雷婉南 趙鵬飛

(1)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系,上海 200092 2)上海市測(cè)繪院,上海 200063)

逆向工程橢圓柱構(gòu)件的擬合計(jì)算＊

雷婉南1)趙鵬飛1,2)

(1)同濟(jì)大學(xué)測(cè)量與國(guó)土信息工程系,上海 200092 2)上海市測(cè)繪院,上海 200063)

提出一種基于逆向工程原理的擬合橢圓柱構(gòu)件的方法：使用電子全站儀采集橢圓柱形工業(yè)構(gòu)件表面的離散點(diǎn)坐標(biāo),通過(guò)擬合橢圓柱底面獲取法向量,從而進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,將空間任意位置的橢圓柱轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式,將橢圓柱的擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)換為橢圓的擬合問(wèn)題。并用工程實(shí)例證明了該方法的可行性。

橢圓柱構(gòu)件;平面擬合;坐標(biāo)轉(zhuǎn)換;橢圓擬合;逆向工程

1 引言

現(xiàn)代工業(yè)構(gòu)件的檢測(cè)工作具有數(shù)據(jù)采集量大、點(diǎn)位測(cè)量要求精度高、數(shù)據(jù)要求可靠度高等特點(diǎn),傳統(tǒng)的丈量尺寸的檢測(cè)方法已經(jīng)逐漸不能適應(yīng)其需要。所以目前工業(yè)構(gòu)件的檢測(cè)大多采用逆向工程的原理：通過(guò)使用測(cè)量?jī)x器,采集待測(cè)工業(yè)構(gòu)件特征位置的一系列點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)對(duì)這些坐標(biāo)進(jìn)行擬合計(jì)算,對(duì)比設(shè)計(jì)數(shù)據(jù),從而達(dá)到對(duì)工業(yè)構(gòu)件進(jìn)行檢測(cè)的目的。

在工業(yè)領(lǐng)域中,橢圓柱狀的工業(yè)構(gòu)件有很多,包括油罐、氣罐、運(yùn)輸罐、瀝青罐等儲(chǔ)罐類構(gòu)件,以及其他橢圓柱型的工業(yè)構(gòu)件等等。文獻(xiàn)[1]提出一種將特征值也作為參數(shù)的二次曲線擬合方法;文獻(xiàn)[2]提出利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行橢圓柱面擬合的方法,但這兩種方法的數(shù)學(xué)模型均較為復(fù)雜。本文通過(guò)研究橢圓柱的幾何性質(zhì),提出一種擬合橢圓柱的簡(jiǎn)單方法：以最小二乘原理為基礎(chǔ),通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將空間任意位置的橢圓柱轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)位置的橢圓柱,從而達(dá)到擬合計(jì)算的目的。

2 橢圓柱底面的擬合

平面方程通常表示為

很顯然,若方程兩邊可以同時(shí)乘上一個(gè)比例系數(shù),所得方程依然表示該平面。所以,為方便起見(jiàn),令系數(shù)D=1,則平面方程改寫為

根據(jù)最小二乘法原理,每組觀測(cè)點(diǎn) (xi,yi,zi)的誤差方程為:

令:

則誤差方程改寫為:

利用在橢圓柱底面上測(cè)量得到的 n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),建立 n個(gè)誤差方程,通過(guò)間接平差的方法便可求出平面方程的3個(gè)參數(shù)。

如果對(duì)橢圓柱的兩個(gè)底面都進(jìn)行了測(cè)量,那么可以列出兩套誤差方程:

由于橢圓柱兩個(gè)底面是平行的,所以上下兩個(gè)平面方程的參數(shù)滿足條件:

可以結(jié)合式(6)和式(7),按照附有條件的間接平差模型進(jìn)行解算,即可求出這兩個(gè)平面方程。

3 計(jì)算平面的法向量

式(1)、式(2)為平面方程的一般表達(dá)式,同樣平面可以表達(dá)為如下的法式表達(dá)式:

式中,α、β、γ為平面法向量分別與 X、Y、Z3個(gè)坐標(biāo)軸的夾角,r為法向量的長(zhǎng)度。式 (2)和式 (8)都為同一平面的表達(dá)式,所以對(duì)應(yīng)系數(shù)滿足:

又根據(jù)向量夾角余弦定理,有:

通過(guò)式(9)和(10),解得

考慮式(9)中 r與 k的關(guān)系,如果規(guī)定法向量長(zhǎng)度為正,則 k取負(fù)值。所以平面法向量可表達(dá)如下:

法向量的方位角α方位角和天頂距 Z天頂距分別為:

4 計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)

