卜玉成,束永祥,盧蕊,凌蕾花

(1.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校教師教育系,江蘇丹陽 212310;2.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)編輯部,江蘇鎮(zhèn)江 212003; 3.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校人事處,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

漸近線性二階常微分方程組解的存在性和多重性

卜玉成1,束永祥1,盧蕊2,凌蕾花3

(1.鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校教師教育系,江蘇丹陽 212310;2.鎮(zhèn)江高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)編輯部,江蘇鎮(zhèn)江 212003; 3.鎮(zhèn)江高等專科學(xué)校人事處,江蘇鎮(zhèn)江 212003)

研究一類漸近線性二階常微分方程組解的情況。通過建立對(duì)應(yīng)線性二階常微分方程組的指標(biāo)理論,得到漸近線性二階常微分方程組解的存在性與多重性判定方法和實(shí)例。

二階常微分方程組;線性系統(tǒng)的指標(biāo)理論;解的存在性;解的多重性

0 引 言

董玉君[1]討論了漸近線性二階 Hamilton系統(tǒng)

在Dirchlet邊值

下解的存在性和多重性,其中V:[0,1]×Rn→R和V′:[0,1]×Rn→Rn均連續(xù),V′表示 V關(guān)于 x的導(dǎo)數(shù)。岳靜[2]和卜玉成[3]進(jìn)一步討論了系統(tǒng) x″+Cx′+V′(t,x)=0在條件 (2)下解的存在性和多重性,其中:C是 n階反對(duì)稱矩陣,V滿足的條件同上。

I.Ekeland[4]提出了系統(tǒng) (1)的另一種拓展形式

其中:C(t)是 n階對(duì)稱矩陣函數(shù),V滿足的條件同上。I.Ekeland指出,分析系統(tǒng) (3)有助于我們處理一些非凸性問題。本文將討論系統(tǒng)(3)在條件(2)下解的存在性和多重性。

2 線性系統(tǒng)的指標(biāo)理論

對(duì)?A1,A2∈GLs(Rn),若 A2-A1半正定,則記 A1≤A2;若 A2-A1正定,則記 A1＜A2。對(duì)?A1,A2∈L ((0,1);GLs(Rn)),若對(duì) a.e.t∈(0,1)有 A1(t)≤A2(t),則記 A1≤A2;若 A1≤A2,且在 (0,1)內(nèi)具有非零測(cè)度的子集上有 A1(t)＜A2(t),則記。

系統(tǒng)(3)對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)為

定義1 記二次型若φC,A(x,y)=0,則稱 x與 yφC,A正交。H1和 H2是 H中的兩個(gè)子空間,若對(duì)?x∈H1,y∈H2都有 x與 yφC,A正交,則稱子空間 H1與 H2φC,A正交。

命題 1 對(duì)?A∈L ((0,1);GLs(Rn)),H必有一φC,A正交分解式:,且滿足:1)φC,A(x,x)＞0,; 4)都是有限維的。

證明 定義內(nèi)積

由定理 5.4.2[5]可知,范數(shù)‖x‖λ0和‖x‖等價(jià),其中λ0＞0且滿足A＜λ0In。由 Riesz表示定理可知,存在連續(xù)線性算子→H滿足

記τ:H→L2是緊嵌入,則 fλ0τ:H→H是自伴緊算子。由自伴緊算子的譜理論可知,存在μi→0和 ei∈H(i= 1,2,…),使得

由式(6),式(7)可得

從而由定義 1可知命題 1成立。

定義 2 對(duì)?A∈L ((0,1);GLs(Rn)),定義和νC(A)分別稱為A的指標(biāo)和零化度。

定義 3[6-7]若φ是 Hilbert空間 X上的對(duì)稱雙線性形式,則它的Morse指標(biāo)和零化度定義如下:

證明 式(10)是顯然的,下面證明式(9)。

引理 2 設(shè) x∈H,f∈L2((0,1),Rn)滿足則 x∈H2且滿足 x″+f(t)=0。

證明 對(duì)于 f∈L2((0,1),Rn),存在 F(t)∈H2滿足 F″(t)=f(t),故

由 y的任意性可得 x′(t)+F′(t)=0,從而 x″(t)+f(t)=0。

命題 2 對(duì)于?A∈L ((0,1);GLs(Rn)),iC(A)和νC(A)具有以下性質(zhì):1)νC(A)是式 (4),式 (2)解空間的維數(shù),且對(duì)?A1,A2((0,1);GLs(Rn)),若 A1≤A2,則 iC(A1)≤iC(A2);若 A1＜A2,則 iC(A1)+νC(A1)≤iC(A2)。

由引理 2可知,x是式 (4),式(2)的解。

3)由于A1≤A2,故對(duì)?x∈(A1),有φC,A2(x,x)≤φC,A1(x,x)＜0。由φ的Morse指標(biāo)定義和引理 1可知 iC(A1)≤iC(A2)。若 A1＜A2,則φC,A2(x,x)＜φC,A1(x,x)＜0。對(duì)?y∈(A1),有φC,A2(y,y)＜φC,A1(y, y)=0,故由定義 3和引理 1可知,iC(A1)+νC(A1)≤iC(A2)。

