編譯:唐可偉 (西南石油大學(xué)研究生院)

審校:李甫 (西南石油大學(xué)研究生院)

重新審視井碰概率

編譯:唐可偉 (西南石油大學(xué)研究生院)

審校:李甫 (西南石油大學(xué)研究生院)

鑒于意外井碰導(dǎo)致的災(zāi)難性的人類和環(huán)境損害,一個(gè)關(guān)于井眼碰撞概率的評(píng)價(jià)提供了一種寶貴的風(fēng)險(xiǎn)管理方法。目前工業(yè)上使用的評(píng)估技術(shù)不少,但都有其局限性。解決問題的一個(gè)合理方法是開始就明確地估計(jì)井碰概率。本文提出了一種方法,以確定所鉆井特定井段與鄰井相交的可能性。通過對(duì)參考井上連續(xù)井段相關(guān)可能性的綜合考慮,可以得到總的碰撞概率。井碰概率的估計(jì)是基于已測(cè)井眼軌跡及測(cè)量不確定性的知識(shí),并以位置協(xié)方矩陣的形式來(lái)表達(dá)。本文研發(fā)出一個(gè)更精確的碰撞概率評(píng)估方法,此方法克服了以往方法的限制。實(shí)例表明, 2口井在相交區(qū)域都是垂直的情況下,此新方法與平行和非平行井眼軌跡的分析結(jié)果相一致。

井碰概率 馬氏距離 數(shù)值積分 概率稀釋

1 介紹

近期的重點(diǎn)是模型的改進(jìn),此模型用于描述測(cè)量的精確性和測(cè)量數(shù)據(jù)的質(zhì)量控制。這些測(cè)量數(shù)據(jù)和合適的誤差模型為評(píng)估碰撞概率提供了基礎(chǔ)。Thorogood等人 (1990年和1991年)、Brooks和Wilson(1996年)、Roper和 Henly(1996年),以及Tsao等人 (1999年),已經(jīng)描述了通過對(duì)二維或三維概率密度函數(shù)積分來(lái)解決問題的方法。必須認(rèn)識(shí)到,井碰概率的數(shù)值估計(jì)不可能比推導(dǎo)它的數(shù)據(jù)更可靠。

2 問題描述

現(xiàn)有的資料包括2口井的測(cè)量數(shù)據(jù)以及與這些數(shù)據(jù)相關(guān)的不確定性,這些數(shù)據(jù)是以測(cè)量誤差模型或位置誤差的協(xié)方差矩陣形式表示的。該測(cè)量不確定性可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方法 (Brooks和 Wilson,1996年;Williamson,2000年;Torkildsen等人,2008年)估計(jì)參考井上的一點(diǎn)和目標(biāo)井上另外一點(diǎn)之間相對(duì)位置的不確定性。而兩點(diǎn)間的相關(guān)不確定性過去常用于評(píng)估井碰總的概率。這種不確定性以一些標(biāo)準(zhǔn)偏差表示,對(duì)某一給定的誤差分布,它們可以轉(zhuǎn)換為概率密度函數(shù)。碰撞概率的建立是通過整合表示參考井和目標(biāo)井中巨大風(fēng)險(xiǎn)的所有點(diǎn)的密度函數(shù)可能性來(lái)實(shí)現(xiàn)的。

3 基本原理

測(cè)點(diǎn)的位置以空間的點(diǎn)來(lái)表示。根據(jù)適當(dāng)模型(一般為最小曲率)在這些點(diǎn)之間進(jìn)行插值,給出了每個(gè)井眼軌跡假定的中線軌跡。如果參考井段的中線在目標(biāo)井井眼軌跡中線的一定范圍內(nèi),就會(huì)發(fā)生碰撞。這個(gè)臨界距離就是2口井半徑之和。因此,可以想象,目標(biāo)井就是一個(gè)半徑等于2口井半徑之和的圓柱體,如果參考井段的中線有可能穿過這個(gè)圓柱體,那么就會(huì)發(fā)生碰撞 (圖1)。通過為目標(biāo)井指定兩個(gè)直徑,并結(jié)合相關(guān)位置不確定性,我們只需要關(guān)注參考井中線上一點(diǎn)的唯一不確定區(qū)域。

