編譯:楊菁華 王奇 (西安石油大學石油工程學院)

審校:王青青 (西安石油大學石油工程學院)

用馬爾可夫鏈的蒙特卡洛方法更新及預測連續(xù)油藏模擬模型

編譯:楊菁華 王奇 (西安石油大學石油工程學院)

審校:王青青 (西安石油大學石油工程學院)

大多數(shù)油藏模擬研究都局限于靜態(tài)范疇,因時間和預算限制,未知參數(shù)明顯減少,這容易導致低估預測的不確定性或作出不明智的決策。馬爾可夫鏈的蒙特卡洛(MCMC)方法已被用于靜態(tài)研究以對預測參數(shù)空間的不確定性進行嚴格的量化考察。但這些方法在長期性和系列穩(wěn)定性方面存在局限。文中將MCMC應用于實時油藏建模。較之傳統(tǒng)方法,MCMC方法在某一特殊時間點上應用更少的模型來實現(xiàn)合理的概率預測,它也提供了一種隨時校準不確定性預測的機制。

連續(xù)油藏模擬 馬爾可夫鏈蒙特卡洛 概率預測 不確定性量化

1 背景

1.1 不確定性量化技術(shù)

對產(chǎn)量預測中的不確定性進行量化完全依賴于歷史擬合。進行歷史擬合包含三個主要步驟:第一,根據(jù)描述油藏幾何與流動特性的整套參數(shù)來定義油藏;第二,根據(jù)預估的概率分布對油藏未知參數(shù)進行賦值;第三,從預先的分配油藏模型可作為實際模擬例子,并在目標函數(shù)中量化模擬結(jié)果和觀察數(shù)據(jù)的差異。許多方法用于尋求合理的模型,某些歷史擬合的技術(shù)——梯度法技術(shù),它們的目標就是最優(yōu)化,即模擬結(jié)果最符合觀測結(jié)果的模型就是所需要的模型。用梯度法進行的不確定性量化也許還不是最完美的方法,因為它只在目標函數(shù)的一個或多個極疏區(qū)的相鄰區(qū)取樣。MCMC方法已廣泛應用于從一個復雜的分布函數(shù)中取樣,特別是當不知道函數(shù)的精確形式的時候。

在油藏模型研究中,MCMC技術(shù)用于研究貝葉斯推斷的后驗分布。最后分布只不過產(chǎn)生于一套案例中油藏模型所用的樣本。首先,一個隨機模型取樣于一個先驗分布的樣本,這是馬爾可夫鏈的出發(fā)點。其次,第二個模型被隨機選擇但受限且關(guān)聯(lián)于馬爾可夫鏈中已存在的前一個模型。當這個馬爾可夫鏈足夠長后,可以用此鏈中的模型產(chǎn)生后驗分布。生成未知分布的另一種相關(guān)方法叫作遺傳算法(GAs),它有多個相關(guān)的應用軟件。遺傳算法是基于控制自然界遺傳基因規(guī)則、類別涉及面廣的一類最優(yōu)化算法。

在遺傳算法中的一個稱為“繁殖”的過程中,特種油藏模型的子模型產(chǎn)生于先前運行的模型混合參數(shù)值。最后應用所有的子模型生成一種分布。較之GAs,MCMC方法在統(tǒng)計上更嚴格。MCMC也被當作是遺傳算法的一個類型,因為下一個模型依賴于其前一個模型,這在GAs就是其母模型。

1.2 實時數(shù)據(jù)與綜合最小方差線性遞推估算濾波器

綜合最小方差線性遞推估算濾波器 (卡爾曼濾波器)技術(shù)廣泛應用于天氣預報,近來應用于石油工程以進行概率預測?？柭鼮V波器是一種蒙特卡洛手段,是一種通過連續(xù)模型校正而進行不確定性量化的技術(shù)。較之傳統(tǒng)的歷史擬合中進行同步數(shù)據(jù)同化,EnKF(綜合卡爾曼濾波器)要順序進行。EnKF從受靜態(tài)數(shù)據(jù) (如巖心、測井及構(gòu)造資料)約束的整體油藏模型開始運行。當數(shù)據(jù)可用時, EnKF用來自于綜合模型的靜態(tài)信息和模型預測數(shù)據(jù)更新每個模型的實現(xiàn)。因此,EnKF生成一套受生產(chǎn)歷史約束的擬模型實現(xiàn),而且從理論上講,它應該尊重先前的靜態(tài)或地質(zhì)信息。然而,由于受依賴于樣本數(shù)量或模型實現(xiàn)的所有統(tǒng)計測量中固有的雜波影響,對于小的整體規(guī)模,EnKF更新能導致地質(zhì)不協(xié)調(diào)實現(xiàn)。因此,如果最終的模型實現(xiàn)尊重歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù),那么模型可能就不符合先前的地質(zhì)信息。在EnKF過程中使用大的整體規(guī)?？梢詼p少運行的困難,但對于油田規(guī)模計算費用可能比較昂貴。EnKF仍是為達到歷史擬合而進行積極研究的主題,并且該技術(shù)正致力于解決運行中的難題。

