王小勝,王保國(guó)

(1.河北工程大學(xué)理學(xué)院,河北邯鄲 056038;2.邯鄲鋼鐵集團(tuán) 設(shè)備制造安裝有限公司,河北 邯鄲056015)

在人類社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,存在著大量的無(wú)法避免的各種各樣的不精確現(xiàn)象。如何認(rèn)識(shí)這些不精確現(xiàn)象,如何發(fā)掘這些不精確現(xiàn)象背后的規(guī)律,如何建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)、研究這些不精確現(xiàn)象,一直是科學(xué)研究工作者熱衷追求的奮斗目標(biāo)。對(duì)于不精確現(xiàn)象,大致分為了客觀不精確性和主觀不精確性。對(duì)于客觀不精確現(xiàn)象,人們利用概率論建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究,并取得了非常豐富的研究成果,并廣泛應(yīng)用在隨機(jī)系統(tǒng)、隨機(jī)控制、可靠性、金融保險(xiǎn)、國(guó)民統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)決策等領(lǐng)域。

然而不可否認(rèn),每一個(gè)學(xué)科都有各自的應(yīng)用領(lǐng)域及局限范圍,概率論也一樣不能夠完全解釋人類社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中的所有不精確性問(wèn)題。由于人類主觀意識(shí)造成的不精確性,或者由于人類語(yǔ)言表達(dá)的不精確性,如“大約 100km”、“高速”、“大小適中”等,又應(yīng)該如何去認(rèn)識(shí)、刻畫(huà)呢?有的學(xué)者主張利用主觀概率建立數(shù)學(xué)模型研究[1],有的學(xué)者主張利用Dempster-Shafer理論建立數(shù)學(xué)模型[2],美國(guó)控制論專家Zadeh[3-5]主張利用模糊集理論進(jìn)行研究,清華大學(xué)劉寶碇教授也曾經(jīng)為此建立可信性理論[6]。然而,大量調(diào)研發(fā)現(xiàn),這些理論都存在各自的悖論。

1 不精確性研究中的經(jīng)典悖論

1.1 主觀概率的悖論

Cohen[7]通過(guò)調(diào)研指出如果甲、乙兩個(gè)人到某同一目的地的可能性分別是0.3和0.4,當(dāng)甲、乙兩人是否到目的地相互獨(dú)立時(shí),最后兩人同時(shí)到目的地的可能性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.12。即此時(shí)不再滿足概率中獨(dú)立事件的乘積概率公式。另外,清華大學(xué)劉寶碇教授[8]在2010年給出了如下的例子。

有10個(gè)城市,各城市之間距離相等,均為96km?，F(xiàn)在假設(shè)不知道城市之間距離,請(qǐng)專家給出城市之間距離的主觀數(shù)據(jù)。經(jīng)過(guò)調(diào)研,專家給出了城市之間距離為(100±5)km。若把城市之間距離理解為[95,105] 上均勻分布的隨機(jī)變量,則得到十個(gè)城市之間距離和的99%的置信區(qū)間為[97,1 203] 。這意味著真實(shí)的距離960km以99%的可能性落在區(qū)間[97,1 203] 之外。若把該問(wèn)題應(yīng)用于可靠性分析中,不難想象可能會(huì)出現(xiàn)災(zāi)難性的后果。

1.2 Dempster-Shafer理論的悖論

Dempster-Shafer理論也被認(rèn)為是信度函數(shù)理論。該理論在概率的基礎(chǔ)上,對(duì)概率論的概念進(jìn)行了擴(kuò)展。把概率論的事件擴(kuò)展成命題,把事件的集合擴(kuò)展成命題的集合等,其實(shí)質(zhì)上是主觀概率的貝葉斯理論的擴(kuò)展。其中,基本概率分配、信任函數(shù)及似然函數(shù)等是Dempster-Shafer理論的基本的概念。信度函數(shù)允許人們基于信度使用一個(gè)問(wèn)題的概率來(lái)推導(dǎo)一個(gè)相關(guān)問(wèn)題的概率。這些信度值可能有也可能沒(méi)有概率的數(shù)學(xué)性質(zhì),他們與概率的差異大小將取決于這兩個(gè)問(wèn)題的相關(guān)性。

