摘要：分析了離散數(shù)學(xué)的課程特點(diǎn)，給出學(xué)習(xí)該課程的指導(dǎo)性方法；結(jié)合考試中的各種題型，給出了相應(yīng)的復(fù)習(xí)方向及應(yīng)試技巧，并結(jié)合教學(xué)實(shí)踐提出了相關(guān)建議。通過推廣這些方法和技巧，本院學(xué)生的應(yīng)試成績(jī)得到了普遍提高。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué)；課程特點(diǎn)；常見題型；解題技巧

0 引言

離散數(shù)學(xué)主要研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系，它充分體現(xiàn)了計(jì)算機(jī)科學(xué)離散性的特點(diǎn)。由于離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的重要性，許多大學(xué)都把離散數(shù)學(xué)或其中一部分作為研究生入學(xué)考試的內(nèi)容。作為計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，離散數(shù)學(xué)有與其它課程相通相似的部分，當(dāng)然也有它自身的特點(diǎn)。本文首先分析了課程特點(diǎn)，然后根據(jù)常見題型給出了應(yīng)試技巧，最后對(duì)課程的學(xué)習(xí)方法做了小結(jié)。

1 課程內(nèi)容特點(diǎn)

1.1定義和定理多

離散數(shù)學(xué)是建立在大量定義上面的邏輯推理學(xué)科，因而對(duì)概念的理解是學(xué)習(xí)這門學(xué)科的核心。在學(xué)習(xí)這些概念的時(shí)候，特別要注意概念之間的聯(lián)系——描述這些聯(lián)系的實(shí)體是大量的定理和性質(zhì)。

離散教學(xué)考試的一部分內(nèi)容是考察大家對(duì)定義和定理的識(shí)記、理解和運(yùn)用。這類內(nèi)容往往因其難度低而在復(fù)習(xí)中被忽視。在研究生入學(xué)考試的專業(yè)課試題中，經(jīng)常出現(xiàn)直接考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)的識(shí)記的題目。對(duì)于這種題目，考生應(yīng)該能夠準(zhǔn)確、全面地再現(xiàn)此知識(shí)點(diǎn)，任何的模糊和遺漏，都會(huì)造成極為可惜的失分。筆者建議，在復(fù)習(xí)的時(shí)候，對(duì)重要知識(shí)的記憶，務(wù)必以“準(zhǔn)確、全面”為標(biāo)準(zhǔn)來要求自己。關(guān)于這一點(diǎn)，要使之貫穿于整個(gè)離散數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)過程中。離散數(shù)學(xué)的定義主要分布在集合論的關(guān)系和函數(shù)部分，還有代數(shù)系統(tǒng)的群、環(huán)、域、格和布爾代數(shù)中。一定要很好地識(shí)記和理解。

1.2方法性強(qiáng)

離散數(shù)學(xué)的證明題，方法性是非常強(qiáng)的，如果知道一道題用怎樣的方法證明，很輕易就可以證出來，反之則事倍功半。所以在平常復(fù)習(xí)中，要善于總結(jié)，那么遇到比較陌生的題也可以游刃有余了。在復(fù)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)注重總結(jié)解題方法，同時(shí)還應(yīng)勤于思考。對(duì)于一道題，盡可能地多探討幾種解法。

1.3有窮性

由于離散數(shù)學(xué)較為“傳統(tǒng)”，出新題比較困難，不管什么考試，許多題目是陳題，或者稍作變化得來的‘?！笆熳x唐詩三百首，不會(huì)做詩也會(huì)吟?！比绻玫揭槐玖?xí)題集，從頭到尾做過，甚至背會(huì)的話，那么，在考場(chǎng)上就會(huì)發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)題目都見過或似曾相識(shí)。這時(shí)，要取得較好的成績(jī)也就不是太難的事情了。

2 常見題型及解題技巧

2.1基礎(chǔ)題

基礎(chǔ)題是考察對(duì)定義的識(shí)記，以及簡(jiǎn)單的證明和推理能力。題目主要集中在數(shù)理邏輯部分和集合論部分。這些題目不需要思考，很容易上手。對(duì)這一部分的題目考生主要是要防止粗心大意和對(duì)定義記憶似是而非而丟失分?jǐn)?shù)。如在主合取范式中，要注意極大項(xiàng)編碼對(duì)應(yīng)的指派與真值表對(duì)應(yīng)的指派相反(這一點(diǎn)在許多的參考書里也會(huì)犯錯(cuò)誤)；還要防止沒有按照一定的方法而引起的錯(cuò)誤，如我們?cè)跀?shù)理邏輯或者集合論里作等價(jià)推演時(shí)，可以省略若干不重要的步驟，而在推理理論原則不能省略任何步驟，否則被認(rèn)為是邏輯錯(cuò)誤。在復(fù)習(xí)中，還要注意融會(huì)貫通，例如，數(shù)理邏輯和集合論是相通的，因此記憶或者總結(jié)方法的時(shí)候可以綜合起來，這樣便于比較和理解。

