景大雷，王 飛* ，趙學(xué)增，王曉明(1．哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001;)2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)微系統(tǒng)與微結(jié)構(gòu)制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱150001

近年來，微懸臂梁傳感器因其具有結(jié)構(gòu)尺寸小、靈敏度高、響應(yīng)頻率快、批量生產(chǎn)成本低等優(yōu)點(diǎn)，在生化傳感器方面得到了廣泛的應(yīng)用［1－4］。微懸臂梁傳感器有兩種獨(dú)立的工作模式:靜態(tài)工作模式和動(dòng)態(tài)工作模式［5－8］。對(duì)于表面鍍有壓電薄膜的微懸臂梁，由于壓電材料具有的壓電效應(yīng)，使得壓電微懸臂梁同時(shí)具有驅(qū)動(dòng)和傳感的特點(diǎn)，因此得到了越來越多的關(guān)注和應(yīng)用，已經(jīng)成為目前研究的熱點(diǎn)。

用于生物和化學(xué)檢測(cè)的壓電微懸臂梁通常在其上表面鍍一層對(duì)待測(cè)物質(zhì)具有敏感作用的敏感層。敏感層吸附待測(cè)分子或原子后，會(huì)導(dǎo)致微懸臂梁產(chǎn)生彎曲或共振頻率的變化，通過測(cè)量彎曲量或共振頻率的改變量，達(dá)到物質(zhì)傳感檢測(cè)的目的。目前為止，對(duì)于微懸臂梁靜態(tài)傳感方式的理論研究，大多數(shù)都采用比較直觀的Stoney模型［9］作為理論上的分析手段。近年來，也有越來越多的研究小組采用能量的方法［10］從原子或分子層面研究吸附引起的微懸臂梁的靜態(tài)理論模型。所謂能量的方法是指在吸附過程中，分子(原子)勢(shì)能和微懸臂梁的彈性勢(shì)能之間會(huì)產(chǎn)生相互轉(zhuǎn)化。吸附穩(wěn)定之后，系統(tǒng)總能量，即分子勢(shì)能和梁的彈性勢(shì)能之和，應(yīng)為最低?？偰芰孔畹蜁r(shí)梁的曲率半徑即為所要求解的值。但是，由于分子或原子吸附會(huì)使微懸臂梁表面產(chǎn)生表面力，引起微懸臂梁吸附穩(wěn)定后的中性層位置的變化。但是目前使用能量法在建模過程中，并沒有考慮到由于分子或原子吸附在懸臂梁表面產(chǎn)生的表面應(yīng)力所引起的微懸臂梁中性層位置的變化，因此會(huì)使建模結(jié)果產(chǎn)生誤差。

本文將對(duì)壓電微懸臂梁傳感器靜態(tài)模式進(jìn)行研究，建立氣體吸附壓電懸臂梁靜態(tài)彎曲模型。基于能量方法，以壓電微懸臂梁為例，通過引入吸附表面應(yīng)力引起的微懸臂梁中性層位置的變化，研究壓電微懸臂梁吸附單層分子穩(wěn)定后的彎曲情況，對(duì)傳統(tǒng)的單純基于能量法的懸臂梁靜態(tài)模型進(jìn)行了修正。結(jié)果表明在相同吸附表面積和吸附量條件下，壓電微懸臂梁的曲率半徑隨梁厚度減小而減小，隨梁楊氏模量的減小而減小;且微懸臂梁尺寸的越小，考慮中性層位置變化對(duì)靜態(tài)變形影響越大;且壓電層和基底層楊氏模量比值不同會(huì)使梁曲率半徑隨壓電層與基底層厚度比呈現(xiàn)不同的變化趨勢(shì)。

1 理論模型

1．1 中性層位置確定

本文中所采用的模型是表面吸附有單分子層的壓電微懸臂梁。假設(shè)吸附在梁表面的第一層分子對(duì)懸臂梁的變形起到主要作用［11］。同時(shí)由于敏感層厚度遠(yuǎn)小于壓電微懸臂梁厚度，故在建模過程中，忽略敏感層的影響。設(shè)被測(cè)分子在壓電微懸臂梁表面吸附的簡化模型如圖1所示，并建立如圖1所示坐標(biāo)系。其中，x軸位于壓電層與非壓電層結(jié)合面處，z軸沿梁厚度方向，圖中上層為壓電層，下層為非壓電層，P，Q，R 為被測(cè)分子或原子，而 1，2，3，4 為敏感層分子。

圖1 被測(cè)分子在壓電微懸臂表面的分布圖

分子(原子)在壓電微懸臂梁表面吸附后，壓電微懸臂梁的上表面會(huì)產(chǎn)生表面應(yīng)力。由于上下表面具有一定的應(yīng)力差，會(huì)引起微懸臂梁的彎曲變形，同時(shí)在變形過程中會(huì)引起懸臂梁中性層位置的變化。