雖然Dempster-Shafer理論在實(shí)際中得到了一些應(yīng)用,但其自身的不足也是顯而易見(jiàn)的,特別是在組合高沖突證據(jù)時(shí)合成的結(jié)果常常違背直覺(jué)。諸多學(xué)者在這個(gè)問(wèn)題上嘗試努力改進(jìn),但是到目前為止,這一問(wèn)題終究沒(méi)有得到很好的解決。其中具有代表性的是由Kyburg指出的一個(gè)著名的悖論。

某地區(qū)發(fā)生兇殺案,嫌疑人為 a,b,c。有2人向警方提供證據(jù),證據(jù)1:證人e為住在被害人屋子對(duì)面的老婦,稱事發(fā)時(shí)透過(guò)窗戶看見(jiàn)嫌疑人a在兇殺現(xiàn)場(chǎng)。證據(jù)2:證人 f為被害人的鄰居,稱在事發(fā)時(shí)段看見(jiàn)嫌疑人c在兇殺現(xiàn)場(chǎng)。

假設(shè)我們得到如下基本概率指派

則根據(jù)Dempster組合規(guī)則得到

這一結(jié)果表明嫌疑人 b確定為殺人犯。然而,實(shí)際情況是上述證據(jù)同時(shí)認(rèn)為該嫌疑人為兇手的可能性是很小的。顯然,這是一個(gè)悖論。

1.3 模糊集的悖論

眾所周知,模糊集完全依賴于隸屬度函數(shù)?，F(xiàn)在考慮“北京到天津大約100km”。如果“大約100km”理解為模糊概念,則可以構(gòu)造隸屬度函數(shù)

上述隸屬度函數(shù)表示了一個(gè)三角模糊變量(80,100,120)。由此我們得到以下兩個(gè)結(jié)論:

結(jié)論1:北京到天津的距離“恰好為100km”的可能性是1。

結(jié)論2:北京到天津的距離“不是100km”的可能性是1。

然而,根據(jù)常識(shí)知道,北京到天津的距離恰好為100km的可能性是0。另一方面,北京到天津的距離是100km和不是100km的可能性均為1,這個(gè)結(jié)論顯然難以讓人接受。此例說(shuō)明了不精確量“大約100km”并不適合利用可能性測(cè)度來(lái)描述,也說(shuō)明了其不是模糊概念。

為了更好的研究人類系統(tǒng)的不精確現(xiàn)象,清華大學(xué)的劉寶碇教授[8]于2007年建立了不確定理論,并于2010年重新定義了不確定理論,使得該理論更加完善[9-10]。

2 不確定理論

不確定理論從測(cè)度論觀點(diǎn)出發(fā),是具有規(guī)范性、自對(duì)偶性、單調(diào)性、次可加性和乘積測(cè)度公理的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。不確定測(cè)度、不確定變量、不確定分布是不確定理論中3個(gè)基本且重要的概念,其中不確定測(cè)度用來(lái)度量事件發(fā)生的可能性大小,不確定變量用來(lái)描述不確定現(xiàn)象,不確定分布用來(lái)刻畫(huà)不確定變量的取值變化規(guī)律。

不確定理論是公理化數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,是研究主觀不確定性的數(shù)學(xué)工具,目前該理論在理論研究和應(yīng)用研究方面均取得了較大的進(jìn)展。

2.1 不確定測(cè)度和不確定變量

設(shè) Γ是一個(gè)非空集合,稱為論域。L是Γ上的σ-代數(shù),每個(gè)A∈L稱為事件。M{A}是由 L到[0,1] 的集合函數(shù),其用來(lái)表征事件A發(fā)生的可能性大小,劉寶碇教授給[9]出了如下的公理:

