丁鳳琴 薛國芳 雷賢卿

(①鄭州旅游職業(yè)學(xué)院機(jī)電系，河南鄭州 450009;②河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003)

軸類零件是機(jī)械產(chǎn)品的重要組成部分，其精度的高低對產(chǎn)品的質(zhì)量及其使用壽命至關(guān)重要，而衡量軸類零件形狀誤差大小的主要指標(biāo)是圓柱度誤差。圓柱度誤差是具有四維描述變量的形狀誤差，其評定比較困難。通常的方法是建立測點(diǎn)到基準(zhǔn)圓柱面的距離函數(shù)，然后根據(jù)國標(biāo)定義的4種評定方法:最小二乘法、最小區(qū)域法、最小外接圓柱法和最大內(nèi)接圓柱法(國標(biāo)有闡述)，構(gòu)造相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。而在優(yōu)化求解的過程中，優(yōu)化算法的選用至關(guān)重要，算法的收斂速度、求解精度和可靠性等因素直接關(guān)系到圓柱度的評定精度。

由于這些評定方法的目標(biāo)函數(shù)是非線性的，優(yōu)化的參數(shù)也比較多，有的在原理上就存在缺陷，如最小二乘法。為尋求符合定義的、最接近理想值的算法，本文介紹一種不需要優(yōu)化算法，直接調(diào)用點(diǎn)至空間直線的距離公式及簡單的判斷即可得到圓柱度誤差的算法——網(wǎng)格搜索算法。

1 圓柱度誤差網(wǎng)格搜索算法的原理及步驟

1.1 網(wǎng)格搜索算法原理

評定圓柱度誤差的基本原則是最小條件，符合最小條件準(zhǔn)則的評定方法的核心內(nèi)容就是要根據(jù)被測圓柱輪廓上點(diǎn)的坐標(biāo)解算出包容實(shí)際輪廓的理想圓柱面的軸線參數(shù)，理想圓柱面的軸線位置應(yīng)符合最小條件。以上所述四種評定方法中除最小二乘法外，其余三種是符合評定準(zhǔn)則的。最小二乘法評定圓柱度誤差是用最小二乘函數(shù)擬合被測圓柱面上的點(diǎn)，得到一條最小二乘軸線，然后求出被測圓柱面上各點(diǎn)到最小二乘軸線的距離，以距離最大值、最小值分別構(gòu)造兩個同軸圓柱面，這兩個圓柱面之間的區(qū)域就是最小二乘法圓柱度誤差。由于最小二乘軸線是在各測點(diǎn)距該理想圓柱面的軸線的徑向距離與理想圓柱面半徑之差的平方和為最小的條件下得來的，因此它不是符合最小條件的理想軸線，其評定準(zhǔn)則與最小條件的定義相違背，在原理上存在缺陷，故得到的圓柱度誤差不是很精確。盡管二乘軸線的位置不符合最小條件，但它是唯一的，用最小二乘法評定的圓柱度誤差值也是唯一的。網(wǎng)格搜索算法是在最小二乘法基礎(chǔ)上，在最小二乘軸線的周圍(理想軸線一定在它周圍)搜索符合最小條件的理想圓柱面軸線，即以最小二乘軸線為參考軸線，在其周圍的一定區(qū)域內(nèi)布置一直線群，其中必有一條直線最接近理想柱面的軸線，然后計算圓柱面上各測點(diǎn)到這一直線群(假定理想軸線)的每條直線的距離，從計算結(jié)果中進(jìn)行分析判斷尋找符合最小條件的理想軸線，然后，可分別按最小外接圓柱法、最大內(nèi)接圓柱法和最小區(qū)域法計算圓柱度誤差，網(wǎng)格搜索算法就是基于這種原理提出的。

1.2 網(wǎng)格搜索算法步驟

設(shè)圓柱面上各測點(diǎn)的坐標(biāo)Pij(xij，yij，zj)，被測圓柱面最小二乘軸線與坐標(biāo)平面XOY的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b，0)，方向數(shù)為(P，Q，1)。

(1)計算圓柱面上各測點(diǎn)Pij(xij，yij，zj)至最小二乘軸線的距離(最小二乘法)

