楊小禮，王作偉

(中南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，湖南 長沙，410075)

圍巖是指隧道開挖后其周圍產(chǎn)生應(yīng)力重新分布的巖土體，或指隧道開挖后對其穩(wěn)定性能產(chǎn)生影響的土體[1]。隧道開挖后，因圍巖變形、松弛等，作用于隧道支護(hù)或襯砌結(jié)構(gòu)上的壓力稱為圍巖壓力。對于淺埋隧道，圍巖壓力的計算方法主要有土柱理論、泰沙基極限平衡法及鐵路、公路隧道設(shè)計規(guī)范所推薦的方法[1?2]，這些方法都是根據(jù)極限平衡理論求解。隨著極限分析理論在土壓力、邊坡穩(wěn)定以及地基承載力等巖土工程領(lǐng)域中的不斷發(fā)展[3?6]，國內(nèi)外一些學(xué)者將極限分析理論應(yīng)用于隧道圍巖穩(wěn)定性分析，如：Atkinson等[7]利用極限分析上、下限定理和模型試驗方法分析了無黏性土淺埋隧道穩(wěn)定性問題；Davis等[8]根據(jù)上限定理，假定了4種不同的破壞模式，對黏性土在不排水條件下的淺埋隧道圍巖穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；Leca等[9]利用上、下限定理，研究了淺埋隧道工作面的三維穩(wěn)定性問題；姜功良[10]應(yīng)用極限分析有限元方法求解隧道的穩(wěn)定系數(shù)，改善了上限分析結(jié)果。以上淺埋隧道穩(wěn)定性研究是基于土體線性破壞準(zhǔn)則。然而，研究表明[11?14]：多數(shù)土體服從非線性破壞準(zhǔn)則，線性破壞準(zhǔn)則只是其中一個特殊情況。非線性破壞準(zhǔn)則在巖土工程中已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用[15?17]。在土體非線性破壞準(zhǔn)則下，本文作者運用極限分析上限定理，根據(jù)泰沙基破壞模式，計算淺埋隧道圍巖壓力的上限解。

1 基本原理

1.1 非線性破壞準(zhǔn)則

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，土體非線性破壞準(zhǔn)則可表達(dá)為：

其中：σn和 τ分別為破壞面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力；c0為初始黏聚力；σt為軸向拉應(yīng)力；m為非線性系數(shù)。c0，σt及m可以由實驗得到。當(dāng)m=1時，式(1)變?yōu)榫€性Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則的表達(dá)式。非線性破壞準(zhǔn)則式(1)的切線方程為：

其中：ct和tan φt分別表示切線的斜率和截距。聯(lián)立式(1)和(2)得ct的表達(dá)式為：

根據(jù)切線法原理[15]可知，由式(2)和(3)求出的上限解必定是非線性關(guān)系式(1)的上限解。

1.2 極限分析上限定理

極限分析法建立在虛功率原理基礎(chǔ)上。虛功率原理表明：對于理想的土體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場和任意一組機(jī)動容許位移速度場，外力的虛功率等于物體所能接受的虛變形功率。在虛功率原理的基礎(chǔ)上可推導(dǎo)出上限定理為：在所有的機(jī)動容許的塑性變形速度場相對應(yīng)的荷載中，極限荷載最小[3]。

2 破壞模式與速度場

泰沙基理論[18]是基于極限平衡法計算隧道圍巖壓力的，其破壞模式如圖1所示。本文將其應(yīng)用到極限分析法中，假定隧道頂板與邊墻的支護(hù)反力均分布均勻。頂板以上矩形塊ABB1A1的移動速度為v0，方向豎直向下；邊墻處三角形塊移動速度為v1，其相對速度為v01。根據(jù)相關(guān)聯(lián)流動法則，剛性塊之間速度間斷線上的速度矢量方向與間斷線夾角為φt，且各速度矢量滿足矢量閉合條件，從而得到破壞模式對應(yīng)的速度場，如圖2所示。