圖1 相交井眼軌跡等價(jià)表示

目標(biāo)井的位置與參考井段從何處開始有關(guān),可以用一個(gè)圓柱體表示,其半徑是井半徑之和。當(dāng)沿著參考井段前行觀察時(shí),目標(biāo)井的相對(duì)位置以相反的方向變化。因此,當(dāng)沿著參考井向西移動(dòng)時(shí),目標(biāo)井的相對(duì)位置向東移動(dòng)。于是,提出了這樣的問題:參考井段應(yīng)該從哪個(gè)位置開始才穿過目標(biāo)井?這些位置的建立是通過沿著與參考井段相反軌跡來(lái)投影目標(biāo)井圓筒的。

當(dāng)將所有沿著參考井段的點(diǎn)都應(yīng)用到目標(biāo)井圓筒時(shí),其投影繪制出了一個(gè)體積,它是一個(gè)三維板,其中兩個(gè)相反的面受到目標(biāo)井管道形狀的限制,另外兩個(gè)面由與參考井段相反的形狀確定。而且,其厚度是所有井直徑的總和 (圖2)。在參考井段開始處,與目標(biāo)井相關(guān)位置相鄰的面是一個(gè)凹形圓柱體,而其反面則是一個(gè)凸形圓柱體。如果參考井段的初始位置恰好位于此體積內(nèi),就可能在參考井段內(nèi)發(fā)生碰撞。

圖2 目標(biāo)井相對(duì)位置波及的體積

為了估計(jì)井碰概率,對(duì)所有井使用相對(duì)不確定性,以創(chuàng)建參考點(diǎn)可能性區(qū)域。這個(gè)可能性區(qū)域可被認(rèn)為是一系列同心的橢球表面,每個(gè)面包含的點(diǎn)都與原點(diǎn)具有相同的標(biāo)準(zhǔn)差,得到三維概率密度函數(shù)的輪廓線。輪廓線由以下方程式表示

式中,r是一個(gè)矢量,它定義了相對(duì)于參考井段初始位置的目標(biāo)點(diǎn)的位置;C是目標(biāo)井中原點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)間定義相對(duì)不確定性的位置協(xié)方差矩陣;k是一個(gè)比例因子,它以一些標(biāo)準(zhǔn)差表示距離,也稱作馬氏距離 (圖3)。為了列舉出給定體積中一個(gè)點(diǎn)可能的位置,有必要確定誤差分布。工業(yè)上普遍的做法是利用高斯分布,這里也將這個(gè)高斯分布用到目前的例子中,此方法也適用于誤差分布。誤差分布定義了概率密度函數(shù),它將概率密度與馬氏距離聯(lián)系了起來(lái)。目標(biāo)體積里參考井段開始處的概率可以通過對(duì)體積上三維概率密度函數(shù)積分而建立,這樣得出碰撞概率的近似值。

3.1 基本解決辦法的局限

雖然實(shí)現(xiàn)起來(lái)有些困難,但這一過程還是提供了一種簡(jiǎn)單而又完整的一般三維問題的解決方案。然而,由于在2口井中用到了不變的不確定區(qū)域,積分結(jié)果最多也只是一個(gè)近似值。如果不確定區(qū)域在目的層段上變化不大,那么對(duì)相交來(lái)說結(jié)果是合理的;如果確定2口井是平行的或者是并排的話,就不能采用這種簡(jiǎn)單方法。在平行井的情況下,井碰危險(xiǎn)性的增加完全在于測(cè)點(diǎn)的不確定性,它必須在相對(duì)不確定性中有所變化。如果沒有測(cè)點(diǎn)的不確定性,那么測(cè)量的水平井就的確是平行的,沒有任何碰撞發(fā)生。

圖3 馬氏距離

4 模擬天體動(dòng)力學(xué)

研究油井相交與宇宙飛船碰撞有很多相似的地方。特別是,指出了天體運(yùn)動(dòng)學(xué)中短周期或線性相交與長(zhǎng)周期或非線性相交之間的區(qū)別。短周期或線性相交中衛(wèi)星軌道的關(guān)鍵點(diǎn)假定是直的,而且不確定位置不變;長(zhǎng)周期或非線性相交中必須認(rèn)為軌道是彎曲的或者不確定位置是變量?？偟膩?lái)說,非線性問題可以通過對(duì)三維概率密度函數(shù)積分來(lái)解決,而線性問題則可以降為二維問題。短周期的宇宙飛船的相遇和近似于常量的相對(duì)位置不確定性的直的井眼軌跡的相交,二者之間非常相似;同樣,長(zhǎng)周期宇宙飛船的相遇和彎曲井或變化的相對(duì)不確定性的井眼軌跡的相交很相似。

