梁 霄

(同濟大學(xué) 測量與國土信息工程系,上海 200092)

基于條件方程的方差分量估計公式

梁 霄

(同濟大學(xué) 測量與國土信息工程系,上海 200092)

著名的 Helmert方差分量估計公式是基于間接觀測平差模型導(dǎo)出的。基于條件觀測平差模型導(dǎo)出了方差分量估計公式并給出了實際應(yīng)用范例,且對兩種模型的方差分量估計公式的等價性進(jìn)行了理論證明。算例表明,文中的估計公式能正確地估計出各類觀測值的方差因子。

方差分量估計;條件方程;Helmert公式

Helmert在1907年導(dǎo)出了著名的方差分量估計公式,100多年來廣泛用于不同類型觀測值的精度估計,1979年Forstner對這一公式進(jìn)行了簡化。其它類型的方差分量估計公式,如M IN IQUE公式[1](Rao,1971)和B IQUE公式[2](Koch,1980),在觀測值獨立時,與 Helmert公式都是等價的。

由于Helmert公式是基于間接觀測平差模型導(dǎo)出的,公式中需求逆運算的矩陣與未知參數(shù)數(shù)目相同,如果觀測方程的參數(shù)比較多,勢必影響計算效率。當(dāng)條件方程數(shù)目少于未知參數(shù)時,如果使用基于條件方程的方差分量估計公式,有望提高解算效率。更加重要的是,條件平差是一種重要的平差模型,給出基于這一模型的方差分量估計公式在理論和實際上的應(yīng)用是必要的。

1 基于條件平差的方差分量估計

1.1 方差分量估計公式

式中:A為r×n階系數(shù)矩陣,y為 n×1階觀測向量,w為r×1階閉合差向量。若將觀測值表示成

式中:ˉy為觀測值真值,ε為觀測誤差。則有

因此,誤差方程通常表示為

其中,v為觀測值的改正數(shù)。

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則

其中,Q為觀測值的先驗權(quán)逆陣。可得到,方程(1)的解為

其中,N=AQAT。

將式(3)代入式(6)得

1.2 精度評定

1.3 基于條件方程與基于間接方程的方差分量估計的等價性證明可得,G陣與 F陣等價。同時,可看出,p陣和q陣完全相同。所以可得出結(jié)論,基于條件觀測平差模型導(dǎo)出的方差分量估計公式與基于間接觀測平差模型的方差分量估計公式是完全等價的。

2 算例分析

有邊角網(wǎng)如圖1所示,A、B、C為已知點,P1、P2為待定點,網(wǎng)中觀測了12個角度和6個邊長,起算數(shù)據(jù)和觀測值見參考文獻(xiàn)[8]第82頁。根據(jù)經(jīng)驗,測角中誤差為 ±1.5″,邊長測量中誤差±2.0 cm,現(xiàn)對其按條件平差和間接平差分別進(jìn)行方差分量估計,比較平差結(jié)果的差異。計算結(jié)果如表1和表2所示。

圖1 邊角網(wǎng)

表1 基于條件平差的方差分量估計結(jié)果

表2 基于間接平差的方差分量估計結(jié)果

基于條件平差算出的單位權(quán)中誤差的估值為±1.88″,方差分量估計的精度分別為var(σ^20β)=2.91″4和var(σ^20s)=8.24″4;基于間接平差算出的單位權(quán)中誤差的估值為±1.88″,方差分量估計的精度分別為var(σ^20β)=2.92″4和var(σ^20β)=8.22″4。對比表1和表2對應(yīng)位置的數(shù)據(jù),忽略計算誤差,以上的計算結(jié)果都與間接平差模型的方差分量估計的結(jié)果一致,由此可見,基于條件觀測平差模型導(dǎo)出的方差分量估計公式是正確的,并與基于間接觀測平差模型的方差分量估計公式是等價的。

3 結(jié)束語

本文從條件平差的基本理論出發(fā),詳盡地導(dǎo)出了不同于間接平差模型的方差分量估計公式,擴展了 Helmert方差分量估計的應(yīng)用范圍,證明了兩種模型的方差分量估計公式的等價性,具有較好的應(yīng)用前景,尤其是在條件數(shù)少于未知數(shù)的情況下,使用基于條件平差的方差分量估計可以簡化計算過程。實驗數(shù)據(jù)表明本文方法與間接平差的 Helmert方差分量估計公式完全等價。

[1]RAO.C.R.Linear Statistical Inference and Its App lications[D].New York Wiley,1973.

[2]KOCH.K.R.Parametersch(a)tung Und Hypotherentests in Linearen Modellen[D].Dümm ler,1980.

[3]於宗儔,于正林.測量平差原理[M].武漢:武漢測繪科技大學(xué)出版社,1990.

[4]陶本藻.測量數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析[M].北京:測繪出版社,1992.

[5]黨涌詩.矩陣論及其在測繪中的應(yīng)用[M].北京:測繪出版社,1980.

[6]于正林,陳惠明.方差分量估計中的精度評定[J].測繪學(xué)報,1989,18(3):219-226.

[7]李博峰,沈云中,樓立志.基于等效殘差的方差協(xié)方差分量估計[J].測繪學(xué)報,2010,39(4):349-354.

[8]崔希璋,於宗儔,陶本藻,等.廣義測量平差[M].武漢:武漢測繪科技大學(xué)出版社,2001.

The variance component estimation formula based on conditional equation

L IANG Xiao
(Department of Surveying and Geo-informatics Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China)

The famous Helmert formula of variance component estimation was derived based on indirect observational equation.Thispaper derives the variance component estimation formula based on conditional equation and show s the p ractical app lications,p roves the equivalence between the two variance component estimation fo rm ulas based on indirect observational and conditional equations.The numerical case show s that our fo rmula can co rrectly estimate the variance components of different kind of observables.

variance component estimation;conditional equation;Helmert fo rm ula

P207

A

1006-7949(2010)06-0028-03

2010-05-07

梁 霄(1984-),女,碩士研究生.

[責(zé)任編輯張德福]