圖1 極限平衡破壞模式Fig.1 Limit equilibrium failure mechanism

圖2 與破壞模式相對應(yīng)的相容速度場Fig.2 Velocity hodograph corresponding to above failure mechanism

3 圍巖壓力計算

3.1 速度關(guān)系

根據(jù)剛性塊應(yīng)滿足運動許可條件及圖2，可得v0，v1和v01之間的關(guān)系如下：

3.2 外力功率

3.2.1 重力功率

所以，

3.2.2 支護(hù)反力功率

隧道頂板豎向支護(hù)反力q和邊墻水平支護(hù)反力e所做功率之和W˙T為：

其中：e=Kq；K為待定參數(shù)。

3.3 內(nèi)部能量耗散率

內(nèi)能耗散的一半W˙int等于速度間斷線 OB和 BC上的能量耗散之和，計算式如下：

3.4 圍巖壓力q

根據(jù)虛功率原理，外力做功與內(nèi)部耗散能量相等，得豎向支護(hù)反力q的表達(dá)式：

其中，f1～f4是關(guān)于α和t?的無量綱函數(shù)，其表達(dá)式為：

4 數(shù)值計算與分析

4.1 上限解的優(yōu)化

由式(11)可知，當(dāng)其他參數(shù)一定時，由1組角度α和t?可以完全確定其破壞形狀，同時對應(yīng)1個上限解。于是，問題轉(zhuǎn)化為：在滿足物理意義的約束條件下，尋求目標(biāo)函數(shù) q = f (α,?t)的最大值。由圖2可知破壞模式對應(yīng)的約束條件為：

在約束條件(12)～(14)下，不斷調(diào)整α和t?，然后，代入式(11)，得出最大q，即為優(yōu)化上限解。此過程可以運用序列二次規(guī)劃算法，通過 Matlab軟件編程來實現(xiàn)。

4.2 對比分析

對于淺埋隧道，可據(jù)泰沙基理論確定圍巖壓力[18]：

其中：K0為隧道上方巖土層側(cè)壓力系數(shù)，泰沙基[18]根據(jù)實驗結(jié)果建議K0取1.0～1.5；b為地表面到拱頂?shù)幕瑒拥貕K的寬度，

取隧道埋深H=20 m，隧道跨度h=10 m，圍巖容重 γ=20 kN/m3，內(nèi)摩擦角 φ=18?，黏聚力 c=10.0 kPa。根據(jù)式(15)～(16)可以計算圍巖壓力q，結(jié)果見表1。在線性破壞準(zhǔn)則下，即當(dāng) m=1.0時，取 K=0.40～0.65，按本文極限分析方法計算得出圍巖壓力q，如表1所示，其中：q0為用泰沙基極限平衡法所得的圍巖壓力。

表1 泰沙基法與本文方法計算結(jié)果比較Table 1 Comparisons of calculation results between limit equilibrium solutions and present solutions

從表1可看出，采用本文方法所得結(jié)果與采用泰沙基法所得結(jié)果比較接近，說明本文極限分析方法是可行的。

4.3 非線性破壞準(zhǔn)則的影響

取隧道埋深H=20 m，隧道跨度h=10 m，圍巖容重 γ=20 kN/m3，黏聚力 c=10.0 kPa，拉應(yīng)力 σt=30 kPa。在非線性破壞準(zhǔn)則下，取 m=1.1～1.4，計算泰沙基破壞模式下的圍巖壓力上限解，結(jié)果如表2所示。

表2 非線性破壞準(zhǔn)則下的圍巖壓力及破裂角Table 2 Results of break angles and earth pressures using different nonlinear factors

由表2可以看出：當(dāng)K一定時，隨著非線性系數(shù)m的增大，圍巖壓力q和破裂角α均有增大的趨勢。因此，在土體服從非線性破壞準(zhǔn)則時，如何準(zhǔn)確地確定非線性系數(shù)對于圍巖壓力的計算有重要作用。當(dāng)K=0.8，m取1.1～1.4時，繪制出經(jīng)過優(yōu)化的破壞模式，如圖3所示。