2 連續(xù)模擬過程

用連續(xù)MCMC方法進行歷史擬合以及生成概率預測需要幾個部分相結(jié)合:首先,不確定性油藏的參數(shù)以及先驗分布必須是確定的。其次,既然將來的油藏動態(tài)的不確定性通常要通過一套油藏模型的模擬動態(tài)來評估,那么必須有在參數(shù)空間取樣以及生成油藏模型的方法。MCMC方法在這里被用來探究不確定性參數(shù)空間,并自動生成運行模擬的編碼。針對每一示例模型,隨著歷史擬合的進行,預測也一并進行,同時運行結(jié)果也被存儲起來。在連續(xù)的歷史擬合過程中,油田現(xiàn)場的新數(shù)據(jù)也一直被加入目標函數(shù)中。被更新的目標函數(shù)致力于后來的模擬運行。最后,各個運行結(jié)果被合并入概率預測。

2.1 參數(shù)化

在作任何模擬之前都必須首先決定考慮哪些不確定性參數(shù)。一旦確定了相關(guān)的參數(shù),就要指定先驗分布 (這里通常是連續(xù)的)以在數(shù)量上描述參數(shù)的不確定性。正確的分布類型通常是建立在油藏特征數(shù)據(jù)上的。后期的分布就在貝葉斯框架內(nèi)定義,而先前的分布根據(jù)觀測的動態(tài)數(shù)據(jù)作出修正,表示如下:

式中dobs——從油田現(xiàn)場上觀測的動態(tài)數(shù)據(jù),如含水率;

m——不確定性參數(shù);

P(m)——不確定性參數(shù)的先驗概率分布;

P(dobs|m)——與觀測數(shù)據(jù)有關(guān)的似然函數(shù);

P(m|dobs)——后期的分布函數(shù)。

如果假設先驗模型和數(shù)據(jù)誤差服從正態(tài)分布,那么這里的后驗分布P(m|dobs)就成為如下形式(Howard,2005):

式中g(shù)(m)——符合不確定性參數(shù)的先驗概率分布m的模擬油藏響應 (曲線);

Cm——參數(shù)協(xié)方差;CD——資料協(xié)方差。

2.2 目標函數(shù)

目標函數(shù)是從數(shù)量上評估一個獨立模型再現(xiàn)油田現(xiàn)場觀測數(shù)據(jù)的滿意程度的函數(shù)。這一項被定義為如下后驗分布函數(shù)的一部分:

在 (3)式中,(m-μ)T(m-μ)是先驗項;[g(m)-dobs]TC-1D[g(m)-dobs]是似然項;μ表示先驗平均值。目標函數(shù)的結(jié)果就是先驗信息與觀測信息的結(jié)合,是一個在貝葉斯框架內(nèi)后驗分布結(jié)構(gòu)的推論。

2.3 Metropolis-Hasting MCMC算法

該MCMC方法的主要目標是構(gòu)造一個平穩(wěn)分布與后驗分布相匹配的馬爾科夫鏈。這種后驗分布典型地定義在多維參數(shù)空間上并常有多路系統(tǒng)式。這里所使用的 Metropolis-Hasting MCMC方法(Hastings,1970)常被用來從復雜后驗分布中采樣,其隨機步進M-H采樣過程如下:

(1)從先驗分布中隨機采樣一套參數(shù),表示為;

(2)從狀態(tài)ti時刻到ti+1,mti+1=mti+σ ε,其中,ε是一個標準的正態(tài)隨機變量;σ是一個比例因子;

(4)從0～1間的均勻分布中隨機取一個數(shù)y。如果y≤R,則接受鏈中的mti+1;否則又將mti放入鏈中;

