吳懷崗，張 晴

（1.南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210008；2.南京師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京 210046）

0 引言

隨著社會問題的日益復(fù)雜化以及科學(xué)研究的不斷深入，傳統(tǒng)的模糊集理論因其不能完整地表達(dá)所研究問題的全部信息而在實(shí)際應(yīng)用中受到越來越多的制約和挑戰(zhàn)[1]。Atanassov[2]對傳統(tǒng)的模糊集進(jìn)行了拓展，提出了直覺模糊集的概念。由于直覺模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三方面的信息，使得它在對事物屬性的描述上提供了更多的選擇方式，在處理不確定信息時(shí)具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力，因此直覺模糊集理論在學(xué)術(shù)界及工程技術(shù)界引起了廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)[3]對直覺模糊集環(huán)境下的幾何集結(jié)算子進(jìn)行了研究，提出了直覺模糊加權(quán)幾何(IFWGA)算子，直覺模糊有序加權(quán)幾何(IFOWGA)算子和直覺模糊混合幾何(IFHG)算子，并且基于IFHG算子，給出了相應(yīng)的決策方法。文獻(xiàn)[4]對直覺模糊集環(huán)境下的算術(shù)集結(jié)算子進(jìn)行了研究，提出了直覺模糊算術(shù)平均(IFAA)算子和直覺模糊加權(quán)算術(shù)平均(IFWAA)算子，并且基于IFAA算子和IFWAA算子，給出了相應(yīng)的群決策方法。文獻(xiàn)[5]給出模糊數(shù)直覺模糊集兩個(gè)改進(jìn)算子,在此基礎(chǔ)上,提出用精確函數(shù)解決記分函數(shù)無法決策的問題,以保證記分函數(shù)的嚴(yán)密性與合理性。文獻(xiàn)[6]針對模糊數(shù)直覺模糊信息的集成問題，提出一種屬性權(quán)重確知且屬性值以模糊數(shù)直覺模糊數(shù)形式給出的多屬性群決策方法。本文擬將傳統(tǒng)的topsis方法與灰關(guān)聯(lián)分析方法相結(jié)合，并且引入直覺模糊集理論，以期為解決多屬性群決策問題提供一個(gè)新的方法和思路。

1 直覺模糊集理論

直覺模糊集由Atanassov提出[2]，是傳統(tǒng)模糊集的一種擴(kuò)充和發(fā)展。直覺模糊集增加了一個(gè)新的屬性參數(shù)：非隸屬度函數(shù)，它能夠更加細(xì)膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)。

定義1[2]設(shè)X是一個(gè)非空經(jīng)典集合，X={x1,x2,…，xn}，X上形如A={＜x,uA(x),vA(x)＞|x∈X}的三重組稱為X上一個(gè)直覺模糊集。其中uA(x),vA(x):X→[0,1]，均為X的隸屬函數(shù)，且0≤uA(x)+vA(x)≤1，這里uA(x),vA(x)分別是X上元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，表示為支持元素x屬于集合A的證據(jù)所導(dǎo)出的肯定隸屬度的下界和反對元素x屬于集合A的證據(jù)所導(dǎo)出的否定隸屬度的下界。

對于X上的每一個(gè)直覺模糊集，稱πA(x)=1-uA(x)-vA(x)為直覺模糊集A中元素x的直覺指數(shù)，表示元素x屬于A的猶豫度。 顯然，0≤πA(x)≤1，x∈X。

定義 2 A={＜x,uA(x),vA(x)＞|x∈X},B={＜x,uB(x),vB(x)＞|x∈X}為任意兩個(gè)直覺模糊數(shù)，則

定義3 設(shè)Q為直覺模糊集，Aj=(uj,vj,πj)為一組直覺模糊數(shù)，wj為其權(quán)重，滿足 wj∈[0,1]和

令 IFWA：Qn→Q，若

則稱函數(shù)IFWA為n維直覺模糊加權(quán)平均算子。

2 基于直覺模糊集算子的多屬性群決策方法

設(shè) A={A1,A2,…，Am}為方案集，X=(X1,X2,…，Xn)為屬性集，下面結(jié)合傳統(tǒng)topsis法和灰關(guān)聯(lián)分析法，給出一種解決多屬性群決策問題的方法。

表1 語言變量表示重要性

表2 語言變量表示屬性值

表3 決策者重要性

步驟1：確定每個(gè)決策者的權(quán)重

假定組成決策小組的決策者有l(wèi)個(gè)，決策者的重要性用語言變量表示，見表1。

設(shè)Dk=(uk,vk,πk)為第k個(gè)決策者的權(quán)重，用下面的公式將直覺模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)：