2.2定理應(yīng)用題

這類題目是最“固定”的一類，它主要體現(xiàn)了離散數(shù)學(xué)方法性強(qiáng)的特點(diǎn)。這一部分占了考試內(nèi)容的大部分，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在這一部分下功夫。記住了各種方法，也就拿到了離散數(shù)學(xué)的大部分分?jǐn)?shù)。

下面列出常用的幾種應(yīng)用。

(1)證明等價(jià)關(guān)系：即要證明關(guān)系的自反、對(duì)稱、傳遞性質(zhì)。

(2)證明偏序關(guān)系：即要證明關(guān)系的自反、反對(duì)稱、傳遞的性質(zhì)。

(3)證明集合等勢(shì)：即證明兩個(gè)集合中存在雙射。有三種情況：第一，證明兩個(gè)具體的集合等勢(shì)?？捎脴?gòu)造法，或者直接構(gòu)造一個(gè)雙射，或者構(gòu)造兩個(gè)集合相互間的入射。第二，已知某個(gè)集合的基數(shù)，如果為N，就設(shè)它和R之間存在雙射，然后通過f的性質(zhì)推出另外的雙射，因此等勢(shì)；如果為NO，則設(shè)和N之間存在雙射。第三，已知兩個(gè)集合等勢(shì)，然后再證明另外的兩個(gè)集合等勢(shì)。這時(shí)，先設(shè)已知的兩個(gè)集合存在雙射，然后根據(jù)剩下題設(shè)條件證明要證的兩個(gè)集合存在雙射。

(4)證明群：即要證明代數(shù)系統(tǒng)封閉、可結(jié)合、有幺元和逆元。

(5)證明子群：證明子群的定理有兩個(gè)，但通常考第二個(gè)定理：設(shè)s，則∈是群，s是G的非空子集，如果對(duì)于s中的任意元素a和b有a*b-1是的子群。若對(duì)于有限子群，則要考慮第一個(gè)定理。

(6)證明格和子格：子格沒有條件，因此和證明格一樣：證明集合中任意兩個(gè)元素的最大元和最小元都在集合中。

(7)圖論雖然方法性沒有前幾部分的強(qiáng)，但是也有一定的方法，如最長(zhǎng)路徑法、構(gòu)造法等等。

2.3難題

難題是考試中比較難以下手，用來拉開分?jǐn)?shù)檔次的題。難題主要有以下四種，我們來逐一進(jìn)行分析。

(1)綜合題

綜合題是內(nèi)容涵蓋若干章節(jié)的問題。這類題大多數(shù)落在群論里面的陪集、拉格朗日定理、正規(guī)子群、商群這一部分中。這一部分結(jié)合的內(nèi)容很多，而且既復(fù)雜又難理解，是整個(gè)離散數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)。

拉格朗日定理把群和等價(jià)關(guān)系、劃分結(jié)合在一起，又與群的階數(shù)相掛鉤(在子群中有一部分階數(shù)方面的題是比較難的題，它的解法依據(jù)就在此處)；商群將兩個(gè)群結(jié)合在一起，因?yàn)閮蓚€(gè)群的元素是不同的，因此必須把概念弄清楚才不至于混亂；同余關(guān)系把群和關(guān)系相結(jié)合，定義了一種新的關(guān)系；自然同態(tài)把正規(guī)子群和商群相聯(lián)系，也是某些證明題的著眼處……當(dāng)然，綜合題不只這些。離散數(shù)學(xué)是一個(gè)融會(huì)貫通的學(xué)科，像集合論，圖論等都可能成為綜合題的命題點(diǎn)。

對(duì)于綜合題，我們可以從兩方面下手。首先不管題設(shè)如何，看所要證明的問題，按照定理應(yīng)用的題型著眼，設(shè)出所需要的格式，然后進(jìn)行進(jìn)一步推演；其次可以先看題設(shè)，應(yīng)用已知條件的性質(zhì)定理向前推幾步，看看哪一個(gè)性質(zhì)更能夠接近所問，題目也就迎刃而解了。

