姜小磊

(華北電力大學(xué)(保定)計(jì)算機(jī)系,河北保定071003)

0 引言

一個(gè)符號(hào)函數(shù)sgn(t)通過連續(xù)時(shí)間傅里葉變換CTFT后可得到

不過式(1)只給出了sgn(t)的傅里葉變換在ω≠0時(shí)的取值,多數(shù)教材對(duì)此并不作解釋。如果按照廣義函數(shù)的觀點(diǎn)來看待2/jω,那么有意義的不是2/jω在每個(gè)頻率ω處的取值,而是2/jω對(duì)每個(gè)試驗(yàn)函數(shù) (ω)的效果,即因?yàn)椴⒉灰蕾囉?/jω在個(gè)別點(diǎn)處的取值,所以討論sgn(t)傅里葉變換在ω=0處的取值并沒有意義。不過這樣來理解sgn(t)的傅里葉變換會(huì)遇到一個(gè)問題:由于,所以不論試驗(yàn)函數(shù) (ω)的分析性質(zhì)多么良好,只要 (0)≠0,則積分就會(huì)發(fā)散。我們?nèi)菀紫氲?這個(gè)問題可以通過取Cauchy主值來解決,即可作如下定義:

事實(shí)上,當(dāng)把一個(gè)幾乎在所有點(diǎn)處都有定義的普通函數(shù)f(ω)視作廣義函數(shù)時(shí),它對(duì)任意試驗(yàn)函數(shù)(ω)賦予的值并不一定是這樣的形式。之所以經(jīng)常用來代表f{ },是因?yàn)榉汉痜{ }要滿足一些條件(例如線性性),而這些條件在這種特殊形式的f{ }上體現(xiàn)得很充分。如果不再嚴(yán)格按照這種形式定義f{ },那么就可以避免在原點(diǎn)處的奇性,從而能夠解決上面的問題。

下面先敘述廣義函數(shù)1/tm的定義,然后以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出sgn(t)的傅里葉變換。需要注意的是,本文的目的是對(duì)符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換給出一種易于為工科學(xué)生所接受的解釋,所以下面的推導(dǎo)只是形式上的,不具有數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性。

1 廣義函數(shù)t-m

為了避免在原點(diǎn)處的奇性[1],可以用下式來定義1/t。

顯然,式(3)的右邊相對(duì)于 (t)仍然是線性的。容易看出,式(3)的右邊并不依賴于A。令A(yù)※+∞可得[2]

如果令A(yù)※0+,則可得

這就是前面所述的式(2)。

1/tm(m>1)的定義可由式(3)推廣得到

和式(3)一樣,式(6)的右邊相對(duì)于 (t)仍然是線性的。而且,式(6)的右邊不依賴于A。令A(yù)※+∞可得

如果令A(yù)※0+,則可得

利用文獻(xiàn)[3]的結(jié)果,可化簡(jiǎn)得到

這和沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義是一致的,即在形式上應(yīng)用分部積分。

2 符號(hào)函數(shù)sgn(t)的傅里葉變換

因?yàn)橄率匠闪?

所以只需導(dǎo)出對(duì)任意試驗(yàn)函數(shù) (ω),都有

由Riemann-Lebesgue引理,式(12)右邊第2項(xiàng)和第5項(xiàng)當(dāng)時(shí)趨于零。下面單獨(dú)考慮式(12)右邊第3項(xiàng):

同樣由Riemann-Lebesgue引理,式(13)右邊第2項(xiàng)當(dāng)時(shí)趨于零,式(13)右邊第3項(xiàng)中的被積函數(shù)為奇函數(shù),于是為零。綜上可得

再由式(3)即得式(1)。這樣sgn(t)的傅里葉變換2/jω應(yīng)該按式(3)理解為廣義函數(shù)(式(4)和式(5)都和式(3)等價(jià),但有時(shí)使用起來更方便)。注意,不能直接對(duì)式(11)應(yīng)用Riemann-Lebesgue引理,因?yàn)?(ω)/ω在上并非絕對(duì)可積。

3 2/jω的傅里葉反變換

我們考慮下式:

如果不把上式中的1/ω看作由式(3)所定義的廣義函數(shù),那么就會(huì)遇到積分發(fā)散的問題。由式(4)可得

其中,利用了(cosω t-1)/ω是ω的奇函數(shù)。如果利用式(5),則同樣可得

作為廣義函數(shù)1/ω2的例子,下面考慮|t|的傅里葉變換,先推導(dǎo)正變換。

由前面已導(dǎo)出的式(11)即得

如果不把上式中1/ω2看作由式(6)所定義的廣義函數(shù),那么就會(huì)遇到積分發(fā)散的問題,即使取Cauchy主值也無法克服。類似地,對(duì)于其他涉及到負(fù)整數(shù)次冪函數(shù)的情況,例如階躍函數(shù)的傅里葉變換也應(yīng)像上面這樣來理解。

4 結(jié)語

在“信號(hào)與系統(tǒng)”課程中,沖激函數(shù)等奇異函數(shù)是最典型的廣義函數(shù),即由其作用到其他函數(shù)上產(chǎn)生的效果來定義,而不是像普通函數(shù)那樣由每個(gè)點(diǎn)處的取值來定義。與此相對(duì)應(yīng),符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換提供了這樣的例子:雖然其在幾乎所有點(diǎn)處都有定義,但也需要在廣義函數(shù)的意義下來理解。為了去除在原點(diǎn)的奇性,在定義這類負(fù)整數(shù)次冪函數(shù)作用到其他函數(shù)上產(chǎn)生的效果時(shí)需要對(duì)積分式作一點(diǎn)修正。明白了這些,學(xué)生在看到這類信號(hào)或者信號(hào)的傅里葉變換時(shí)就會(huì)心中有數(shù),避免出現(xiàn)不應(yīng)有的錯(cuò)誤。

[1] 潘文杰.傅里葉分析及其應(yīng)用[M].北京:北京大學(xué)出版社,2000

[2] David W.Kammler.A First Course in Fourier A naly sis[M].Cambridge:Cambridge University Press,2007

[3] A.Papoulis.The Fourier Integ ral and Its Applications[M].New York:McGraw-Hill,1962