航空與油田上的應(yīng)用最主要的區(qū)別是,參考井不僅僅要避免與目標(biāo)井中的一點(diǎn)相交,它必須得避免與整個(gè)目標(biāo)井井眼軌跡相交。這就意味著,幾乎所有的油井問題在相交區(qū)域都將涉及到彎曲的井眼軌跡或變化的位置誤差的協(xié)方差矩陣,因此必須將它們看做是需要三維積分來(lái)解決的非線性問題。

4.1 轉(zhuǎn)換為馬氏空間

目標(biāo)井的目的層段包括了一些被認(rèn)為碰撞概率很高的點(diǎn),這通常包括參考井段中6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差以內(nèi)的點(diǎn)。對(duì)于參考井目標(biāo)點(diǎn)和與此相關(guān)的相對(duì)確定區(qū)域來(lái)說,目標(biāo)井中每個(gè)已測(cè)點(diǎn)都是可知的。對(duì)于可能性區(qū)域來(lái)說,點(diǎn)的位置才是重要的,而不在于它在空間的什么地方。當(dāng)移動(dòng)到2口井中另外一個(gè)點(diǎn)時(shí),相對(duì)不確定性可能會(huì)有所變化,因此相交的位置也可能會(huì)改變。如果能夠?qū)⒛繕?biāo)井中點(diǎn)的位置標(biāo)準(zhǔn)化,以使它們相對(duì)于變化的可能性區(qū)域是固定的,那么通過一個(gè)包括許多點(diǎn)的不確定體積就可以表示目標(biāo)井,所有的這些都被繪制在同樣的可能性區(qū)域里。位置的標(biāo)準(zhǔn)化是通過將橢圓體區(qū)域減小為球體區(qū)域來(lái)實(shí)現(xiàn)的,其結(jié)果圖圖2相似,但在空間上它是用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量而不是單位長(zhǎng)度。這個(gè)空間就是馬氏空間,其中從原點(diǎn)到任何點(diǎn)的距離就是馬氏距離k,相當(dāng)于從原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)量。

轉(zhuǎn)換為馬氏空間是通過重新調(diào)整橢圓體區(qū)域使主軸相等 (圖4)實(shí)現(xiàn)的。這個(gè)過程對(duì)位置協(xié)方差矩陣C進(jìn)行波譜分解,分解成一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣V和一個(gè)縮放矩陣E,這里體積V是C的特征矢量,E是一個(gè)包含特征向量C的對(duì)角矩陣。

而且在正規(guī)空間A點(diǎn)與向量r相一致,并由與馬氏空間的Tr一致的點(diǎn)表示,這里的變換矩陣 T由公式給出。

T是真實(shí)空間和馬氏空間之間的轉(zhuǎn)換矩陣。這是一個(gè)仿射變換,在其變換下直線被保留,但角度可能改變,圓管表示的目標(biāo)井可能會(huì)變成橢圓。

圖4 轉(zhuǎn)換為馬氏空間

4.2 數(shù)值積分

概率密度與體積中表示目標(biāo)井的每個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。目前常見的做法是假定高斯誤差分布,盡管人們認(rèn)識(shí)到這未必是最佳的。

對(duì)與目標(biāo)井一致的整個(gè)體積的概率密度函數(shù)進(jìn)行積分得到了一個(gè)很有用的結(jié)果,這是目標(biāo)點(diǎn)的概率,這種情況下參考井段的原點(diǎn)可能與目標(biāo)井相一致。在參考井中,更多的還是關(guān)心鉆前特定井段井碰概率的增加。尤其是當(dāng)鉆進(jìn)時(shí),參考井段就是連接管道,或是立管到下個(gè)測(cè)點(diǎn)的距離。當(dāng)規(guī)劃好了一口井后,也許將用到更長(zhǎng)的井段,以包含所有可能的碰撞。這樣,參考井段可能包括沿參考井的所有點(diǎn),這些點(diǎn)在6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)達(dá)到目標(biāo)井的測(cè)量位置。

因此,這個(gè)過程必須遵循沿參考井段的一系列點(diǎn)。在馬氏空間中,對(duì)于每個(gè)點(diǎn),目標(biāo)井中的目的層段是以體積表示的。該體積中加入了另外的體積元素,以前的步驟中沿參考井段并沒有這些元素,這意味著可能引起參考井段當(dāng)前階段潛在井碰的發(fā)生。在當(dāng)前階段,對(duì)這些新元素的概率密度函數(shù)的積分表明井碰發(fā)生可能性的增加。除目標(biāo)井初始位置以外,圖2中增加的陰影體積就是目標(biāo)體積,其在馬氏空間中繪出。