3 漸近線性系統(tǒng)解的存在性與多重性

定理1 設(shè)

1)存在連續(xù)函數(shù) A∈L ((0,1);GLs(Rn))和 h:[0,1]×Rn→Rn,對(duì)于?t∈[0,1]當(dāng) |x|→ 時(shí)一致有h(t,x)=ο(|x|),使得

2)存在 A1,A2∈L ((0,1);GLs(Rn))且 A1≤A2,iC(A1)=iC(A2)＞0,νC(A2)=0,使得

或存在 A0∈L ((0,1);GLs(Rn))且 iC(A0)+νC(A0)=0使得

則式(3),式(2)至少有一個(gè)解。

定理2 設(shè)

1)V∈C2([0,1]×Rn,R),對(duì)于任意 |x|≥M ＞0,必存在 A1,A2((0,1);GLs(Rn)),使得A1(t)≤V″(t,x)≤A2(t),且 iC(A1)=iC(A2)＞0,νC(A2)=0;

2)V(t,θ)=0,V′(t,θ)=θ,A0(t):=V″(t,θ),且 iC(A1)?[iC(A0),iC(A0)+νC(A0)],則式 (3),式 (2)至少有一個(gè)非平凡解;

同時(shí),若 3)νC(A0)=0,|iC(A1)-iC(A0)|≥n,則式 (3),式 (2)有兩個(gè)非平凡解。

定理 1和定理 2的證明完全依據(jù)指標(biāo)理論進(jìn)行,限于篇幅,本文不再給出,感興趣的讀者可參考文獻(xiàn)[2-3]。下面給出定理 1和定理 2的應(yīng)用實(shí)例。

4 實(shí) 例

例 1 設(shè) C(t)=diag{λ1,λ2,…λn},A(t)=diag{μ1,μ2,…μn},fi:R→[0,α]連續(xù)且 fi(R)=[0,α],其中:α＞0,λi, μi∈R(i=1,2,…,n)。記t∈[0,1],x∈ Rn,故 V(t,x)滿足式 (11),其中:A(t,x) =A(t) +diag{f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)},若令α},則 iC(A0)=νC(A0)=0,故 A(t,x)滿足式 (13);若λi+μi+α∈(k2π2,(k+1)2π2)(i=1,2,…,n)且α充分小,令 A1(t)=A(t),A2(t)=A(t)+αIn,則νC(A2)=0,iC(A1)=iC(A2)=nk,故 A(t,x)滿足式 (12),由定理 1可知,式(3),式(2)有解。

[1]DONG Yu-jun.Index theory,nontrivial solutions and asymptotically linear second-order Hamiltonian systems[J].J.Differential Equations,2005(214):233-255.

[2]岳靜.指標(biāo)理論和漸近線性二階常微分方程組解的存在性[D].南京:南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,2008.

[3]卜玉成.漸近線性二階常微分方程組解的多重性[D].南京:南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,2009.

[4]EKELAND I.Convexitymthods in hamiltonian mechanics[M].Berlin:Springer,1990.

[5]張恭慶,林源渠.泛函分析講義 (I)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1987.

[6]MAWH IN J,W ILLEM M.Critical point theory and hamiltonian systems[M].Berlin:Springer,1998.

[7]CHANG K C.Infinite morse theory and multiple solution problems[M].Basel:Birkhauser,1993.

〔責(zé)任編輯:盧 蕊〕

Existence and multiplicity of solutions of asymptotically linear second-order ordinary different ial system s

BU Yu-cheng1,SU Yong-xiang1,LU Rui2,L ING Lei-hua3

(1.Teachers'TrainingDepartment,Zhenjiang College,Danyang 212300,China;2.Journal EditorialDepartment,Zhenjiang College, Zhenjiang 212003,China;3.PersonnelDepartment,Zhenjiang College,Zhenjiang 212003,China)

Solutionsof asymptotically linear second-orderordinary differential systems are discussed and index theory of correspondingly linear systems is established.Existence and multiplicity of solutions of asymptotically linear second-order ordinary differential systems are obtained from it.At the same time,examples are given.

second-orderordinary differential systems;index theory of linear systems;existence of solutions;multiplicity of solutions

O175.1

A

1008-8148(2010)03-0062-04

2010-03-02

鎮(zhèn)江高等?？茖W(xué)校 2010年度校級(jí)科研課題(2010053113);江蘇省“青藍(lán)工程”資助項(xiàng)目(蘇教師〔2007〕2號(hào))

卜玉成(1978—),男,江蘇丹陽人,講師,碩士,主要從事常微分方程研究;束永祥 (1972—),男,江蘇丹陽人,副教授,碩士,江蘇省“青藍(lán)工程”優(yōu)秀青年骨干教師,主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究。