓力導(dǎo)數(shù)曲線(圖8)顯示的是不滲透封閉邊界的特征，采用不滲透邊界模型可以很容易地擬合整個壓力恢復(fù)周期。

圖8 某井反褶積后壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線Fig.8 Pressure and pressure history curve of case well after deconvolution

3.3 反褶積在雙孔擬穩(wěn)定油藏試井中的應(yīng)用

某雙孔擬穩(wěn)定油藏，油井為壓裂井，截取該井生產(chǎn)歷史的一部分(圖9)，該階段具有代表性，存在兩個生產(chǎn)階段和一個關(guān)井階段。

雙重介質(zhì)油藏壓力恢復(fù)段存在裂縫向基質(zhì)的擬穩(wěn)態(tài)流動(圖10)，相應(yīng)的壓力導(dǎo)致出現(xiàn)下凹段，并隨著彈性儲容比的增加下凹段變明顯，給反褶積算法的應(yīng)用帶來難度。目前使用的商業(yè)軟件得到的壓力導(dǎo)數(shù)波動劇烈，曲線形態(tài)存在圓弧、橢圓弧等情況下擬合效果不夠理想，擬合結(jié)果體現(xiàn)不出壓力導(dǎo)數(shù)曲線弧度的幅度，必然會給后續(xù)試井解釋結(jié)果帶來誤差。本文中采用的NUAT B樣條反褶積方法，對壓力導(dǎo)數(shù)曲線具有更強(qiáng)的擬合能力，可以有效擬合復(fù)雜壓力導(dǎo)數(shù)曲線，在本例中存在明顯的下凹段取得理想的效果。

圖9 某井產(chǎn)量和壓力歷史Fig.9 Well output and pressure history of case well

圖10 反褶積算法效果對比Fig.10 Effect comparison of two deconvolution methods

4 結(jié)論

(1)若壓降或壓力恢復(fù)期較短，常規(guī)試井解釋可能反映不出較遠(yuǎn)的邊界信息，此時應(yīng)用反褶積方法通過處理多個階段的試井?dāng)?shù)據(jù)可以得到更遠(yuǎn)的邊界信息，使解釋的資料更加可靠。

(2)實(shí)際生產(chǎn)產(chǎn)量存在波動，壓力恢復(fù)和壓力降落資料會受到疊加效應(yīng)的影響，易出現(xiàn)錯誤的判斷，通過反褶積試井方法可消除疊加效應(yīng)對試井曲線的影響，提高分析的效率和準(zhǔn)確性。

(3)本文中提出的NUAT B反褶積方法可應(yīng)用到壓力導(dǎo)數(shù)形態(tài)更為復(fù)雜的情形，如實(shí)例中的多重介質(zhì)油藏壓力導(dǎo)數(shù)存在明顯下凹的情況，擴(kuò)大了反褶積算法的適用范圍。

［1］BORGES Jose Umberto A，MAHMOUD Jamiolahmady.Well test analysis in tight gas reservolrs［R］.SPE 121113，2009.

［2］von THOMAS Schroeter，F(xiàn)LORIAN Hollaender，ALAIN C.Deconvolution of well test data as a nonlinear total least squares problem［R］.SPE 71574，2001.

［3］von THOMAS Schroeter，F(xiàn)LORIAN Hollaender，ALAIN C.Analysis of well test data from permanent downhole gauges by deconvolution［R］.SPE 77688，2002.

［4］MICHAEL M，LEVITAN B P.Practical application of pressure-rate deconvolution to analysis of real well tests［R］.SPE 84290，2003.

［5］MICHAEL M，LEVITAN B P.Practical considerations for pressure－rate deconvolution of well test data［R］.SPE 90680，2004.

［6］ILK D.Deconvolution of variable rate reservoir performance data using B－splines［R］.SPE 95571-PA，2005.

［7］ZHANG Jiwen.C-curves:an extension of cubic curves［J］.Computer Aided Geometric Design，1996，13(1):199-217.

［8］李勇，李保柱，胡永樂，等.反褶積法在氣井早期地層測試解釋中的應(yīng)用［J］.石油學(xué)報，2010，31(2):298-301.

LI Yong，LI Bao-zhu，HU Yong-le，et al.Application of deconvolution algorithm to early formation interpretation of gas wells［J］.Acta Petrolei Sinica，2010，31(2):298-301.

［9］胡小虎，鄭世毅，高遠(yuǎn)，等.無原始地層壓力下的反褶積試井方法研究［J］.西南石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，32(3):89-92.

HU Xiao-hu，ZHENG Shi-yi，GAO Yuan，et al.Study of deconvolution algorithm without initial reservoir pressure for well test［J］.Journal of Southwest Petroleum University(Science ＆ Technology Edition)，2010，32(3):89-92.

［10］王建忠，姚軍，張凱.變滲透率模量與雙重孔隙介質(zhì)的壓力敏感性［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，34(3):80-83.

WANG Jian-zhong，YAO Jun，ZHANG Kai.Variable permeability modulus and pressure sensitivity of dual-porositymedium［J］.Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science)，2010，34(3):80-83.

Application of improved IIk deconvolution method in variable flow well test

NIE Fa-jian，ZHANG Yan-yu

(College of Petroleum Engineering in China University of Petroleum，Qingdao 266555，China)

Through introducing the five order NUAT B-spline deconvoluton scheme defined in a mixed algebraic and trigonometric polynomial space，an improved deconvolution algorithm was established based on IIk model.The results show that the new algorithm not only inherits the stability advantage of IIk algorithm，but also strengthens the curvature adaptation of IIk deconvolution.Compared with the existent variable flow well test algorithms，the new algorithm has high accuracy and adaptability to common well test data.More amount and more accurate strata information can be obtained，and the stack effect can be eliminated using this method.And it also has good adaptability to well test data with complex pressure derivative curve.

well test;deconvolution;NUAT B spline

TE 353

A >

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.04.018

1673-5005( 2011) 04-0098-05

2011－05－09

國家科技重大專項課題(2009ZX05009)

聶法健(1980－)，男(漢族)，山東濟(jì)南人，博士研究生，從事氣驅(qū)提高采收率和不穩(wěn)定試井研究。

(編輯 李志芬)