對(duì)所增加體積進(jìn)行評(píng)估最方便的做法就是將其分成體積元素。沿參考井每個(gè)步驟完成之后,就會(huì)增加一些新的元素。第一個(gè)方面,這些元素可能近似于六面體,與沿參考井的距離一樣長(zhǎng);第二方面表示目標(biāo)井的步長(zhǎng);第三方面表示井直徑之和。如果表示沿參考井段步長(zhǎng)的尺寸被與目標(biāo)井正交的它的投影替代的話,體積元素可以處理成大致正交。當(dāng)保持這些元素大致等量綱時(shí),將允許使用沿著參考井段更長(zhǎng)的步長(zhǎng)。井碰概率可以計(jì)算為每個(gè)新元素與形心上概率密度乘積的總和。保證元素大致等量綱對(duì)計(jì)算效率有利,因此沿著目標(biāo)井的步長(zhǎng)也許可以與井徑之和大致相等。有時(shí)候需要將體積元素進(jìn)一步細(xì)分,Alfano建議尺寸可以小到標(biāo)準(zhǔn)差的1%,以得到精確的結(jié)果。通過在最后一步包括半管表示目標(biāo)井,而在第一步去除半管的方法也可以提高結(jié)果的精度。這些橢圓半管可以通過多面體體積元素近似得到。

5 實(shí)例

上述方法可以解決大多數(shù)井眼軌跡相碰的問題。文中用了兩個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說明該方法適用于一系列廣泛的問題,其得到的結(jié)果也很容易理解。解析表達(dá)式也來(lái)自通行方法,以解決這些特殊情況。

5.1 非平行直井,不確定性恒定

如果沿著目的層段的相對(duì)不確定性變化較小,就不需要將其轉(zhuǎn)換到馬氏空間,可以直接在真實(shí)空間積分。如果在目的層段的目標(biāo)井垂直延長(zhǎng)超過6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差,就可以認(rèn)為在每個(gè)方向上無(wú)限延伸,而對(duì)結(jié)果沒有明顯的影響。沿著目標(biāo)井上的積分得到了統(tǒng)一,井半徑可能被賦值給參考井段并投影到正交于目標(biāo)井的平面 (圖5)。在此平面上,對(duì)二維概率密度積分的面積是一個(gè)圓角矩形,其長(zhǎng)等于參考井段,寬等于井直徑之和。此井段內(nèi)井碰概率是面積上二維概率密度函數(shù)的積分。如果參考井段足夠長(zhǎng)和直,那么問題就可以變成一維;并且,如果假定為高斯誤差,則井碰概率是對(duì)高斯概率密度函數(shù)的積分:

式中無(wú)量綱井距和半徑分別是S0和R0。S是馬氏空間中無(wú)因次距離;R是馬氏00空間中無(wú)因次的半徑之和;S是參考井和目標(biāo)井點(diǎn)之間的距離,σ是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差下的相對(duì)位置不確定性,二者都是在與2口井正交的方向上測(cè)定的。Williamson(1998)、McNair(2005)和 Poedjono (2007)等人提出的方程 (4)是更精確的表達(dá)式。

圖5 與目標(biāo)井正交平面上的參考井段

5.2 并排直井,不確定性變化

第二個(gè)簡(jiǎn)單的例子是并排的直平行井,這樣的情況在直井的近地表處產(chǎn)生。為了提供一個(gè)有用的例子,有必要沿著井眼軌跡改變相對(duì)不確定性。

此例中,假定測(cè)量誤差是方位對(duì)稱的,這樣在馬氏空間中目標(biāo)井看起來(lái)像個(gè)圓管。由于在重大危險(xiǎn)井段目標(biāo)井是直的,可以認(rèn)為它是無(wú)限延伸的,則三維表示可以變成與目標(biāo)井正交的二維表示,它看起來(lái)像一個(gè)圓。隨著沿參考井深度和相對(duì)不確定性的增加,當(dāng)它靠近初始位置時(shí),目標(biāo)井的投影似乎在縮小。這是因?yàn)橹睆胶途嚯x在真實(shí)空間中保持不變,但是測(cè)量單位 (標(biāo)準(zhǔn)差或位置不確定性)變大了。如果所有測(cè)量誤差都是對(duì)稱的,不確定性將與深度嚴(yán)格成正比。最后,取沿參考井足夠長(zhǎng)的井段,目標(biāo)井映射的區(qū)域大致為一個(gè)扇形,張角為2sin-1[(rr+ro)/S],式中rr和ro分別是參考井和目標(biāo)井的半徑,S是名義中線距離。

