潘 媛, 陳淼森

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江 義烏 322000)

平坦模的一些注記*

潘 媛1,2, 陳淼森1

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004;2.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院,浙江 義烏 322000)

主要討論了平坦模的一些性質(zhì).設(shè)R是諾特環(huán),J是R的Jacobson根,證明了R/J是平坦R-模當(dāng)且僅當(dāng)R是半單環(huán);若Λ是局部有限的諾特的連通分次代數(shù),M是任意有限生成的分次Λ-模,則M是平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M是投射模,當(dāng)且僅當(dāng)M是自由模.

半單環(huán);連通分次代數(shù);平坦模;投射模;自由模

0 引 言

平坦模是經(jīng)典模論和同調(diào)代數(shù)的基本研究對象之一,在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用[1-2].隨著模理論的不斷發(fā)展，平坦模的理論也受到越來越多學(xué)者的關(guān)注，其概念也有不同方向的推廣.例如，廣義平坦模[3]、強Gorensrein平坦模[4]以及在復(fù)形上研究平坦模的性質(zhì)[5]，等等.本文主要討論了平坦模的一些性質(zhì),利用平坦模刻畫半單環(huán).設(shè)R是諾特環(huán),J是R的Jacobson根,證明了R/J是平坦R-模當(dāng)且僅當(dāng)R是半單環(huán).然而，半單環(huán)上的每個模都是投射模,這就會自然地考慮如何用平坦模去刻畫投射模和自由模這一問題,從而得到了:若Λ是局部有限的諾特的連通分次代數(shù),M是任意有限生成的分次Λ-模,則M是平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M是投射模，當(dāng)且僅當(dāng)M是自由模.

1 平坦模對半單環(huán)的刻畫

半單環(huán)是經(jīng)典環(huán)論中結(jié)構(gòu)最清楚、性質(zhì)最好的一類環(huán),且有性質(zhì)：R是半單環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意R-模是投射模.

證明 由于K?R/I?K/KI,M?R/I?M/MI,則0→K?R/I→M?R/I是正合的當(dāng)且僅當(dāng)f:K/KI→M/MI,x+KI|→x+MI是單同態(tài).對任意的x∈K∩M,kerf=0當(dāng)且僅當(dāng)若k∈MI,則k∈KI,即KI≥K∩MI.顯然有KI≤K∩MI,因此KI=K∩MI.

引理2設(shè)J為環(huán)R的Jacobson根,則下列陳述等價:

(1)R/J是平坦R-模;

(2)R的任意右理想I都有IJ=I∩J;

(3)R的任意右理想I,TorR1(R/I,R/J)=0.

證明 (1)?(2) 若R/J是平坦模,則對R的任意右理想I,有正合列0→I?R/J→R?R/J,由引理1得IJ=I∩RJ=I∩J.

(2)?(1) 設(shè)I是R的任意一個右理想,則根據(jù)引理1可知,0→I?RR/J→R?RR/J是正合的,故R/J是平坦右R-模.

(1)??(3) 設(shè)I是R的任意一個右理想,則有正合列0→I→R→R/I→0.由長正合列定理得

…→TorR1(R/I,R/J)→R/I?RI→R/I?RR→R/I?R/J→0,

故TorR1(R/I,R/J)=IJ/I∩J.因此,TorR1(R/I,R/J)=0當(dāng)且僅當(dāng)IJ=I∩J.

引理3(Nakayama引理)[1]設(shè)I是環(huán)R的左理想,I≤J,M是有限生成左R-模,若IM=M,則M=0.

由引理3,可考慮R/J的平坦性,并且用其平坦性來刻畫半單環(huán).

定理1設(shè)R是諾特環(huán),J為R的Jacobson根,則下列陳述等價:

(1)R/J是平坦R-模;

(2)R/J是投射R-模;

(3)R是半單環(huán).

證明 (1)?(3) 設(shè)R/J是平坦模,由引理2知,對任意的右理想I,都有IJ=I∩J.取I=J,得J2=J.注意到R是諾特環(huán),故有限生成模的子模還是有限生成的.又正則模R是有限生成的,由引理3得J=0.故R是半單的.

推論1設(shè)R是諾特環(huán),若J≠0,則R/J不可能是平坦模.

2 平坦模、投射模和自由模之間的關(guān)系

平坦模、投射模和自由模構(gòu)成了模論中最基本、最重要的三大模類,且有以下關(guān)系:

M是自由模?M是投射模?M是平坦模.

因此，自然要考慮的一個問題是:平坦模何時成為投射模,投射模何時是自由模?