步驟2：構(gòu)造決策矩陣

在群決策中，所有的個(gè)體決策得出的決策矩陣必須進(jìn)行集結(jié)，得到最終的綜合所有決策者意見的決策矩陣。設(shè)R(k)=為每個(gè)決策者的決策矩陣，本文利用直覺模糊加權(quán)平均算子進(jìn)行集結(jié)，得到矩陣R=(rij)m×n，其中

這里：

本文用語言變量表示屬性值，見表2。

步驟3：決定屬性權(quán)重

每個(gè)決策者心中屬性的權(quán)重也不一定相同，所以我們也需要利用直覺模糊加權(quán)平均算子對權(quán)重進(jìn)行集結(jié)。設(shè)為第k個(gè)決策者賦予屬性的權(quán)重值，則集結(jié)所有決策者的權(quán)重值，得出最終屬性權(quán)重

所有屬性權(quán)重 W=[w1,w2,…，wn]。

步驟4：加權(quán)決策矩陣

將權(quán)重與決策矩陣相乘，得出加權(quán)矩陣R'：

步驟5：確定正理想解

設(shè)J1和J2分別表示效益型、成本型的下標(biāo)集，可用下列公式確定正理想解A*=(uA*W(xj)，uA*W(xj))，其中

步驟6：計(jì)算各方案與理想解的關(guān)聯(lián)度

根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析方法可知[7～9]，方案和理想最優(yōu)方案A*關(guān)于指標(biāo)Xj的關(guān)聯(lián)系數(shù)為

為(uAi*W(xj),vAi*W(xj),πAi*W(xj))到理想解(uAi*W(xj),vAi*W(xj),πAi*W(xj))的距離；ρ 為分辨系數(shù)，ρ∈[0,1]，一般取值 0.5。

則各方案與理想最優(yōu)方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣為

方案Ai與A*的綜合關(guān)聯(lián)度為

顯然，ξi越大，表示被評價(jià)方案Ai與理想最優(yōu)方案A*越接近，即決策方案Ai越佳。因此，各方案按綜合關(guān)聯(lián)度ξi大小對方案進(jìn)行排序，即可得到?jīng)Q策方案集中的最優(yōu)方案。

3 應(yīng)用實(shí)例

某汽車生產(chǎn)商欲選擇一家最合適的重要零部件供應(yīng)商，經(jīng)初步篩選，現(xiàn)有5個(gè)供應(yīng)商可供選擇,包括A1、A2、A3，A4,A5。為進(jìn)行科學(xué)有效地評估，公司成立了一個(gè)3人評選委員會，包括 DM1、DM2、DM3，考慮如下 4 項(xiàng)指標(biāo)：產(chǎn)品質(zhì)量 X1，合作程度X2，運(yùn)輸能力X3，價(jià)格X4。經(jīng)調(diào)查、評估，最后得出決策者權(quán)重（見表3），每個(gè)決策者對各屬性的打分（見表4），以及決策者認(rèn)為屬性的重要性（見表5）。

步驟1：確定決策者屬性權(quán)重

利用公式(1)，計(jì)算得出每個(gè)決策者權(quán)重，見表6。

步驟2：利用公式（2），得到集結(jié)后的決策矩陣，見表7。

步驟3：根據(jù)表5，利用公式（3），得出屬性權(quán)重如下：

步驟 4：利用公式（4）、（5），得出加權(quán)矩陣，見表 8。

表4 決策者對各屬性的打分

表5 屬性的重要性

表6 決策者權(quán)重

步驟5：X1,X2,X3為效益型指標(biāo)，X4為成本型指標(biāo)，根據(jù)公式（6）、（7）得出正理想解為：

A*={(0.731,0.215,0.054),(0.575,0.294,0.121)(0.530,0.353,0.117),(0.303,0.606,0.091)}

步驟6：計(jì)算各方案與理想解的關(guān)聯(lián)度

各方案與理想最優(yōu)方案的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣為

方案Ai與A*的綜合關(guān)聯(lián)度為

根據(jù) ξi大小對 5 個(gè)供應(yīng)商進(jìn)行排序：A3＞A1＞A4＞A5＞A2，即供應(yīng)商A3是汽車生產(chǎn)商的最佳選擇。

4 結(jié)語

在群決策情形下，本文將直覺模糊加權(quán)平均算子應(yīng)用于屬性值和屬性權(quán)重的集結(jié)；同時(shí)，本文將傳統(tǒng)的topsis法與灰關(guān)聯(lián)分析方法相結(jié)合，不直接計(jì)算各方案與理想解的距離，而用灰關(guān)聯(lián)度的大小確定方案的優(yōu)劣，為解決不確定多屬性群決策問題提供了一種新的方法和思路。實(shí)例應(yīng)用研究表明該方法客觀科學(xué)，在解決項(xiàng)目選擇、制造業(yè)等存在不確定因素的管理決策問題中簡單實(shí)用。

表7 決策矩陣

表8 加權(quán)矩陣

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