這種解決方法可能出人意料,但它是基于準(zhǔn)確測(cè)量的。從直觀來(lái)說它是合理的,因?yàn)橐鸭俣ㄋ袦y(cè)量誤差都是對(duì)稱的。因此,雖然它們與所測(cè)量的矢量方向可能并不完全一致,但所有可能的井眼軌跡都是直線。朝向目標(biāo)井所在區(qū)域的井眼軌跡的方位角最終將與井眼軌跡碰撞。井眼軌跡的方位角朝向的可能性只是圓的很小的一部分,而圓是名義距離的井直徑之和所形成的,由方程式 (5)給出。雖然這個(gè)例子給出了一個(gè)很有用的確認(rèn)方法,但它在現(xiàn)實(shí)中卻具有局限性,因?yàn)閷?shí)際問題中將會(huì)強(qiáng)制給出一個(gè)參考井段的最大深度。

6 概率稀釋法

有時(shí)計(jì)算的井碰概率可能會(huì)因測(cè)量準(zhǔn)確度很差而使得數(shù)值估計(jì)結(jié)果失常。Thorogood(1990)和航空領(lǐng)域的Alfano(2003、2006a、2008)已經(jīng)提到過這個(gè)問題。以方程式 (4)舉例,假定2口井相交的測(cè)量距離為20 m,井半徑之和為0.3 m。如果相對(duì)不確定性的標(biāo)準(zhǔn)差是10 m,據(jù)計(jì)算井碰概率為3.2×10-3;當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差是20 m時(shí)井碰概率為7.×10-3,但是如果標(biāo)準(zhǔn)差為50 m時(shí),井碰概率又降為4.4×10-3。這個(gè)現(xiàn)象被稱為“概率稀釋”,由Alfano(2003、2008)提出。他指出,當(dāng)估計(jì)的概率落入概率稀釋區(qū)域內(nèi)時(shí),此概率就不能使用,因?yàn)闇y(cè)量質(zhì)量不足以提供一個(gè)有意義的井碰概率的估計(jì);同時(shí)他也建議到,應(yīng)該盡可能圍繞在產(chǎn)生最大井碰概率的地方設(shè)定不確定性進(jìn)行工作。

7 結(jié)論

(1)一般情況下,沿參考井層段和已有目標(biāo)井之間的井碰概率可以通過對(duì)與誤差分布一致的三維概率密度函數(shù)進(jìn)行積分得到。使用不變或變化的位置不確定性,這種方法可以應(yīng)用于很多問題,包括直的或彎曲的、平行或非平行的井眼軌跡。

(2)體積積分表示的空間由與原點(diǎn)相關(guān)的目標(biāo)井中的相對(duì)位置繪制出,此原點(diǎn)在參考井中沿目的層段前行。

(3)受三維限制的體積積分直接與沿參考井目的層段的反向軌跡有關(guān),與重大危險(xiǎn)區(qū)域內(nèi) (超過6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差)的目標(biāo)井井眼軌跡有關(guān),還與在方向上和其他兩個(gè)方向正交的井徑之和有關(guān)。

(4)考慮到沿井段相對(duì)不確定性的變化,應(yīng)在馬氏空間進(jìn)行積分。真實(shí)空間和馬氏空間的轉(zhuǎn)換矩陣來(lái)源于2口井中點(diǎn)之間相對(duì)不確定性的協(xié)方差矩陣。

(5)數(shù)值積分可通過將目的體積打散成元素,再將所有概率密度函數(shù)值加起來(lái)而實(shí)現(xiàn)。這些概率密度函數(shù)值對(duì)應(yīng)于元素體積加權(quán)的元素形心。

(6)如果在重大風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域內(nèi)目標(biāo)井是直的,可通過與目標(biāo)井正交的二維空間進(jìn)行積分。

(7)已經(jīng)將簡(jiǎn)化的代數(shù)表達(dá)用于描述2口直的平行井的井碰概率,這2口井主要使用系統(tǒng)高斯失調(diào)誤差進(jìn)行測(cè)量。

資料來(lái)源于美國(guó)《SPE 116155》

10.3969/j.issn.1002-641X.2010.9.013

2009-04-20)