(5)回到第 (2)步。

2.4 連續(xù)數(shù)據(jù)的同化作用

在連續(xù)模擬過程中的不同時間點上,油田現(xiàn)場新數(shù)據(jù)就顯得很有用了。由于通常會設想油田現(xiàn)場的信息越豐富則導致預測和不確定性評估的效果就越好,因此盡快在模擬過程中引入新數(shù)據(jù)是有利的。當更多的數(shù)據(jù)加入,則 (3)式中將包括更多的觀測及模擬數(shù)據(jù)點。這樣,觀測數(shù)據(jù)的限定不符合目標函數(shù)中相關(guān)項的狀況就將隨著時間的推移而改變。盡管持續(xù)變化的目標函數(shù)在統(tǒng)計上是不嚴格的,但可以假設在這種違規(guī)情況下能產(chǎn)生合理的概率預測。

2.5 概率預測

模擬過程的最后一步是將為單獨的馬爾可夫鏈樣本所做的生產(chǎn)預測合并入概率預測中。在連續(xù)的MCMC過程中,通過使用足夠多的最新采樣模型可在任何時候生成概率預測。要么用少量的模型以使改變目標函數(shù)的影響最小,要么用大量的模型以使獲取可代表后驗分布的平穩(wěn)系列分布的機會最大,這二者之間需要尋求一個可以接受的平衡。

3 PUNQ-S3油藏實例研究

PUNQ-S3人造油藏作為在生產(chǎn)預測中量化不確定性的測試實例已應用了很多次。PUNQ-S3油藏模型是一個基于實際油田的5層3相人造油藏(Bos,1999)。該模型包括13 300(19×28×25)個網(wǎng)格塊,其中1761個網(wǎng)格塊起作用。油藏被東部和南部的斷層所限制并與西和北邊相當厚的含水層有關(guān)系。帶井位的結(jié)構(gòu)如圖1所示,圖中有一個小氣頂在中央并以紅色顯示,6口生產(chǎn)井表示為黑色的圓點。石油行業(yè)和學術(shù)理論上的幾個合作伙伴用不同的方法來檢驗歷史擬合與不確定性量化技術(shù)。這個 PUNQ項目的目標就是確立一種方法——可以通過適當方式將油藏模型、油藏參數(shù)、油井觀察結(jié)果的不確定性與生產(chǎn)預測的不確定性結(jié)合起來。

圖1 PUNQ人造油藏結(jié)構(gòu)圖

用來確定不確定性參數(shù)及指定先驗分布的過程與傳統(tǒng)上模擬研究中評估輸入不確定性時所做的工作是一致的。在PUNQ-S3模型中,假設孔隙度呈正態(tài)分布,而滲透率呈對數(shù)正態(tài)分布。另外,研究中的不確定性參數(shù)不直接使用孔隙度和滲透率值而是孔隙度和滲透率的乘積,在運行模擬過程中,這些乘子應用于孔隙度和滲透率底圖。這樣做的效果與直接使用孔隙度和滲透率值的效果相同,但是這種方法簡化了實施過程。對每一層使用統(tǒng)一的屬性值繪制底圖?；贐arker 2001年提供的平均孔隙度常量值,垂向和縱向滲透率通過 (4)、 (5)式(Gu and Oliver,2004)計算得到。表1列出了底圖中使用的平均孔隙度和滲透率值。

式中,kv表示垂向滲透率;kh表示橫向滲透率。

用每層6個同源區(qū)對PUNQ-S3模型進行參數(shù)化。另外,通過分裂油藏的方式將各區(qū)視為相互獨立的區(qū)域,這一點是基于實時地質(zhì)描述的,指示油藏廣泛分布著東南走向的優(yōu)質(zhì)夾層 (Imperial College,2007)。這樣,在先驗分布中,5層6區(qū)3個屬性 (孔隙度、垂向滲透率和橫向滲透率)就產(chǎn)生總共90個未確定的乘子?？紫抖瘸俗颖恢付ǚ闹兄禐?、標準偏差為0.3的正態(tài)分布 (Barker et al,2001)。基于 (4)、(5)式,垂向和橫向滲透率乘子被指定服從中值為1、標準偏差為1.35的對數(shù)正態(tài)分布。為防止出現(xiàn)極端和不實際的滲透率值,此乘子分布被冠以上不過4而下不過0的限制。同樣,孔隙度范圍在0～2.28。

表1 PUNQ-S3油藏每層的平均孔隙度、滲透率值

3.1 目標函數(shù)

由于在研究中確定的不確定性參數(shù)是孔隙度和滲透率,目標函數(shù)變?yōu)?