式中，i為截面上的測量點(diǎn)，i=1，2…，N;j為測量截面，j=1，2，…，M。

(2)計算最小二乘圓柱度誤差

找出Rij中的最大值Rmax、最小值Rmin，則被測圓柱面最小二乘法圓柱度誤差值為

(3)計算最小二乘軸線與測量起始、終止截面的交點(diǎn)坐標(biāo)

由被測圓柱面最小二乘軸線方程:(x－a)/P=(y－b)/Q=z可知，最小二乘軸線與測量起始截面(XOY坐標(biāo)平面)的交點(diǎn)坐標(biāo)T0(X0，Y0，Z0)、終止截面(Z=ZM平面)的交點(diǎn)坐標(biāo)TM(XM，YM，ZM)分別為

(4)構(gòu)造假定理想軸線

如圖1，以端點(diǎn)T0(X0，Y0，Z0)為參考點(diǎn)，在XOY平面內(nèi)設(shè)置一小正方形，其邊長為最小二乘圓柱度誤差ΔF，將該正方形的邊長n等分，對邊等分點(diǎn)兩兩連線構(gòu)成網(wǎng)格點(diǎn)形式，那么各網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)dhk(xh，yk，z0)為

式中，h為z=0平面內(nèi)x軸方向的網(wǎng)格點(diǎn);k為z=0平面內(nèi)y軸方向的網(wǎng)格點(diǎn)。

同理，以端點(diǎn)TM(XM，YM，ZM)為參考點(diǎn)構(gòu)造的網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)elm(xl，ym，zm)為

式中，l為z=ZM平面內(nèi)x軸方向的網(wǎng)格點(diǎn);m為z=ZM平面內(nèi)y軸方向的網(wǎng)格點(diǎn)。

這樣在z=0，z=ZM平面內(nèi)分別構(gòu)造了n×n個網(wǎng)格點(diǎn)(如圖1)。

依次以初始測量截面(z=0平面)上的網(wǎng)格點(diǎn)dhk(xh，yk，z0)為假定理想軸線的起始點(diǎn)，遍歷終止測量截面(z=ZM平面)上的網(wǎng)格點(diǎn)elm(xl，ym，zm)，構(gòu)造一簇軸線(共n4條直線)，那么這些軸線的方向數(shù)為

(5)按下式計算圓柱面上各測點(diǎn)Pij(xij，yij，zj)到一簇軸線(假定理想軸線)的距離

(6)尋找圓柱面上各點(diǎn)至每一條理想軸線的最大值、最小值以及極差

由于圓柱面各點(diǎn)至一簇軸線中的任一條軸線的距離中，都存在最大值、最小值和極差(最大值與最小值之差)，因而可以得到n4個最大值、最小值和極差。

(7)計算最小外接圓柱法圓柱度誤差

比較所有的最大值，其最小者即為最小外接圓柱的半徑，用符號Rout表示;此最小者所對應(yīng)的xh，yk，Plh，Qmk即為最小外接圓柱面軸線的參數(shù)，與此軸線參數(shù)相對應(yīng)的由式(7)計算出來的最小值用符號rout表示。則最小外接圓柱法圓柱度誤差值為

(8)計算最大內(nèi)接圓柱法圓柱度誤差

比較所有的最小值，其最大者即為最大內(nèi)接圓柱的半徑，用符號rin表示;此最大者所對應(yīng)的xh，yk，Plh，Qmk即為最大內(nèi)接圓柱面軸線的參數(shù)，與此軸線參數(shù)相對應(yīng)的由式(7)計算出來的最大值用符號Rin表示。則最大內(nèi)接圓柱法圓柱度誤差值為

(9)計算最小區(qū)域法圓柱度誤差

比較所有的極差值，其最小者即為最小區(qū)域，用符號ΔRarea表示，則最小區(qū)域法圓柱度誤差值為

1.3 圓柱度誤差網(wǎng)格搜索算法的解釋

在最小二乘軸線的兩端點(diǎn)周圍布置了n2個網(wǎng)格點(diǎn)，如將最小二乘軸線上下兩端點(diǎn)周圍的網(wǎng)格點(diǎn)兩兩連線，將會產(chǎn)生n4條軸線，如將網(wǎng)格點(diǎn)分的足夠細(xì)，必有一條軸線與理想軸線最接近或者重合。因而，網(wǎng)格搜索法實(shí)際上是一種窮舉法。