任取壓電微懸臂梁自由端一部分。設(shè)分子吸附穩(wěn)定之后，壓電微懸臂梁上表面的表面應(yīng)力為τ，并假設(shè)微懸臂梁壓電層和非壓電層內(nèi)應(yīng)力線性變化，如圖2所示。

圖2 壓電懸臂梁自由端截取部分應(yīng)力應(yīng)變?cè)韴D

吸附變形后微懸臂梁的應(yīng)變?nèi)缡?1)所示

其中，tn為中性層位置，R為中性層曲率半徑。

同時(shí)，微懸臂梁各處應(yīng)力如式(2)所示

其中E為梁的楊氏模量。i=p表示壓電層的楊氏模量，i=np表示非壓電層的楊氏模量。

壓電微懸臂梁吸附穩(wěn)定之后，應(yīng)滿足如下平衡條件:

其中，tp代表壓電層厚度，tnp代表非壓電層厚度。

由以上兩式分別可以計(jì)算出中性層位置tn，如式(3)、(4)所示。

1．2 壓電微懸臂梁曲率半徑

壓電微懸臂梁吸附分子達(dá)到穩(wěn)定的過程之中，存在著能量之間的相互轉(zhuǎn)化。被測(cè)分子本身的勢(shì)能以及被測(cè)分子與敏感層之間的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為壓電微懸臂梁的彎曲勢(shì)能。因此，壓電微懸臂梁系統(tǒng)吸附平衡之后，被測(cè)分子本身的勢(shì)能、被測(cè)分子與敏感層之間的勢(shì)能以及壓電微懸臂梁的彎曲勢(shì)能三部分能量之和應(yīng)該達(dá)到最小值。設(shè)壓電微懸臂梁彎曲變形后分子排布如圖3所示。

圖3 壓電微懸臂梁彎曲后分子排布圖

分子吸附穩(wěn)定后，分子之間距離發(fā)生變化。由圖3幾何關(guān)系可以得到，吸附穩(wěn)定后相應(yīng)分子之間距離如式(5)、(6)所示［10］。

其中，dPQ為吸附穩(wěn)定后被測(cè)分子之間的距離，dP1，dQ1為吸附穩(wěn)定后被測(cè)分子與敏感層分子之間的距離，R為中性層處曲率半徑，a為吸附層的高度。

吸附完成后，原子之間的勢(shì)能，可以通過Lennard-Jones勢(shì)能函數(shù)用曲率半徑R表示，如式(7)所示［10］。

取一個(gè)吸附分子間距d的梁端作為研究對(duì)象，吸附穩(wěn)定后，該段壓電微懸臂梁應(yīng)變能如式(8)所示。

同時(shí)，該段壓電微懸臂梁上總的分子勢(shì)能如式(9)所示［12］。

其中，σ為該段壓電梁上吸附的原子數(shù)，U0為吸附分子內(nèi)部的勢(shì)能，并假設(shè)在吸附整個(gè)過程中，吸附分子結(jié)構(gòu)變化很小，可以忽略不計(jì)，則U0為常數(shù)。

吸附穩(wěn)定之后，系統(tǒng)總能量為:

由前所述系統(tǒng)穩(wěn)定后，應(yīng)用系統(tǒng)總能量最低，即:

由上式可得曲率的方程為:

其中，κ=1/R為懸臂梁的曲率。由式(3)、(4)、(10)可得，吸附穩(wěn)定后壓電微懸臂梁的曲率半徑和吸附引起的表面應(yīng)力。

2 算例與數(shù)值計(jì)算

2．1 算例

本部分使用Dareing和Thundat的實(shí)驗(yàn)對(duì)所建立的理論模型進(jìn)行驗(yàn)證。而所參照的實(shí)驗(yàn)所采用的是具有一種材料的微懸臂梁，所以在驗(yàn)證過程中應(yīng)取tp=0。使用文獻(xiàn)［10］中所給參考數(shù)據(jù)，采用式(4)、(10)可得 c/R=4．685 ×10－7，由微懸臂梁幾何關(guān)系可知，自由端的變形量為δ=267．7 nm，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較具有較好的一致性。而理論模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的差值可能是由于汞在微懸臂梁表面吸附時(shí)，排列不完全均勻，而且存在多層吸附引起的。若在建模過程中采用多個(gè)原子作為研究對(duì)象，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，更加準(zhǔn)確。

2．2 數(shù)值計(jì)算

下面我們?nèi)∫欢ǔ叽绲膲弘娢冶哿簬肽Ｐ凸竭M(jìn)行計(jì)算。模型為使用鍍有鋁膜的壓電微懸臂梁對(duì)水分子進(jìn)行檢測(cè)。首先確定公式中參數(shù)［12］:a取經(jīng)驗(yàn)值即為鋁原子晶格常數(shù)。L－J系數(shù)為:

