萬明理,何金娜

(平頂山學(xué)院,河南平頂山 467000)

基于MAT LAB下對(duì)單擺實(shí)驗(yàn)中大擺角問題的討論

萬明理,何金娜

(平頂山學(xué)院,河南平頂山 467000)

借助MATLAB計(jì)算軟件,研究無阻尼狀態(tài)下單擺的大擺角運(yùn)動(dòng),給出了任意擺角下單擺運(yùn)動(dòng)周期的精確解。同時(shí)利用MATLAB函數(shù)庫中的ode45函數(shù),求解出大擺角下的單擺的運(yùn)動(dòng)方程及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律,為單擺實(shí)驗(yàn)中大擺角問題的講解提供了較好的教學(xué)輔助手段。

單擺;周期;MATLAB

單擺問題是高中物理及大學(xué)普通物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)問題。單擺在擺角比較小時(shí),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律近似為準(zhǔn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但是當(dāng)擺角比較大時(shí),即單擺在大擺角情況下運(yùn)動(dòng)時(shí),這種近似已不在成立,其運(yùn)動(dòng)方程滿足非線性微分方程。因此,對(duì)擺角大小的限制成為該實(shí)驗(yàn)中必須滿足的條件。不同的實(shí)驗(yàn)條件下,最大擺角的取值不同,其中包括 3°,5°,10°,10.75°,15°甚至 20°等[1-5]。因此,這就為在實(shí)驗(yàn)過程中對(duì)擺角的統(tǒng)一取值造成困難,給實(shí)驗(yàn)帶來較大的誤差。同時(shí),學(xué)生對(duì)單擺在大擺角情況下運(yùn)動(dòng)時(shí)其運(yùn)動(dòng)周期及運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理解也存在困難。MATLAB是用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語言。本文將借助于MATLAB這個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件,計(jì)算了任意擺角下單擺運(yùn)動(dòng)周期的精確解,消除了擺角問題帶來的誤差。同時(shí)利用該軟件,仿真出大擺角時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)情況,為單擺測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)中大擺角問題的講解提供了較好的手段。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的很多問題都可以借助MATLAB解決。

1 單擺運(yùn)動(dòng)周期

單擺是一種物理模型。設(shè)質(zhì)量為m、擺長為l的單擺在重力場(chǎng)中作無阻尼振動(dòng),由牛頓第二定律得,單擺的運(yùn)動(dòng)方程為:

當(dāng)擺角θ較小時(shí),由于sinθ≈θ,方程(1)化簡(jiǎn)為

這是一個(gè)簡(jiǎn)單的諧振動(dòng)方程,其解析解為:

當(dāng)擺角較大時(shí),這種近似sinθ≈θ不再成立。公式(1)是一個(gè)非線性微分方程,其解析解很難求出。但是通過積分的方法,作變量代換,就可得到大擺角運(yùn)動(dòng)時(shí)單擺的周期的積分形式:

其中θ0為單擺的最大擺角。此公式適用于任意擺角下單擺運(yùn)動(dòng)周期的計(jì)算。

2 利用MATLAB處理問題

2.1 單擺大擺角的周期精確解

圖1 單擺周期的精確解

運(yùn)行結(jié)果后,得圖1。如圖1所示,隨著擺角的增大,單擺的運(yùn)動(dòng)周期T與T0比值T/T0越來越大,即單擺運(yùn)動(dòng)周期隨著擺角增大變大。當(dāng)擺角θ0≥1.6rad,單擺的運(yùn)動(dòng)周期會(huì)急劇增加。

2.2 大擺角單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)

圖2 單擺的大擺角運(yùn)動(dòng)規(guī)律

運(yùn)行后,得圖 2。實(shí)線代表方程(2)的解,是一條正余弦曲線,為典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。虛線代表大擺角情況下方程(1)的解。

2.3 討論

如圖1所示,隨著單擺擺角的增大,單擺的周期也會(huì)增加,這樣很簡(jiǎn)單的就找到了為什么用單擺測(cè)量加速度時(shí),擺角要小于 5°。因此,借助MATLAB強(qiáng)大的繪圖功能,能夠幫助學(xué)生更深入理解單擺大擺角運(yùn)動(dòng)下周期的變化規(guī)律。同時(shí),圖2中兩根曲線表明:大擺角振動(dòng)時(shí),單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡并不是簡(jiǎn)單的正、余弦曲線(雖然很相似),而且,最大擺角越小,兩根曲線越相似;擺角越大,分離越明顯。由于這種相似性,在粗略研究單擺運(yùn)動(dòng)時(shí),方程(1)的可以采用一種近似求解方法——余弦函數(shù)法。將周期表示成如下方式:

其中θm為單擺最大擺角。

3 小 結(jié)

利用MATLAB強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力和繪圖能力,非常簡(jiǎn)便的解決了單擺運(yùn)動(dòng)過程中大擺角導(dǎo)致的問題。這對(duì)于工科的物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)提供了很多方便,同時(shí)也有利于學(xué)生深刻的理解單擺問題。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的很多問題中,例如,都可以借助MATLAB的優(yōu)點(diǎn),方便的求解問題。

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MATLAB Applied in Wide-angled Simple Pendulum Movement

WAN Ming-li,HE Jin-na

(Pingdingshan University,Pingdingshan 467000)

Using MATLAB,period of the simple pendulum without resistances is calculated accurately.While,with the help of MA TLAB ede45,movement equation of wide-angled simple pendulum is solved simply.

simple pendulum;period;MA TLAB

O321

A

1007-2934(2010)06-0075-03

2010-06-11