LPQD序列生成的移動平均過程的矩完全收斂性
2016-04-14 01:31:54沈建偉
浙江科技學(xué)院學(xué)報 2016年1期
沈建偉
(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院, 杭州 310023)
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LPQD序列生成的移動平均過程的矩完全收斂性
沈建偉
(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院, 杭州 310023)
摘要:令{Yi,-∞ 關(guān)鍵詞:移動平均過程；矩完全收斂性；LPQD序列 1引理 定義1[1]1137，[2]130稱隨機變量X和Y是PQD (positively quadrant dependent)的，若對?x,y∈都有 P(X≤x,Y≤y)≥P(X≤x)P(Y≤y)， 當(dāng)前對于LPQD序列的研究已取得了不少成果。文獻[2-3]分別獲得了強平穩(wěn)LPQD過程的中心極限定理和泛函中心極限定理,文獻[4]得到了LPQD序列的不變原理,文獻[5]建立了平穩(wěn)LPQD序列生成線性過程的中心極限定理,文獻[6]獲得了平穩(wěn)LPQD列生成線性過程部分和的精確漸近性,文獻[7]建立了非平穩(wěn)的LPQD序列和LNQD序列生成線性過程部分和的矩不等式。 本研究得到了不同分布的LPQD序列生成的線性過程的部分和的最大值的矩完全收斂結(jié)果。為行文方便,總是假定C代表正常數(shù),并在不同的地方可以代表不同的值。以下是一些定義和相關(guān)的引理。 定義3[9]設(shè)C是一個正常數(shù),{Yi,-∞ 引理1[4]489令{Yi,i≥1}是一個LPQD隨機變量列,EYi=0,存在δ>0,E|Yi|2+δ<∞。假定對0<δ′<δ,u(n)=O(n-δ′(2+δ)/2(δ-δ′));那么存在常數(shù)B>0使得對?k∈,有 引理2[1]1138設(shè)隨機變量X和Y是PQD的，則 1)EXY≥EXEY; 2)若f、g同為非降(或非增)函數(shù)，則f(X)與g(Y)仍為PQD的。 引理3[10]設(shè){Xn,n≥1}是任意隨機序列。如果存在某隨機變量X,使對任意x>0及n≥1,有P(|Xn|≥x)≤CP(|X|≥x),則對?β>0,?t>0有 E|Xn|βI(|Xn|≤t)≤C(E|X|βI(|X|≤t)+tβP(|X|>t)), E|Xn|βI(|Xn|>t)≤CE|X|βI(|X|>t)。 引理4[11]設(shè)l(x)是在無窮遠處的慢變函數(shù),則 2主要結(jié)果 (1) 注：1)令a0=1；ai=0,i≠0，則Xk=Yk,且{ai,-∞ 2)若{Yi,-∞ 3)因LPQD序列蘊含了PA序列，故定理1的結(jié)果也適合于PA序列。 4)由于矩完全收斂性蘊含了完全收斂性,故在定理1的條件下，式(1)蘊含了 證明由引理1可得,對?2 (2) 由Stout[12]的定理3.7.5及式(2)可得 于是 (3) 記 Txj=-xI(Yj<-x)+YjI(|Yj|≤x)+xI(Yj>x),Yxj=Txj-ETxj。 由引理2可知,{Yxj,-∞ 當(dāng)x>nα?xí)r, 1)若α>1,由引理3可得 Cx-1n[E|Y|I|Y|≤x}+xP(|Y|>x)]≤ Cn1-α→0,n→∞。 Cx-1nE|Y|I{|Y|>x}≤ Cx1/α-1E|Y|I{|Y|>x}≤ CE|Y|1/αI{|Y|>x}≤ CE|Y|pI{|Y|>x}→0,n→∞。 從而 現(xiàn)證明I1<∞。由Markov不等式和引理3知 1)如果p>1,則αp-1-α=α(p-1)-1>-1,由引理4知 CE|Y|pl(|Y|1/α)<∞。 2)如果p=1,對于?δ>0,由引理4知 CE|Y|1+δl(|Y|1/α)<∞。 由上述討論可知I1<∞。 再證明I2<∞。由Markov不等式、H?lder不等式及式(3)知 其中,取2 最后證明I3<∞。 1)如果p>1,則αp-1-α=α(p-1)-1>-1,由引理4知 2)如果p=1,對于?δ>0,由引理4知 CE|Y|1+δl(|Y|1/α)<∞。 對于I32,證明類似于I31,不贅述，于是I32<∞。 綜上所述,I1<∞,I2<∞,I3<∞。 證畢。 參考文獻: [1]LEHMANN E L. Some concepts of dependence[J].The Annals of Mathematical Statistics,1966,37(5):1137. [2]NEWMAN C M. Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables[J]. Inequalities in Statistics and Probability (IMS Lecture Notes-Monograph Series),1984,5:127. [3]BIRKEL T.A functional central limit theorem for positively dependent random variables[J]. Journal of Multivariate Analysis, 1993,44(2):314. [4]林正炎.正相依隨機變量的不變原理[J].數(shù)學(xué)年刊,1996,17A(4):487. [5]KIM T S, BAEK J I. A central limit theorem for stationary linear processes generated by linearly positively quadrant-dependent process[J]. Statistics and Probability Letters, 2001,51: 299. [6]譚希麗,楊曉云.LPQD列生成線性過程部分和的精確漸近性[J].吉林大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2009,47(2):251. [7]沈建偉.非平穩(wěn)相依序列生成線性過程部分和的矩不等式[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報,2012,38(3):150. [8]楊啟帆.關(guān)于正則變化函數(shù)與慢變函數(shù)[J].浙江大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1990,24(2):318. [9]GUO M L, DAI J J, ZHU D J. Complete moment convergence of moving average processes under negative association assumptions[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2012,25(1):119. [10]吳群英.混合序列的概率極限理論[M].北京:科學(xué)出版社,2006:173. [11]ZHOU X C. Complete convergence of moving average processes under φ-mixing assumptions[J].Statistics and Probability Letters,2010,80(5/6):287. [12]STOUT W F. Almost sure convergence[M].New York: Academic Press, 1974:198. Complete moment convergence for moving average process generated by LPQD sequences SHEN Jianwei (School of Sciences, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China) Abstract:Let {Yspan,-∞ Keywords:moving average process; complete moment convergence; LPQD sequences 中圖分類號:O211.4 文獻標(biāo)志碼:A 文章編號:1671-8798(2016)01-0007-05 作者簡介:沈建偉(1972—),男,浙江省蕭山人,講師,碩士,主要從事概率極限理論研究。 收稿日期:2015-11-01 doi:10.3969/j.issn.1671-8798.2016.01.002 浙江科技學(xué)院學(xué)報,第28卷第1期,2016年2月 Journal of Zhejiang University of Science and Technology Vol.28 No.1, Feb. 2016
