肖華峰

一類(lèi)離散Hamilton系統(tǒng)指定最小周期的次調(diào)和解

肖華峰

(廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣東廣州510006)

文章研究了一類(lèi)離散Hamilton系統(tǒng)次調(diào)和解的存在性.通過(guò)使用一種分解技巧,估計(jì)周期解的最小周期對(duì)應(yīng)泛函的能量,得到Hamilton系統(tǒng)指定最小周期的次調(diào)和解存在性的一些充分條件.把這些充分條件應(yīng)用到離散單擺方程中,可以得到單擺方程次調(diào)和解存在性的一些充分條件,改進(jìn)了已有文獻(xiàn)中的結(jié)果.

臨界點(diǎn);次調(diào)和解;指定最小周期;離散Hamilton系統(tǒng)

0 引言

一方面,差分方程被視為微分方程的離散形式,可以用來(lái)逼近微分方程.另一方面,在研究計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)學(xué)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)及控制論等學(xué)科過(guò)程中出現(xiàn)了大量的差分方程,這就需要對(duì)差分方程進(jìn)行更深入和廣泛的研究,在過(guò)去幾十年里,許多學(xué)者研究了差分方程的定性性質(zhì),如非共軛性、穩(wěn)定性、吸引性、振蕩性和邊值問(wèn)題[1,3].但是,對(duì)于差分方程周期解的研究,結(jié)果還是相對(duì)較少,其原因是缺乏有效的工具.2003年,郭志明、庾建設(shè)首次應(yīng)用變分方法來(lái)研究差分方程的周期解[5,6],為了應(yīng)用臨界點(diǎn)理論來(lái)研究差分方程,他們建立了一個(gè)變分框架,然后把二階差分方程的周期解的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為對(duì)應(yīng)變分泛函的臨界點(diǎn)的存在性的問(wèn)題.此后,差分方程周期解的研究成果不斷涌現(xiàn).例如,對(duì)差分方程邊值問(wèn)題的研究可以參考[11,14],對(duì)周期解的研究可以參考[2,5,6,7,9,12],對(duì)同宿軌的研究可以參考[4,8,13],對(duì)異宿軌的研究結(jié)果相對(duì)較少①XI AO H F,YU J S.Heteroclinic Orbits for a Discrete Pendulum Equation[J].J D iff Equat Appl,(accept)..

盡管對(duì)差分方程的研究的結(jié)果如此之多,但是,對(duì)于周期解的最小周期問(wèn)題的研究結(jié)果相對(duì)較少.2004年,庾建設(shè)等人首次研究了如下離散單擺方程的上調(diào)和解的存在性

其中,A是一個(gè)正常數(shù),f:Z→R是一個(gè)T周期函數(shù),Δ是向前差分算子,定義為Δx(n)=x(n+1)-x(n), Δ2x(n)=Δ(Δx(n)),當(dāng)非線(xiàn)性項(xiàng)是一個(gè)奇函數(shù),他們得到次調(diào)和解存在性的一個(gè)充分條件[12].最近,龍玉華應(yīng)用Clark定理研究了二階離散Hamilton系統(tǒng)次調(diào)和解存在性.通過(guò)運(yùn)用擾動(dòng)技巧和對(duì)偶最小作用原理,她獲得了次二次Hamilton系統(tǒng)次調(diào)和解存在性的一些充分條件.

另一方面,在研究微分方程的次調(diào)和解的過(guò)程中,庾建設(shè)引入了一種分解技巧.通過(guò)估計(jì)周期解對(duì)應(yīng)的泛函的能量值的方法,給出了周期解對(duì)應(yīng)的最小周期估計(jì),從而得到指定周期的次調(diào)和解的存在性的一些充分條件.本文的目的是利用這種技巧來(lái)得出如下二階離散Hamilton系統(tǒng)的指定周期的次調(diào)和解存在性的一些充分條件

其中,x=(x1,x2,…,xm)′∈Rm,F∈C1(Z×Rm,R),Fx(n,x)=(?F/?x1,?F/?x2,…?F/?xm)∈C(Z×Rm, Rm).把這些條件應(yīng)用到離散單擺方程中,改進(jìn)了文獻(xiàn)[3]關(guān)于次調(diào)和解的存性的結(jié)果.

1 主要結(jié)果

記E∶={x|x=(…,x(-n),…,x(0),x(1),…,x(n),…),x(n)∈Rm,n∈Z}={x(n)}∞n=-∞.對(duì)于x,y∈E,a,b∈R,定義

則E是一個(gè)向量空間.

給定正整數(shù)p,T,定義E的子空間EpT如下

EpT上的范數(shù)‖·‖和內(nèi)積(·,·)定義如下:

其中,|·|和·為歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)范數(shù)和內(nèi)積.