式中,X代表不確定的乘子。

在實驗過程中,在第5、6、7、8、9年初順序加入歷史資料。因此,當加入新數(shù)據(jù)時,目標函數(shù)中的觀測資料值的數(shù)量成倍數(shù)增加。

3.2 參數(shù)空間研究

在連續(xù)歷史模擬過程中,模擬運行過程是與歷時8.04年的觀測資料進行擬合。進行的預測是16.5年的生產(chǎn)經(jīng)歷。PUNQ-S3模型連續(xù)模擬開始于第4.5年,持續(xù)到第9年底,并作出16.5年的預測。在第一個半年 (從第4.5年到第5年),用MCMC采樣方法的模擬中有4 500個模型作為樣品,并且在其余的年份里每年樣本模型數(shù)為9 000,最后模擬樣品總數(shù)是49 500。所有這些都假設9 000個模型的運行都發(fā)生在一年中的實際時間,即每小時運行一個模型,這不是今天石油行業(yè)中用于油田模擬的非典型的運行頻率。圖2顯示模擬運行的累積次數(shù)與油藏生產(chǎn)時期的對比。包括在目標函數(shù)計算中的額外數(shù)據(jù)也導致目標函數(shù)更大且引起目標函數(shù)曲線中太多的數(shù)值起落跳躍 (圖3)。

3.3 預測

一個獨立的預測是與每一次歷史擬合一起運行。在第5、6、7、8、9年和第10年,利用在鏈中可用的樣品模型在相應的時間進行概率預測。通過過去一年 (或第5年中的半年)的模擬運行可以生成這些概率預測,這些概率預測的累積分布一起顯示在圖4中。

圖2 連續(xù)測試中模型運行數(shù)與油藏生產(chǎn)各時期的關(guān)系曲線

圖3 目標函數(shù)與連續(xù)實例中MCMC鏈模型的對應關(guān)系

圖4 累積分布函數(shù)的比較

3.4 不確定性估計的校準

從圖5中可以看出,前3個預測沒能反映真實情形,在4.5～5年間偏離明顯。因此,在前幾年里不確定性明顯淡化了,這可能歸因于先驗分布中對不確定性的低估,或是對觀測資料誤差的低估。即使沒有大量的可用動態(tài)資料,人們也總是要去量化不確定性。為了增加不確定性,可以在先驗分布或觀測資料或兩者中使用更大的標準差。為了克服這些缺點,增大了先驗乘子的標準差。滲透率乘子標準差從1.35增大到20,而孔隙度乘子標準差從0.3增大到0.5。伴隨著標準差的增大,先前的后驗分布被重新建立,直到它們在本質(zhì)上支持所有繼發(fā)的后驗分布。

圖5 連續(xù)實例預測與PUNG油藏分布的預測值的對比

4 結(jié)論

MCMC方法是一種應用于歷史擬合與不確定性量化的強有力工具。通過對油藏的歷史擬合及其整個生命周期的連續(xù)預測,隨著時間的推移和觀測資料的增加,預測不確定性范圍逐漸變小。較之MCMC方法傳統(tǒng)上應用于過去一時間上的模擬研究,連續(xù)MCMC方法可用很少的模型在特別的時間點上進行合理的概率預測,這是因為連續(xù)方法得益于最新觀測資料同化前的模型運行。在油藏的長期生產(chǎn)中持續(xù)建?？煽紤]以下方面:在參數(shù)化過程中獲得更多的不確定性參數(shù),更多的樣本以及由此造成的參數(shù)空間大得多的片斷取樣。這應該最終導致更可靠的概率預測。

連續(xù)的模擬方法也提供一種從始至終的不確定性估計校準機制。如果觀測到后驗分布除了變窄以外始終發(fā)生的跳躍起伏,那么可以放大先驗分布中的標準差或者增加觀測資料以增加不確定性。應該采取調(diào)整措施直到繼發(fā)的后驗分布與所有先前的分布相一致。

資料來源于美國《SPE 119197》

10.3969/j.issn.1002-641X.2010.6.003

2009-03-23)