2．2．1 厚度對(duì)壓電微懸臂梁靜態(tài)變形的影響

設(shè)壓電懸臂梁的 l=500 μm，ω =50 μm，Ep=104 GPa，Enp=165 GPa。分別采用本文所述理論模型與文獻(xiàn)［10］中理論模型對(duì)吸附平衡后不同厚度壓電懸臂梁的曲率半徑進(jìn)行計(jì)算，得到了如表1和圖4所示的計(jì)算結(jié)果。

表1 不同厚度壓電微懸臂梁吸附平衡后曲率半徑(tp=tnp)

圖4 壓電微懸臂曲率半徑與梁厚關(guān)系曲線

由表1及圖4我們注意到，在相同吸附表面積和吸附量下，壓電微懸臂梁曲率半徑隨梁厚度的增加而增加，即壓電微懸臂梁的變形量隨厚度的減小而減小。同時(shí)，由表1第四行我們可以看到，本文模型與參考模型計(jì)算結(jié)果差值很小。

為此，我們對(duì)壓電懸臂梁的基本尺寸進(jìn)行了修改，取 l=5 μm，ω =0．5 μm，總厚度值如表 2 所示，而其他參數(shù)保持不變。我們可以得到如表2和圖5所示結(jié)果。

表2 不同厚度壓電微懸臂梁吸附平衡后曲率半徑(tp=tnp)

圖5 壓電微懸臂曲率半徑與梁厚關(guān)系曲線

顯然，通過表2和圖5所示結(jié)果，我們可以得到與表1和圖4類似的結(jié)論。同時(shí)我們可以注意到，當(dāng)微懸臂的尺寸下降時(shí)，懸臂梁中性層位置的變化的引入，會(huì)引起計(jì)算結(jié)果較大的變化。因此中性層位置變化的引入，為更小尺度懸臂梁靜態(tài)理論模型的研究提供了一定的改進(jìn)和修正。

2．2．2 不同厚度比對(duì)壓電微懸臂靜態(tài)變形的影響

下面我們對(duì)具有不同厚度比δ(壓電層與非壓電層厚度比)的壓電微懸臂梁進(jìn)行研究，在數(shù)值計(jì)算過程中取 l=500 μm ，ω =50 μm，tp+tnp=5 μm，其他參數(shù)保持不變。采用本文所建立的模型對(duì)不同厚度比的壓電微懸臂進(jìn)行研究可以得到如圖6所示的結(jié)果。

圖6 壓電微懸臂曲率半徑與不同厚度比之間關(guān)系曲線

通過圖6中三條變化曲線可以看到，在相同膜厚比條件下，壓電微懸臂梁在吸附平衡后，壓電微懸臂梁的曲率半徑隨壓電梁各層楊氏模量的減小而減小，即壓電微懸臂梁的變形量隨壓電微懸臂梁各層楊氏模量的減小而增大。

同時(shí)對(duì)圖6中三條變化曲線研究發(fā)現(xiàn)，每條曲線均存在一個(gè)拐點(diǎn)。對(duì)于Enp=165 GPa的兩條曲線，看以注意到兩條曲線具有類似的變化規(guī)律，但兩者拐點(diǎn)存在的位置不同，上面一條曲線拐點(diǎn)約在δ=6處，而下面一條曲線的拐點(diǎn)約在δ=7。而對(duì)于Enp=104 GPa的兩條曲線，兩者具有相反的變化規(guī)律，上面一條曲線拐點(diǎn)約在δ=6處，而下面一條曲線的拐點(diǎn)約在δ=3。同時(shí)分析不同曲線的材料楊氏模量比我們看到，這種拐點(diǎn)的存在，以及曲線的變化規(guī)律與材料的楊氏模量有關(guān)，即是由材料的性質(zhì)決定的。

3 結(jié)論

本文基于能量法，并引入表面吸附引起的微懸臂梁中性層位置的變化，構(gòu)建了單層分子在壓電微懸臂梁表面進(jìn)行吸附的靜態(tài)理論模型，對(duì)傳統(tǒng)的基于能量法的模型進(jìn)行了改進(jìn)，得到了吸附穩(wěn)定后壓電微懸臂梁的曲率半徑公式和表面應(yīng)力公式。同時(shí)利用文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，證實(shí)了所建立模型的合理性和準(zhǔn)確性。進(jìn)一步計(jì)算結(jié)果表面在相同吸附表面積和吸附量條件下，壓電微懸臂梁的曲率半徑隨梁厚度減小而減小，隨梁楊氏模量的減小而減小;而當(dāng)壓電微懸臂尺度減小時(shí)，懸臂梁中性層位置變化的引入對(duì)僅基于能量法的靜態(tài)模型進(jìn)行了修正;同時(shí)曲率半徑隨不同膜厚比變化過程中存在一個(gè)拐點(diǎn)，這一特殊點(diǎn)受到兩種材料的楊氏模量的影響。該模型的建立為更小尺度懸臂梁的靜態(tài)理論模型進(jìn)行了修正，并為研究壓電微懸臂梁動(dòng)態(tài)模式在氣體檢測(cè)方面的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

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