在工業(yè)檢測(cè)中,所采集的數(shù)據(jù)是在工程坐標(biāo)系(X,Y,Z)中所得到的坐標(biāo)數(shù)據(jù),該坐標(biāo)系在空間的位置是任意的。為了方便對(duì)橢圓柱構(gòu)件進(jìn)行擬合計(jì)算,建立自定義坐標(biāo)系 (X′,Y′,Z′),并規(guī)定:在自定義坐標(biāo)系中,Z′軸與橢圓柱的中心軸平行。

圖1 工程坐標(biāo)系和自定義坐標(biāo)系Fig.1 Engineering coordinate system and self-defined coordinate system

根據(jù)橢圓柱底面法向量的方位角和天頂距,對(duì)工程坐標(biāo)系 (X,Y,Z)和自定義坐標(biāo)系 (X′,Y′,Z′)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

1)工程坐標(biāo)系 (X,Y,Z)轉(zhuǎn)換為自定義坐標(biāo)系(X′,Y′,Z′)

式中,(x0,y0,z0)為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的平移參數(shù),也就是自定義坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)在工程坐標(biāo)系中的坐標(biāo),其值可取為橢圓柱底面測(cè)量坐標(biāo)的平均值:

2)自定義坐標(biāo)系 (X′,Y′,Z′)轉(zhuǎn)換為工程坐標(biāo)系(X,Y,Z)

式中,(x0,y0,z0)同式 (14)。

5 橢圓的擬合

橢圓的擬合思路如下:橢圓屬于二次曲線,所以先按照二次曲線進(jìn)行擬合,然后對(duì)比相應(yīng)參數(shù),最終獲得橢圓的擬合參數(shù)。

1)二次曲線擬合

二次曲線的方程為:

a0的值可以取為 x′坐標(biāo)和 y′坐標(biāo)的最大值與最小值之差的乘積,參數(shù) a1、a2、a3、a4、a5的迭代初值可以取為 0。迭代求解至收斂,從而求得各系數(shù)。

2)橢圓參數(shù)的求解

平面橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可表達(dá)為

將式 (20)代入 (19),得:

圖2 橢圓的表示Fig.2 Scheme of an ellipsis

對(duì)照式(17)和 (21),最終求得橢圓的參數(shù)為:

6 工程實(shí)例

筆者受托對(duì)某廠生產(chǎn)的一批大型儲(chǔ)油罐進(jìn)行抽樣檢測(cè)。儲(chǔ)油罐為臥式鋼罐,截面為橢圓形,檢測(cè)的目的是測(cè)定其實(shí)際截面尺寸是否符合設(shè)計(jì)尺寸,要求偏差控制在 3 cm之內(nèi)。儲(chǔ)油罐的設(shè)計(jì)尺寸為13.35 m×3.52 m×2.78 m,即截面橢圓的長(zhǎng)軸為3.52 m,短軸為 2.78 m。

所以截面橢圓的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)方程為

通過(guò)索佳NET1200全站儀 (其標(biāo)稱精度為：測(cè)角 0.5″,測(cè)距 1+1×10-6)對(duì)構(gòu)件表面點(diǎn)的三維坐標(biāo)進(jìn)行采集,坐標(biāo)測(cè)量采用全站儀無(wú)棱鏡模式。共采集 48個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)：其中 8個(gè)點(diǎn)在儲(chǔ)油罐底面上,用以擬合底面方程;其余 40個(gè)點(diǎn)在儲(chǔ)油罐側(cè)壁上,分為 5組,每組 8個(gè)點(diǎn),同一組的點(diǎn)形成的平面大致平行于底面 (圖 3),相鄰平面之間距離為 2 m左右。

1)底面方程擬合及其法向量的計(jì)算

表 1列出底面上所采集的 8個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)。

圖3 儲(chǔ)油罐側(cè)壁采樣數(shù)據(jù)Fig.3 Sample data on the lateralwall of oil tank

表 1 儲(chǔ)油罐底面的采樣數(shù)據(jù)(單位:m)Tab.1 Sample data on the bottom face of oil tank(un it: m)

首先,將底面采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,得到底面的平面方程。

然后,經(jīng)過(guò)計(jì)算得到橢圓柱底面的法向量,進(jìn)而計(jì)算出法向量的天頂距和方位角分別為 Z天頂距= 89.267 934°,α方位角=29.799 627°。

2)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和橢圓擬合

表 2列出了儲(chǔ)油罐側(cè)壁上測(cè)量得的 40個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)。

按照本文方法將 40組坐標(biāo)由工程坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為自定義坐標(biāo)。然后用轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)擬合橢圓 (圖4)。

得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

即長(zhǎng)軸為 3.496 3 m,短軸為 2.798 9 m?？梢?jiàn),儲(chǔ)油罐界面的長(zhǎng)短軸與其設(shè)計(jì)尺寸的偏差控制得較好,均在 3 cm之內(nèi),所以認(rèn)為儲(chǔ)油罐的尺寸是合格的,也證明了本文模型是可行的。