公理1(規(guī)范性)M{Γ}=1。

公理3(自對(duì)偶性)對(duì)于任意的 A∈F,有 M{A}+M{Ac}=1。

公理4(次可列可加性)設(shè) Ai∈L,i=1,2,…,那么

定義1 若集合函數(shù)M滿足公理1～4,則稱M是不確定測(cè)度,三元組(Γ,L,M)稱為不確定空間。

公理5設(shè)(Γk,Mk,Lk),k=1,2,…,n是不確定空間。令M=M1×M2×…Mn,則

即對(duì)每個(gè)乘積σ-代數(shù)L=L1×L2×…×Ln上的事件A,有

定義2 由不確定空間(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集的可測(cè)函數(shù) ζ稱為不確定變量,即對(duì)于任意Borel集B,集合{ζ∈B}={γ∈ Γ|ζ(γ)∈B}是一個(gè)事件。

注1:公理3(自對(duì)偶性)保證了不確定理論滿足排中律和矛盾律。

注2:雖然概率測(cè)度滿足公理1～4,但是概率論和不確定理論是互不包含的兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支;事實(shí)上,概率測(cè)度和不確定測(cè)度的乘積測(cè)度是完全不相同的,即不確定測(cè)度滿足下面的乘積測(cè)度公理。

注3:Peng證明了乘積測(cè)度的公理5滿足不確定測(cè)度的公理1～4[11]。

2.2 不確定分布和逆不確定分布

概率論中,以概率密度或分布律刻畫(huà)隨機(jī)變量;模糊集理論中,以隸屬度函數(shù)刻畫(huà)模糊變量。不確定理論中,以不確定分布刻畫(huà)不確定變量。

Peng和Iwamura[12]證明了函數(shù) Φ(x)為不確定分布的充分必要條件,即

定理1[12]一個(gè)函數(shù):R→[0,1] 為不確定分布的充分必要條件是其為單調(diào)遞增函數(shù),除非)≡0或者x)≡1。

文獻(xiàn)[8] 研究了線性、zigzag型、正態(tài)、對(duì)數(shù)正態(tài)等幾種常見(jiàn)的不確定分布,同時(shí)建立了期望值、方差、矩、不確定熵等概念,提出了矩的計(jì)算公式及證明了若干重要不等式,如Markov不等式、Chebyshev不等式、Holder不等式、Minkowski不等式及Jensen不等式等。不確定理論中,Liu定義了不確定變量序列的幾乎必然收斂、依測(cè)度收斂、依分布收斂、依均值收斂及均方收斂等不同的收斂方式,討論了前4種收斂的關(guān)系。另外,You[13]定義了不確定變量序列的幾乎處處一致收斂性,并討論了與幾乎處處收斂,依測(cè)度收斂,依均值收斂和依分布收斂的關(guān)系。

3 不確定統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)學(xué)是用來(lái)分析、處理自然科學(xué)及社會(huì)科學(xué)信息的工具。不確定統(tǒng)計(jì)是清華大學(xué)劉寶碇教授2010年提出的一種新的統(tǒng)計(jì)方法并做出了重要的基礎(chǔ)性工作[10],該方法主要是通過(guò)收集、整理、分析專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù),利用不確定理論建立數(shù)學(xué)模型,為最終做出決策提供建議和意見(jiàn)。

不確定統(tǒng)計(jì)不同于傳統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì),主要體現(xiàn)在:(1)不確定統(tǒng)計(jì)依賴于專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)而非歷史數(shù)據(jù)。(2)不確定統(tǒng)計(jì)的專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)是成對(duì)出現(xiàn)而非單個(gè)的隨機(jī)樣本點(diǎn)形式。(3)在實(shí)際應(yīng)用中,專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)不會(huì)太多,故不確定統(tǒng)計(jì)不依賴大數(shù)定律及中心極限定理。