在接下來的討論中，用R表示一個有單位元的諾特環(huán)；在沒有特別說明時,Λ均為局部有限的諾特連通分次代數(shù);并用Mod(Λ)和Grmod(Λ)表示Λ-模范疇和分次Λ-模范疇;mod(Λ)和grmod(Λ)表示有限生成的Λ-模范疇和有限生成的分次Λ-模范疇,易知mod(Λ)和grmod(Λ)分別是Mod(Λ)和Grmod(Λ)的滿子范疇;用r表示Λ的分次Jacobson根.對一個局部有限的諾特連通分次代數(shù)Λ來說(即形如Λ=k⊕Λ1⊕Λ2⊕…⊕Λn⊕…,且滿足:(1)Λ是諾特的(未必是有限維);(2)每個向量空間Λi都是有限維的;(3)k是任意一個基礎(chǔ)域),有如下主要結(jié)果:

定理2設(shè)Λ=k⊕Λ1⊕Λ2⊕…⊕Λn⊕…是一個局部有限的諾特的連通分次代數(shù),M是有限生成的Λ-模,則下列陳述等價:

(1)M是平坦模;

(2)M是投射模;

(3)M是自由模.

證明 (3)?(2)和(2)?(1)顯然，故略.下面只證(1)?(3).分幾步來證明:

第2步:對于任意一個有限生成的分次Λ-模M,證明存在一個有限維的向量空間Mc,使得φ:Λ?kMc→M是grmod(Λ)中的滿同態(tài).特別地,誘導(dǎo)態(tài)射1?Λφ:k?ΛΛ?kMc→k?ΛM是同構(gòu)的.事實上,作為一個分次向量空間,M=rM⊕Mc,其中Mc是rM在M中的直和補.不難發(fā)現(xiàn),Mc就是M作為Λ-分次模,且以其極小生成齊次元作為基生成的向量空間.考慮到M是有限生成的,故Mc是有限維的.作映射

由于k?ΛΛ?kMc?Mc及k?ΛM?Mc作為向量空間是有限維的,故1?Λφ是同構(gòu)的.

第3步:證明M是自由的當(dāng)且僅當(dāng)TorΛ1(k,k)=0,其中M∈grmod(Λ).根據(jù)第2步可得正合列

0→kerφ→Λ?kMc→M→0.

由文獻[2]中的長正合列定理知,有正合列

…→TorΛ1(k,k)→k?Λkerφ→k?ΛΛ?kMc→k?ΛM→0.

假設(shè)TorΛ1(k,k)=0,則有正合列

0→k?Λkerφ→k?ΛΛ?kMc→k?ΛM→0.

根據(jù)第2步知,k?Λkerφ=0;再根據(jù)第1步知,kerφ=0.所以,M?Λ?kMc是自由的.必要性是顯然的，故略.

因此，若M是平坦模,則TorΛ≥1(k,k)=0,由第3步知,M是自由模.

綜上，定理2證畢.

[1]Anderson F W,Fuller K R.Rings and Categories of Modules[M].New York:Springer-Verlag,1974:169;177-249.

[2]Weibel C A.An Introduction to Homological Algebra[M].Cambridge:Cambridge University Press,1995:66-90.

[3]Crivei S.Epic Envelopes by Generalized Flat Modules[J].Mathematica(Cluj),2009,51(1):47-53.

[4]Ding Nanqing,Li Yuanlin,Mao Lixin.Strongly Gorenstein Flat Modules[J].J Aust Math Soc,2009,86(3):323-338.

[5]Hashimoto M.Acyclicity of Complexes of Flat Modules[J].Nagoya Math J,2008,192:111-118.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Somenotesonflatmodules

PAN Yuan1,2, CHEN Miaosen1

(1.CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,JinhuaZhejiang321004,China; 2.YiwuIndustrialandCommercialCollege,YiwuZhejiang322000,China)

Some new properties of modules were discussed. LetRbe a Noetherian ring andJdenote its Jacobson radical, it was proved thatR/Jwould be flat if and only ifRwas supposed to be semi-simple. LetΛbe a Noetherian locally finite graded algebra andMa finitely generated graded module overΛ, thenMwould be flat if and only ifMwas supposed to be projective or free.

semisimple rings; connected graded algebra; flat modules; projective modules; free modules

1001-5051(2010)01-0038-03

2009-11-06

潘 媛(1980-),女,湖北廣水人,講師,碩士研究生.研究方向：非交換代數(shù).

O153

A