圖3 非線性系數(shù)對淺埋隧道破壞模式的影響Fig.3 Influence of nonlinear factor on failure mechanism by optimization

5 結(jié)論

(1) 根據(jù)極限分析方法中的上限定理計算淺埋隧道圍巖壓力時，泰沙基破壞模式是適用的。

(2) 在非線性破壞準(zhǔn)則下，根據(jù)極限分析上限定理，推導(dǎo)出淺埋隧道圍巖壓力的計算公式，并計算出圍巖壓力的最優(yōu)解。

(3) 非線性系數(shù)m對圍巖壓力的上限解有明顯的影響。隨著m的增加，圍巖壓力呈非線性增大趨勢。

[1]TB 10003—2001, 鐵路隧道設(shè)計規(guī)范[S].TB 10003—2001, Code for design of railway tunnel[S].

[2]JTG D70—2004, 公路隧道設(shè)計規(guī)范[S].JTG D70—2004, Code for design of road tunnel[S].

[3]Chen W F. Limit analysis and soil mechanics[M]. New York:Elsevier Scientific Publishing Company, 1975.

[4]Soubra A H, Regenass P. Three-dimensional passive earth pressures by kinematical approach[J]. Journal of Geotechanical and Geoenvironmental Engineering, 2001, 126(11): 969?978.

[5]Donald I, Chen Z Y. Slope stability analysis by the upper bound approach: fundamentals and methods[J]. Canadian Geotechnical Journal, 1997, 34(6): 853?851.

[6]Wang Y J, Yin J H, Chen Z Y. Calculation of bearing capacity of a strip footing using an upper bound method[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics,2001, 25(8): 841?851.

[7]Atkinson J H, Potts D M. Stability of shallow tunnel in cohesionless soil[J]. Geotechnique, 1977, 27(2): 203?215.

[8]Davis E H, Gunn M J, Mair R J. The stability of shallow tunnel and underground openings in cohesive material[J]. Geotechnique,1980, 30(4): 397?416.

[9]Leca E, Dormieux L. Upper and lower bound solutions for the face stability of shallow circular tunnels in frictional material[J].Geotechnique, 1990, 40(4): 581?606.

[10]姜功良. 淺埋軟土隧道穩(wěn)定性極限分析[J]. 土木工程學(xué)報,1998, 31(5): 65?72.JIANG Gong-liang. Limit analysis of the stability of shallow tunnels in soft ground[J]. China Civil Engineering Journal, 1998,31(5): 65?72.

[11]Lade P V. Elasto-plastic stress-strain theory for cohesionless soil with curved yield surface[J]. International Journal of Solids Structure, 1977, 13: 1019?1035.

[12]Hoek E, Brown E. Empirical strength criterion for rock masses[J]. Journal of Geotechnical Engineering Division, 1980,106(9): 1013?1035.

[13]Agar J G, Morgenstern N R, Scott J. Shear strength and stress-strain behavior of Athabasca oil sand at elevated temperatures and pressure[J]. Canadian Geotechnical Journal,1985, 24(1): 1?10.

[14]Santarelli F. Theoretical and experimental investigation of the stability of the axisymmetric borehole[D]. London: University of London, 1987.

[15]YANG Xiao-Li, YIN Jian-Hua. Estimation of seismic passive earth pressures with nonlinear failure criterion[J]. Engineering Structures, 2006, 28(3): 342?348.

[16]YANG Xiao-Li. Upper bound limit analysis of active earth pressure with different fracture surface and nonlinear yield criterion[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2007,47(1): 46?56.

[17]Zhang X J, Chen W F. Stability analysis of slopes with general nonlinear failure criterion[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1987, 11(1): 33?50.

[18]樗木武. 隧道力學(xué)[M]. 關(guān)寶樹, 麥倜曾, 譯. 北京: 中國鐵道出版社, 1983.CHU Mu-wu. Tunnel mechanics[M]. GUAN Bao-shu, MAI Ti-zeng, trans. Beijing: China Railway Press, 1983.