高 云, 樂勵華

(東華理工大學數(shù)學與信息科學學院,江西撫州 344000)

Zakharov-Kuznetsov方程新的周期解和孤立波解

高 云, 樂勵華

(東華理工大學數(shù)學與信息科學學院,江西撫州 344000)

隨著非線性科學的發(fā)展,許多物理、工程技術(shù)和數(shù)學模型都可以轉(zhuǎn)化為非線性方程,如非線性常微分方程、偏微分方程等。非線性方程的求解已經(jīng)成為非線性科學領(lǐng)域的一個重要研究課題。Zakharov-Kuznetsov方程 (簡稱 ZK方程)作為非線性方程中重要的一類,是由 Zakharov和 Kuznetsov在 1974年提出的,該方程是 KdV方程在二維空間的典型推廣形式之一,因此研究該方程具有廣泛的理論意義和實踐意義。本文用拓展的雙曲函數(shù)正切法,借助 Riccati方程的解,結(jié)合Mathematical數(shù)學軟件,得到 Zakharov-Kuznetsov方程新的顯示精確解,包括周期解和孤立波解.所給的方法還可以用來求解其它的一大類非線性發(fā)展方程。

Zakharov-Kuznetsov方程;Riccati方程;周期解;孤立波解

非線性波動方程被廣泛地應(yīng)用到物理、工程技術(shù)和數(shù)學等眾多領(lǐng)域,如非線性光學、量子論、流體力學等。Zakharov-Kuznetsov方程 (簡稱 ZK方程)作為非線性波動方程中重要的一類,近年來受到了很多數(shù)學和物理學者的關(guān)注,也取得了一些有價值的研究成果:應(yīng)用 Backlund變換和齊次平衡法(Chen Y,et al.,2003)得到 ZK方程的顯式解;利用相容性方法 (Yan et al.,2006)求出了 ZK方程的某些精確解;用試探函數(shù)法 (馮慶江等,2010;劉常福等,2008)求 ZK方程的孤子解;Jacobi橢圓函數(shù)展開法 (劉式適等,2001);還有一種直接方法等(LOU et al.,2005;Ma,2005)。筆者在以上文獻的基礎(chǔ)上給出新輔助方程與 ZK方程的一種新形式解相結(jié)合的方法,借助 Riccati方程的解 (韋雪敏等,2010),結(jié)合 Mathematica數(shù)學軟件,求出 ZK方程新的精確解。這種方法構(gòu)造非線性發(fā)展方程(組)的新精確解有重要的意義。

1 新的輔助方程

假設(shè)給定的非線性發(fā)展方程

具有行波解 u(x,y,t)=u(ξ),ξ =kx+cy+w t,將該解代入上面方程得常微分方程

假設(shè)該方程的解為

其中 ai(i=0,1,…,n)為待定常數(shù),n是由齊次平衡法確定的自然數(shù),在雙曲正切函數(shù)法中取tanh(ξ)=φ(ξ),φ(ξ)由 Riccati方程所確定 ,φ′=qφ2+pφ +r(p,q,r是可變化的常數(shù) )。將 u(ξ),φ′代入 G(u,uξ,uξξ,uξξξ, …)=0,并令 u(ξ)的各次冪的系數(shù)為 0,得到一個以 ai(i=0,1,…,n),w,p,q,r為未知量的代數(shù)方程組,利用Mathematica軟件求該方程組的解,再把每一組解與φ(ξ)的解代回u(ξ),就得到要求非線性發(fā)展方程的精確解。

2 具體例子

其中 p,q,r是可變化的常數(shù)。平衡最高階導(dǎo)數(shù)項 uξξ?

求解 ZK方程和最高次非線性項 u2,可得 n=2,則

其中 A,B是非零的實常數(shù),且 A2-B2>0.

把情形一的值與φ1～φ7的值分別代入 (5)式,從而得方程 (1)的周期解為

3 結(jié)論

本文通過構(gòu)造輔助方程,把求解非線性偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組的問題,不同于利用分式變換法 (劉常福等,2008)求解,并借助符號計算系統(tǒng)Mathematica求出了 ZK方程的一些新的精確解,這些解在其它的文獻中尚未出現(xiàn)過,這些新解有助于對 ZK方程的進一步深入了解。此方法同樣可以用來求解其它非線性方程或方程組。

馮慶江,李巖,楊利.2010,用試探函數(shù)法求 Zakharov-Kuznetsov方程的孤子解[J].長春大學學報,20(6):8-11.

劉常福,戴正德,林清梅.2008.改進的 Zakharov-Kuznetsov方程的精確分式解[J].西南大學學報:自然科學版,30(9):1-5.

劉式適,傅遵濤,劉式達.2001.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應(yīng)用[J].物理學報,50(11):2068-2073.

韋雪敏,朱小軍.2010.廣西科學院學報.26(2):103-106.

Chen Y,LiB,Zhang H Q.2003.Backlund transformation and exact solutions for a new genetalized Zakharov-Kuznetsov equations with nonlinear ter ms of any order[J].Commun.Phys.39:135-140.

Lou S Y,Ma H C.2005,.Non-Lie symmetry groups of(2+1)-dimensional nonlinear systems obtained from a simple direct method[J].J.Phys,A:Math.Gen.38:L129-135.

Ma H C.2005.simple method to generate Lie point symmetry groups of the(3+1)-dimensional Jimbo-Miwa equation[J].Chin.Phys.Lett.,22:554-557.

Yan ZL,Liu X Q.2006.Symmetry reductions and explicit solutions for a generalized Zakharov-Kuznetsov equation[J].Commun.Theor.Phys.45:29-32.

A New Periodic and SolitaryWave Solutions to Zakharov-Kuznetsov Equation

GAO Yun, LE Li-hua
(School ofMathematics&Infor mation Science,East China Institute of Technology,Jiangxi Fuzhou 344000,P.R.C)

W ith development of nonlinear science,a lot of physics,engineering,and mathematicsmodels can be changed into nonlinear equations,such as nonlinearODE,PDE.Solving nonlinear equations has become an important research topic in the field of nonlinear science.In 1974 Zakharov and Kuznetsov posed the nonlinear Zakharov-Kuznetsov equation(ZK equations in short),which is an important nonlinear equations for a class.This equation is one of the best known two-dimensional generalizations of the KdV equation.Studying this equation is important not only in theory but also in practice.In this paper,by using extend hyperbolic tangent function,with the aid of solutions of Riccati equation and Mathematica sof tware,Zakharov-Kuznetsov equation obtains the new explicit exact solutions,which contain periodic solutions and solitarywave solutions.The method can be used to solve other nonlinear developing equation.

Zakharov-Kuznetsov equation;Riccati equation;periodic solutions;solitarywave solutions

O175

:A

:1674-3504(2010)04-393-05

10.3969/j.issn.1674-3504.2010.04.016

2010-10-12

高 云 (1986—),女,碩士研究生,計算數(shù)學專業(yè).方向:微分方程。