7 結(jié)論

表 2 儲(chǔ)油罐側(cè)壁的采樣數(shù)據(jù)(單位:m)Tab.2 Sample data on the lateral wall of oil tank(un it: m)

圖4 擬合的橢圓柱Fig.4 Fitting of elliptical cylinder

本文提出一種可用于逆向工程中的橢圓柱構(gòu)件的擬合計(jì)算方法。通過(guò)儀器采集橢圓柱構(gòu)件表面的離散點(diǎn),先對(duì)橢圓柱底面進(jìn)行擬合,從而獲得三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù);通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換將空間任意位置的橢圓柱轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的橢圓柱;然后將橢圓柱的擬合轉(zhuǎn)化為對(duì)平面橢圓的擬合,最終獲得橢圓的尺寸參數(shù)。最后,將該方法應(yīng)用于工程實(shí)例并取得成功,從而證明該方法是可行的。

該方法數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單,便于電算程序?qū)崿F(xiàn)。

在實(shí)際應(yīng)用中,為了提高截面尺寸擬合的精度,保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確,可采取以下幾個(gè)措施：

1)在采集構(gòu)件表面點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),使用高精度的儀器(例如索佳NET1200高精度全站儀),并且要盡量避免粗差的產(chǎn)生;

2)測(cè)量中,測(cè)站的數(shù)目應(yīng)越少越好,以避免搬站或坐標(biāo)歸算引起的誤差;

3)底面的擬合關(guān)系到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的準(zhǔn)確度,進(jìn)而影響到擬合結(jié)果,所以在采集底面點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),要注意采集點(diǎn)盡可能的多(最少采集 4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)),而且分布均勻;

4)側(cè)面采集點(diǎn)的選取也應(yīng)盡量均勻,點(diǎn)數(shù)應(yīng)盡量的多(最少采集 6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)),可采取如本例所示的采集方法：每組采集點(diǎn)能形成一個(gè)平面,該平面平行于底面;而且每?jī)山M平面的距離大致相等。

1 王解先.工業(yè)測(cè)量中一種二次曲面的擬合方法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(信息科學(xué)版),2007,(1)：47-50.(Wang Jiexian.A method for fitting of conicoid in industrial measurement[J].Geomatics and Infor mation Science ofWuhanUniversity,2007,(1)：47-50)

2 谷川.GA柱面擬合法在隧道斷面收斂監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2010,(2)：58-62.(Gu Chuan.Application of spatial cylindrical surface fitting based on GA in tunnel section convergence monitoring[J].Journal of Geodesy and Geodynamics,2010,(2)：28-62)

3 程效軍,顧孝烈.工程結(jié)構(gòu)物的拋物面方程回歸計(jì)算[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),2009,(9)：1 246-1 249. (Cheng Xiaojun and Gu Xiaolie.Regressive adjustment of paraboloid-equation for engineering construction[J].Journal of TongjiUniversity(Natural Science),2009,(9)：1 246 -1 249)

4 樊功瑜.誤差理論與測(cè)量平差[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社,1998.(Fan Gongyu.Error theory and surveying adjustment[M].Shanghai：TongjiUniversity Press,1998)

5 潘國(guó)榮,趙鵬飛.基于空間向量的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2009,(6)：78-82.(Pan Guorong and Zhao Pengfei.3D datum transformation model based on space vector[J].Journal of Geodesy and Geodynamics, 2010,(6)：78-82)

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7 閆蓓,王斌,李媛.基于最小二乘法的橢圓擬合改進(jìn)算法[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào),2005,(3)：295-298.(Yan Bei,Wang Bin and Li Yuan.Optimal ellipse fitting method based on least-square principle[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2005,(3)：295-298)

FITTING CALCULATION OF ELL IPTICAL CYL INDER COM PONENT IN REVERSE ENGINEERING

LeiWannan1)and Zhao Pengfei1,2)

(1)Departm ent of Surveying and Geo-Infor m atics,Tongji University,Shanghai 200092 2)Shanghai Surveying and M apping Institute,Shanghai 200063)

A method based on the principle of reverse engineering for fitting the elliptical cylinder component is proposed.At first,the data on the face of elliptical cylinder component is sampled by electronic total-station,then, the normal vector is gotten by fitting the bottom surface.At last,arbitrary elliptical cylinder is transfor med to the standard form by the coordinate transformation.In theway,the elliptical cylinder fitting transforms to the ellipse fitting.At the end,an engineering example is shown to prove the feasibility of thismethod.

elliptical cylinder component;fitting of plane;coordinate transformation;fitting of ellipse;reverse engineering

1671-5942(2010)05-0102-05

2010-04-09

雷婉南,女,1987年生,研究生在讀,研究方向：精密工程測(cè)量、工業(yè)測(cè)量與測(cè)量數(shù)據(jù)處理.E-mail：leiwannanlei@163.com

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A