定義一個(gè)線(xiàn)性算子ψ:EpT→RmpT

由(3)定義的ψ是一個(gè)線(xiàn)性同構(gòu),且‖x‖=|ψx|.因此(EpT,(·,·))是一個(gè)Hilbert空間,它同構(gòu)于歐氏空間RmpT.

定義sp為p的最小因子,ω=2π/T,Z[1,m]={1,2,…,m}.假設(shè)

(A1)F(n,x)∈C1(Z×Rm,R)是一個(gè)偶函數(shù),且關(guān)于n是T周期,即對(duì)任意n∈Z,x∈EpT,F(-n,-x) =f(n,x),F(n+T,x)=F(n,x).

(A2)存在常數(shù)A>0,β>0滿(mǎn)足

(A4)如果x=x(n)是一個(gè)最小周期為qT的周期函數(shù),其中q是有理數(shù),而且Fx(n,x)是一個(gè)最小周期是qT的函數(shù),則q必是一個(gè)整數(shù).

定理1.1 令F滿(mǎn)足(A1)-(A4).對(duì)任意整數(shù)p>1,如果還有如下兩個(gè)不等成立

(A3)存在某個(gè)常數(shù)h∈[0,2sin2(ω βp/2p))滿(mǎn)足

則系統(tǒng)(2)至少有一個(gè)以pT為最小周期的周期解.

為了證明定理1.1,我們考慮定義在EpT的如下泛函

類(lèi)似于參考文獻(xiàn)[5],(2)的周期解的存在性等價(jià)于變分泛函J的臨界點(diǎn)的存在性,由于空間EpT與空間RmpT同構(gòu)的,于是泛函J(x)可以改寫(xiě)為

其中x∈EpT,x=(x′(1),x′(2),…,x′(pT))′,矩陣D由參考文獻(xiàn)[6]中所定義.直接計(jì)算,矩陣D的特征值為λk=4sin2(kπ/pT),k=0,1,2,…,pT-1.于是矩陣D有pT個(gè)m重特征值λ0,λ1,λ2,…,λpT-1

對(duì)任意1≤i≤[(pT-1)/2],定義

I 當(dāng)pT是偶數(shù)時(shí),

II 當(dāng)pT是奇數(shù)時(shí),

定義EpT子空間～EpT如下:

引理1.1 如果x是泛函J在～EpT上的臨界點(diǎn),則x是泛函J在EpT上的臨界點(diǎn)并且x的最小周期是T的整數(shù)倍.

證明 如果x是泛函J在子空間～EpT上的臨界點(diǎn),則

但是對(duì)于任意y∈EpT滿(mǎn)足y⊥～EpT,有y關(guān)于n是偶的,而F(n,x)關(guān)于n是偶的,從而Fx(n,x)關(guān)于n是奇的,于是可以得到

即,對(duì)于任意的y∈EpT,有(J′(x),y)=0.這就說(shuō)明x是J在空間EpT上的臨界點(diǎn).

如果存在某個(gè)整數(shù)q,使得x的最小周期pT/q,由于x滿(mǎn)足

所以,Fx是最小周期也是pT/q.于是假設(shè)(A4)隱含p/q必是一個(gè)整數(shù).證畢.

引理1.2 J在空間～EpT上有下界并且滿(mǎn)足P.S.條件.

證明 由(A3),對(duì)于任意,存在一個(gè)常數(shù)R1>0滿(mǎn)足

令F1={n|n∈Z[1,PT],|x(n)|

由于F(n,x)是連續(xù),所以∑n∈F1F(n,x(n))有界,于是存在正常數(shù)M1滿(mǎn)足

當(dāng)‖x‖→∞時(shí),

所以,J(x)有下界并且任意的P.S.序列有界.因?yàn)椤獷pT是一個(gè)有限維空間,P.S.序列必存在一個(gè)收斂子列.證畢.

由上面的討論得J在空間～EpT達(dá)到其極小值,記極小值點(diǎn)為x0.

定理1.1的證明 我們只需要證明x0的最小周期是pT.假設(shè)存在某個(gè)正整數(shù)q>1使得x0的最小周期

是pT/q,則x的表達(dá)式具有如下形式

定義x1(n),x2(n)如下

則x1是T周期的,并且x1⊥x2,因?yàn)镕x(n,0)關(guān)于n是T周期的,因此x1⊥Fx(n,0).

