邵會鋒

（通化鋼鐵股份有限公司氧氣廠，吉林通化134003）

1 引言

PID控制器結構簡單，對模型誤差具有魯棒性和易于操作等優(yōu)點，推出半個多世紀以來在各個控制領域中得到了廣泛的應用。PID控制器是按偏差的比例（P）、積分（I）和微分（D）通過線性組合構成控制量，對被控對象進行控制。這3個參數(shù)整定的好壞不但會影響到控制的質量，而且還會影響到控制器的魯棒性。因此對PID控制器參數(shù)整定的研究成了人們關注的重要問題之一。

隨著PID參數(shù)整定技術的不斷發(fā)展，人們提出了各種各樣的整定方法。常規(guī)的方法一般是基于模型或者基于規(guī)則的自整定，隨著智能算法的發(fā)展，人們提出了一系列的PID自整定方法，如基于模糊規(guī)則［1]、基于神經網(wǎng)絡［2]以及遺傳算法［3]的自整定方法等等。

微粒群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法具有算法簡單易實現(xiàn)的優(yōu)點，已經被應用于眾多工程領域。本文將在原有算法的基礎上提出一種改進的微粒群算法，將其應用于PID控制器的參數(shù)整定中。該算法克服了傳統(tǒng)PID控制器參數(shù)尋優(yōu)的不足，仿真結果表明該算法優(yōu)于遺傳算法的基本微粒群算法。

2 PID控制器描述

PID控制器基本系統(tǒng)原理如圖1所示。

圖1 模擬PID控制系統(tǒng)原理框圖

PID是一種線性控制器，它根據(jù)給定值rin（t）與實際輸出值yout（t）構成控制偏差。PID控制器用離散型式的增量控制算式表示為：

其中：△u（k）是控制器輸出地增量，e（k）是控制量偏差，Kp、Ki和Kd分別是比例常數(shù)、積分時間常數(shù)和微分時間常數(shù)。PID控制器的參數(shù)優(yōu)化整定就是要尋找一個合適的Kp、Ki和Kd的組合，平衡控制系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)定性，減少超調，提高系統(tǒng)的響應速度。

3 算法描述

3.1 基本微粒群優(yōu)化算法

微粒群算法（particle swarm optimization，簡稱PSO）是Eberhart和Kennedy等人模擬鳥類的捕食行為，于1995年提出的一種新的全局進化優(yōu)化算法［4]?；驹硎牵簩?yōu)化問題的每個解作用一個粒子，每個粒子在n維空間中以一定的速度飛行，并通過一定的適應度函數(shù)來判斷粒子位置的優(yōu)劣，每個粒子根據(jù)自身的飛行經驗以及群體的飛行經驗來調整自己的飛行狀態(tài)，向空間中的更優(yōu)位置飛行。粒子自身經過的最優(yōu)位置稱為個體最優(yōu)值（pBest），整個群體經過的最優(yōu)位置稱為全局極值（gBest）。粒子狀態(tài)用 D 維速度 vi＝（vi1，vi2，…viD）和位置 pi＝（pi1，pi2，…piD）表示，每個粒子根據(jù)下面的公式更新自己的狀態(tài)，從而產生新一代的群體。

其中：w是慣性權重，c1和c2為加速因子，r1d和r2d是在［0，1] 范圍內的兩個隨機數(shù)，k為迭代次數(shù)。為了防止粒子遠離搜索空間，粒子的每一維速度vd都被限制在［-vdmax，vdmax] 之間。

3.2 改進微粒群優(yōu)化算法

PSO算法具有概念簡單、易于實現(xiàn)、以及較強的全局收斂能力和魯棒性等優(yōu)點，但是它同時也具有智能群體算法的固有缺陷，容易陷入局部最優(yōu)。為了克服粒子群算法的缺點，引入克隆免疫機制構造一種克隆免疫粒子群算法。免疫算法（Immune Algorithm，IA）是受到免疫系統(tǒng)啟發(fā)而發(fā)展起來的一類仿生算法，該算法主要是模擬自然界生物免疫系統(tǒng)的機理和功能而實現(xiàn)的［5]。克隆選擇算法是免疫算法中基于克隆選擇學說而提出。由于克隆選擇算法中存在著選擇，克隆以及變異操作可以保證解的多樣性。

本文的做法是在粒子群算法外部建立一個規(guī)模為初始粒子個數(shù)1/10的最優(yōu)解集m。每當粒子群算法出現(xiàn)一個新的全局最優(yōu)解gBest，就將其加入到最優(yōu)解集中,替換最優(yōu)解集中適應度最小的解，使最優(yōu)解集中解的數(shù)目保持不變。設置一個變異閥值k，當gBest連續(xù)k代沒有更新時就認為粒子陷入了局部最優(yōu)，此時進行克隆選擇操作。本文中的克隆、變異和選擇按照以下定義進行：