圓柱面上的所有測點(diǎn)至其中一條軸線的距離中，總有最大值，最小值和極差(最大值與最小值之差)，由于上下網(wǎng)格的連線有n4條，那么就有n4個最大值、最小值和極差。

若用最小外接圓柱法來評定圓柱度誤差，則需要在這些最大值中找出最小者，此最小者即為符合最小外接圓柱評定法定義的最小外接圓柱面，其對應(yīng)的那條網(wǎng)格連線即為被測圓柱面的理想軸線，以此網(wǎng)格連線為軸線構(gòu)造的、能包容實(shí)際被測圓柱面的兩個同軸圓柱面之間的徑向距離即為最小外接圓柱法圓柱度誤差。

若用最大內(nèi)接圓柱法來評定圓柱度誤差，則需要在這些最小值中找出最大者，此最大者即為符合最大內(nèi)接圓柱評定法定義的最大內(nèi)接圓柱面，其對應(yīng)的那條網(wǎng)格連線即為被測圓柱面的理想軸線，以此網(wǎng)格連線為軸線構(gòu)造的、能包容實(shí)際被測圓柱面的兩個同軸圓柱面之間的徑向距離即為最大內(nèi)接圓柱法圓柱度誤差。

若用最小區(qū)域法來評定圓柱度誤差，則需要在這些極差值中找出最小者，此最小者即為符合最小區(qū)域法定義的最小區(qū)域法圓柱度誤差。

以上得到的網(wǎng)格連線與被測圓柱面的理想軸線的接近程度與等分點(diǎn)數(shù)及截面上布置的正方形邊長有關(guān)，邊長值越小、等分點(diǎn)數(shù)越多，計算出來的圓柱度誤差值就越接近于真值，但邊長值太小有可能構(gòu)造的網(wǎng)格連線不能包含被測圓柱面的理想軸線，等分點(diǎn)數(shù)過多會導(dǎo)致計算量大，影響計算速度。為提高計算速度和測量精度，可進(jìn)行多次循環(huán)。先以最小二乘法圓柱度誤差值為邊長，等分點(diǎn)數(shù)取少一些(例如，取n=10)，然后以計算出的圓柱度誤差(最大外接圓柱法、最小內(nèi)接圓柱法、最小區(qū)域法)中的最大值為邊長，布置更細(xì)的網(wǎng)格，重復(fù)上述步驟，當(dāng)最小極差與次最小極差非常接近(如小于0.000 1 μm)時，可以認(rèn)為此時的最大值中的最小者為最小外接圓柱法圓柱度誤差，最小值中的最大者為最大內(nèi)接圓柱度誤差，極差中的最小者為最小區(qū)域法圓柱度誤差。其計算過程流程圖如圖2。

2 圓柱度誤差網(wǎng)格搜索算法仿真

按以上所述的原理與步驟，對圓柱體圓柱度誤差進(jìn)行網(wǎng)格搜索算法仿真，仿真結(jié)果與預(yù)先設(shè)定的完全一致，說明圓柱度網(wǎng)格搜索算法可以實(shí)現(xiàn)圓柱度誤差的有效評定。

3 結(jié)語

網(wǎng)格搜索算法是解決圓柱度誤差精確評定問題的新思路，是計量測試技術(shù)中形位誤差評定的一全新手段，通用性強(qiáng)，可以達(dá)到完全實(shí)用的程度。

圓柱度誤差的網(wǎng)格搜索算法簡單直觀，并且符合圓柱度誤差的評定定義，不需要將點(diǎn)到直線(平面、空間)的公式線性化，也不需要確定優(yōu)化步長和優(yōu)化方向，算法簡單直觀。但在測量點(diǎn)較多時，計算量比較大。

依據(jù)該算法設(shè)計出的圓柱度誤差評定軟件可以很容易地安裝到圓度測量儀、三坐標(biāo)測量機(jī)和其它帶有計算機(jī)的測試儀器上，能夠滿足圓柱度誤差的精確評定。

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