(2)例外題

例外題有兩個(gè)含義。首先，是對(duì)于定理應(yīng)用題而言的。對(duì)于一個(gè)概念的判定定理和性質(zhì)定理不是惟一的，而定理應(yīng)用題是給出的是最常出題的定理，因此有的考題可能考出一個(gè)不常用的定理。其次，例外題還有一種題型是與我們平常思維相悖的問題，如：有一些題目給出一個(gè)結(jié)論，說如果它正確的話請(qǐng)指出來，錯(cuò)誤的話則請(qǐng)證明，憑做題經(jīng)驗(yàn)通常是要選擇證明的那條思路。其實(shí)也不妨用一些時(shí)間看看能不能指出來，從而不用證明：

(3)偏題

常常有的復(fù)習(xí)材料會(huì)說某某章是非重點(diǎn)，不會(huì)考到之類的話，這是非常錯(cuò)誤和有害的。其結(jié)果是令這些章節(jié)成為讀者復(fù)習(xí)中的盲點(diǎn)，又成為一種難題。這些章節(jié)通常概念少，定理不多，因此題目本身不難，但由于沒有好好復(fù)習(xí)或者根本沒有復(fù)習(xí)，拿不到分?jǐn)?shù)是非常令人懊喪的。所以我們建議讀者進(jìn)行全面復(fù)習(xí)，除非是所報(bào)考院校明確說明不考的部分，其余內(nèi)容一律要認(rèn)真復(fù)習(xí)。即使是復(fù)習(xí)時(shí)間比較少，也必須做到至少是了解了基本概念和定義。就內(nèi)容而言，函數(shù)一章中的基數(shù)部分和格，以及布爾代數(shù)一章是人們?nèi)菀缀雎缘膯栴}。

3 結(jié)果分析

有很多學(xué)生不喜歡離散數(shù)學(xué)課程不僅是因?yàn)閮?nèi)容枯燥，更重要的是不了解它的作用。所以在實(shí)際教學(xué)內(nèi)容中，教師不僅要強(qiáng)調(diào)知識(shí)點(diǎn)的把握，更要強(qiáng)調(diào)離散數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，比如與計(jì)算機(jī)學(xué)科的結(jié)合：離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，與計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)都有細(xì)致的結(jié)合。并且計(jì)算機(jī)提供了一個(gè)十分理想的讓學(xué)生積極探索問題的環(huán)境，學(xué)生完全可以利用它來做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，這樣就能在問題解決過程中理解和掌握抽象的數(shù)學(xué)概念，而不僅僅是一些抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論。在這樣的過程中，教師更像學(xué)生的輔導(dǎo)者或幫助者，為學(xué)生提供他們需要使用的工具與資料，以便學(xué)生能夠建構(gòu)知識(shí)。教師在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，需要的是問學(xué)生一些探試性的問題，引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的方法，提供給學(xué)生存儲(chǔ)與分析信息的工具。

多年的教學(xué)實(shí)踐證明，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中增加實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，能取得十分理想的教學(xué)效果。重難點(diǎn)清晰，應(yīng)試技巧明確的學(xué)習(xí)實(shí)踐更能使離散數(shù)學(xué)課程的考核效果顯著提升。

4 結(jié)束語

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)學(xué)科的一門非常抽象的專業(yè)基礎(chǔ)課，在當(dāng)前離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容理論性強(qiáng)、學(xué)時(shí)少、任務(wù)重、教學(xué)方法和手段單一的情況下，本文從課程特點(diǎn)出發(fā)，結(jié)合課程考試的題型，總結(jié)了課程教學(xué)的重難點(diǎn)，并給出了各類題型的應(yīng)試方式。學(xué)院多年的教學(xué)實(shí)踐證明：通過所述教學(xué)過程學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的興趣越來越濃，學(xué)習(xí)效果也明顯提高。其具體表現(xiàn)為：一是通過不斷提高學(xué)生對(duì)課程重要性的認(rèn)識(shí)，結(jié)合理論知識(shí)與計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，走出課程學(xué)習(xí)的思想誤區(qū)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；二是通過老師對(duì)教學(xué)方法、實(shí)驗(yàn)教學(xué)和教學(xué)手段的不斷改進(jìn)和提高，獲得了更好的教學(xué)效果，促使教學(xué)質(zhì)量得到了進(jìn)一步提升。

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