不確定分布是不確定理論中重要的3個(gè)基本概念之一,如何獲得不確定分布及如何估計(jì)不確定分布中的未知參數(shù)是不確定理論在實(shí)踐中應(yīng)用的根本性問(wèn)題。Liu[10]首先提出了經(jīng)驗(yàn)不確定分布的概念,并建立了最小二乘準(zhǔn)則估計(jì)不確定分布的未知參數(shù);隨后Wang和Peng[14]建立了不確定矩估計(jì)方法估計(jì)不確定分布未知參數(shù),Wang,Gao和Guo[15],Gao[16]分別獨(dú)立建立了Delphi法估計(jì)不確定分布,而關(guān)于不確定統(tǒng)計(jì)分析及應(yīng)用則有待進(jìn)一步研究。

4 不確定金融

傳統(tǒng)的金融、保險(xiǎn)等研究需要借助于概率論;而目前,不確定理論已成功地用于研究不確定金融、保險(xiǎn)、期權(quán)等。2008年,Liu提出了不確定過(guò)程概念,其實(shí)質(zhì)是指標(biāo)為時(shí)間或空間的不確定變量序列;隨后深入研究了不確定更新過(guò)程及創(chuàng)造性地提出了Canonical過(guò)程,并應(yīng)用到不確定微分方程和不確定金融等領(lǐng)域[6]。其中金融模型研究中,Canonical過(guò)程成功地替代了Brownian運(yùn)動(dòng),兩者區(qū)別在于Brownian運(yùn)動(dòng)的幾乎所有樣本軌道連續(xù)但并非Lipschitz連續(xù)函數(shù);而Canonical過(guò)程的幾乎所有樣本軌道為L(zhǎng)ipschitz連續(xù)函數(shù)。這也就意味著B(niǎo)rownian運(yùn)動(dòng)是用來(lái)描述花粉以無(wú)限速度在做不規(guī)則運(yùn)動(dòng),而Canonical過(guò)程描述了花粉以有限速度做不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。

2009年,Liu[17]首先提出了如下由Canonical過(guò)程驅(qū)動(dòng)的股票模型

式中Xt—債權(quán)價(jià)格;Yt—股票價(jià)格;r—無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;e—股票價(jià)格波動(dòng);σ—股票波動(dòng)擴(kuò)散度;Ct—Canonical過(guò)程。

基于模型(3),Liu[17]研究了歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格。

式中fc—?dú)W式期權(quán)價(jià)格,fc=exp(-rs)E[(Ys-K)+] ;K—截止價(jià)格;s—截止時(shí)間。

Chen[18]同時(shí)研究了美式期權(quán)價(jià)格,在美式期權(quán)價(jià)格為時(shí)] ,得到了美式期權(quán)看漲和看跌的價(jià)格

另外,Yao[19]研究了無(wú)套利模型,Liu[10]建立了基本的不確定保險(xiǎn)模型,定義了破產(chǎn)指標(biāo)、破產(chǎn)事件及證明了破產(chǎn)指標(biāo)的具體表達(dá)式。

5 不確定風(fēng)險(xiǎn)理論和可靠性理論[20]

基于不確定理論,Liu于2010年建立了不確定風(fēng)險(xiǎn)分析理論與不確定可靠性分析理論。

風(fēng)險(xiǎn)分析中,風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)是主要概念,定義為損失發(fā)生的不確定測(cè)度,即其中L為損失函數(shù)。

在損失函數(shù)L為嚴(yán)格遞增、嚴(yán)格遞減、部分嚴(yán)格遞增部分嚴(yán)格遞減時(shí),風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo) Risk=α為以下方程的根

其中 Φ-1為不確定變量 ζ的逆分布。

另外,Liu研究了Hazard分布及Boolean系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)分析;對(duì)于串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)壽命,分別進(jìn)行了細(xì)致的討論。