根據(jù)假設(shè)(A2)有

選取ˉx(n)=δsin(ωn/p)e1,則直接計(jì)算得到

顯然,Fx(n,0)是T周期的,于是

如果存在正數(shù)δ滿(mǎn)足

則J(ˉx)≤J(x0),如果J(ˉx)=J(x0)則ˉx為泛函J在EpT上的一個(gè)臨界點(diǎn),它具有最小周期pT,這樣我們就證明了定理.如果J(ˉx)≤J(x0),這與x0是J在子空間～EpT上的最小值矛盾.

為了證明(9),令δ=h‖x1‖,則

由假設(shè)(4)

上式變形就是(11),因此定理結(jié)論成立.證畢.

定理1.2 假設(shè)F滿(mǎn)足(A1),(A3),(A4)以及

(A5)存在常數(shù)B>0,A>～A>0滿(mǎn)足

對(duì)任意整數(shù)p>1,進(jìn)一步假設(shè)

并且則系統(tǒng)(2)至少存在一個(gè)以pT為最小周期的周期解.

證明 類(lèi)似于定理1.1的證明,我們只需要證明x0的最小周期是pT.

取

我們有

于是

由x0的定義,我們有J(x0)≤J(ˉx),如果J(x0)=J(ˉx),則x0是泛函J在空間～EpT上的一個(gè)臨界點(diǎn),它的最小周期是pT,這就完成了定理的證明.如果J(x0)

(14)隱含

這與假設(shè)(12)矛盾.證畢.

2 應(yīng)用到單擺方程

文獻(xiàn)[12]中,庾建設(shè)等給出了如下的結(jié)果

定理2.3 假設(shè):

(F1)函數(shù)f:Z→R是最小周期為T(mén)的T周期的奇函數(shù).則方程(1)至少有一個(gè)奇T周期解.更加一步,如果存在某個(gè)整數(shù)p>1,

(F2)

(F3)其中,ˉδ是方程sinδ=(ω2/Ap2)δ在區(qū)間(0,π)的解,ˉf=(f(1),f(2),…,f(pT))T.則方程(1)至少有一個(gè)以pT為最小周期的周期解.

應(yīng)用定理1.1到離散單擺方程,我們得到以下結(jié)果:

定理2.4 假設(shè)f(n)是一個(gè)以T為最小周期的周期函數(shù).如果存在常數(shù)A使得則方程(1)至少存在一個(gè)以pT為最小周期的周期解.

證明 我們?nèi)(n,x)=A(1-cosx)-f(n)x,則Fx(n,0)=f(n)并且在(4)中,令β=,有這就是假設(shè)(15).因此定理1.1假設(shè)成立.應(yīng)用定理1.1,就證明了這個(gè)定理.證畢.

在定理2.3中的條件(F3),作者用無(wú)理函數(shù)來(lái)作為條件給出單擺方程次調(diào)和解的存在性.由于無(wú)理方程在處理的時(shí)候比較麻煩,因此,在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中很難驗(yàn)證,而在定理2.4,我們?nèi)サ袅藷o(wú)理方程,用不等式給出單擺方程次調(diào)和解的存在性,因此,在實(shí)際應(yīng)用中,我們的條件要好驗(yàn)證些.

推論2.1 假設(shè)f(n)是以T為最小周期的周期的函數(shù).如果存在常數(shù)A滿(mǎn)足

則存在一個(gè)P>0滿(mǎn)足,對(duì)于任意素?cái)?shù)p>P,(1)至少存在一個(gè)以pT為最小周期的周期解.

證明 令p→∞,(13)約化成為‖f‖2≤3pπA/(ω)(4sin2-A),這就是假設(shè)(16),應(yīng)用定理2.4就證明了這個(gè)定理.

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Subharmon ic Solutions with PrescribedM in i mal Period of a Class of D iscrete Ham ilton ian System s

XI AO Hua-feng
(College of M athem atics and Infor mation Sciences,Guangzhou University,Guangzhou510006,China)

By using a decomposition technique to estimate the energy of a solution in ter ms of the minimal period of the solution,we obtain some sufficient conditions for the existence of subhar monic solutionswith prescribed minimal period of discrete Hamiltonian systems.When the results are applied to the discrete pendulum equation,some sufficient conditions,which are simpler to verify than those in the literature,for the existence of subharmonic solutions are obtained.

critical point;subhar monic solutions;prescribed minimal period;discrete Hamiltonian systems

O175.7

A

0253-2395(2010)04-0486-07

2009-10-19;

2010-01-04

國(guó)家自然科學(xué)基金(10871053);博士點(diǎn)基金(20061078002)

肖華峰(1980-),男,湖南衡陽(yáng)人,博士,研究領(lǐng)域:差分方程、時(shí)滯方程,E-mail:hnhyxhf@yahoo.com.cn

文章編號(hào):0253-2395(2010)04-0513-06