由于可靠性分析和風(fēng)險(xiǎn)分析具有相同的數(shù)學(xué)機(jī)理,Liu同時(shí)研究了不確定可靠性分析,定義了可靠性指標(biāo)為

其中 R{ζ1,ζ2,…,ζn)≥0表示系統(tǒng)正常工作。Liu還討論了串聯(lián)系統(tǒng)和并聯(lián)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo),及與風(fēng)險(xiǎn)分析向?qū)?yīng)的問(wèn)題。

6 結(jié)語(yǔ)

除上述研究之外,不確定理論還細(xì)致研究了不確定規(guī)劃問(wèn)題,在供應(yīng)鏈、庫(kù)存、機(jī)器排序、車輛調(diào)度等方面建立了諸多相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。另外基于不確定理論,建立不確定邏輯理論,提出了不確定推理準(zhǔn)則、不確定推理控制、不確定優(yōu)化控制等領(lǐng)域的基本概念和模型。

作為一門(mén)新的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支,不確定理論的出現(xiàn),馬上得到了國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者的大量關(guān)注,并在人類系統(tǒng)不精確性的理論研究和應(yīng)用研究方面取得了蓬勃發(fā)展,為學(xué)術(shù)研究者開(kāi)創(chuàng)了一片廣泛科學(xué)研究天地。

[1] DEMPSTER A.Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping[J] .The Annals of Mathematical Statistics,1967(38):325-339.

[2] SHAFER G.A mathematical theory of evidence[M] .US:Princeton University Press,1976.

[3] ZADEH L.Fuzzy sets[J] .Information and Control,1965(8):338-353.

[4] ZADEH L.Probability measures of fuzzy events[J] .Journal of Mathematical Analysis and Applications,1968(23):421-427.

[5] ZADEH L.Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility[J] .Fuzzy Sets and Systems,1999(100):9-34.

[6] LIU B.Fuzzy process,hybrid process and uncertain process[J] .Journal of Uncertain Systems,2008(2):3-16.

[7] COHEN J.The mutual effect of two uncertainties[J] .The Durham Research Review,1958(2):215-222.

[8] LIU B.Uncertainty theory[M] .2nd ed.Berlin:Springer-Verlag,2007.

[9] LIU B.Uncertainty theory:a branch ofmathematics for modeling human uncertainty[M] .Berlin:Springer-Verlag,2010.

[10] LIU B.Uncertainty theory[M] .4nd ed.Beijing:Uncertainty Theory Laboratory,2010.

[11] PENG Z.Some properties of product uncertain measure[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/081228.pdf.

[12] PENG Z,IWAMURA K.A sufficient and necessary condition of uncertainty distribution[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/090305.pdf.

[13] YOU C.On the convergence of uncertain sequences[J] .Mathematical and Computer Modelling,2009(49):482-487.

[14] WANG X,PENG Z.Method of moments for estimating uncertainty distribution.[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/100408.pdf.

[15] WANG X,GAO Z,GUO H.Delphi Method for estimating uncertainty distribution.[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/100830.pdf.

[16] GAO J.Determine Uncertainty Distribution via Delphi Method[C] //The Proceedings of the First International Conference on Uncertainty Theory.Urumchi:[s.n.] ,2010:291-297.

[17] LIU B.Some research problems in uncertainty theory[J] .Journal of Uncertain Systems,2009(3):3-10.

[18] CHEN X.American option pricing formula for uncertain financial market[C] //Proceedings of the First International Conference on Uncertainty Theory.Urumchi:[s.n.] ,2010:58-62.

[19] YAO K.A no-arbitrage determinant theorems for uncertain stock model.[C/OL] .[2010-06-22] .http://orsc.edu.cn/online/100903.pdf.

[20] LIU B.Uncertain risk analysis and uncertain reliability analysis[J] .Journal of Uncertain Systems,2010(4):163-170.