定義1：克隆算子，將最優(yōu)解集m中的每個粒子克隆復制10倍。

定義2：變異算子，對克隆復制后的每個粒子進行柯西變異，柯西密度函數(shù)為

其中：t是尺度參數(shù)，并且t＞0。經過柯西變異后，粒子 pi變成 p′i，p′i＝pi+ηδk，式中：δk是由柯西方程產生的隨機數(shù)，η是修正步長。

定義3：選擇算子，用經過柯西變異后產生的粒子直接代替當前的所有粒子。

克隆免疫粒子群算法與基本微粒群算法不同的時，它在原有微粒群算法基礎上加入了克隆免疫操作。當粒子群算法陷入局部最優(yōu)時，對外部最優(yōu)解集中的粒子進行克隆復制、克隆變異和克隆選擇操作，提高了粒子的多樣性，幫助算法跳出局部最優(yōu)解，避免早熟收斂，提高了解的精度。

3.3 評價函數(shù)的選取

利用PSO算法來優(yōu)化PID控制器的3個參數(shù)Kp、Ki和 Kd，采用實數(shù)編碼方式，粒子編碼串為［Kp、Ki，Kd] 。參數(shù)優(yōu)化的目的是使階躍響應的控制偏差趨于零，響應速度盡可能快，響應偏差盡可能小。采用誤差絕對值時間積分性能指標作為參數(shù)選擇的最小目標函數(shù)，選用下式作為參數(shù)選取的最優(yōu)指標［6]：

其中：e（t）表示系統(tǒng)誤差，u（t）為控制器輸出，tu為上升時間，w1，w2，w3為權值。

為了避免產生超調，采用懲罰功能，一旦產生超調，將超調作為最優(yōu)指標的一項，此時最優(yōu)指標為：

其中：w3為權重，且w4＞＞w1，ey（t）＝y(tǒng)out（t）-yout（t-1），yout（t）為被控對象輸出。

3.4 克隆免疫粒子群算法的PID參數(shù)優(yōu)化步驟

應用克隆免疫粒子群算法實現(xiàn)PID控制器參數(shù)優(yōu)化的算法流程如下：

Step1：在規(guī)定的搜索空間中隨機初始化粒子群位置、速度、歷史最優(yōu)值pBest和全局最優(yōu)值gBest，并確定 PID 控制器 Kp、Ki和Kd的取值范圍；

Step2：按照式（5）計算每個粒子的適應值，并根據(jù)適應值更新pBest和gBest以及外部最優(yōu)解集m；

Step3：判斷算法是否陷入局部最優(yōu)，如果沒有，則根據(jù)式（1）和式（2）更新粒子速度和位置；否則轉式（5）；

Step4：判斷是否滿足結束條件，滿足則輸出最優(yōu)解，結束；否則轉Step2；

Step5：對最優(yōu)解集中的粒子進行克隆免疫操作。

Step5.1：根據(jù)克隆算子對最優(yōu)解集中的每個粒子進行克隆操作；

Step5.2：根據(jù)變異算子對克隆后的每個粒子進行變異操作；

Step5.3：根據(jù)選擇算子對變異后的每個粒子進行選取，更新當前所有粒子；

轉Step4。

4 仿真實驗

模型的輸入信號rin＝1為階躍信號，采樣周期為0.001s。

基于MATLAB6.5進行仿真實驗，比較了改進粒子群算法IPSO和基本粒子群算法BPSO以及遺傳算法GA在PID控制器線性調節(jié)中的表現(xiàn)。算法參數(shù)設置：在PID參數(shù)優(yōu)化過程中Kp取值范圍為［0，60] ，Ki和 Kd取值范圍均為［0，1] 。在 GA 算法中交叉概率pc＝0.9，變異概率pm＝0.033。在BPSO和IPSO中初始粒子種群均為N＝30，進化代數(shù)為100代。慣性權重：

其中：wmax為 0.94，wmin為 0.32，itermax為算法執(zhí)行的最大迭代次數(shù)，iter為當前迭代次數(shù)，隨著算法的迭代次數(shù)增加w動態(tài)的減小，有利于加快算法收斂速度。在IPSO算法中變異閥值k＝5，外部最優(yōu)解集規(guī)模為 3。評價函數(shù)的參數(shù) w1＝0.999，w2＝0.001，w3＝2.0，w4＝100。經過 100 此迭代，圖 2 所示為三種不同算法優(yōu)化PID參數(shù)的評價函數(shù)值收斂趨勢圖，圖3所示為參數(shù)整定后系統(tǒng)單位階躍響應的比較圖，表1所示為三種方法參數(shù)整定和評價函數(shù)的最終結果。

圖2 三種算法優(yōu)化PID參數(shù)的收斂曲線圖

圖3 三種算法階躍響應曲線圖

表1 三種算法PID參數(shù)整定結果比較

從圖2、圖3以及表1可以看出：收斂速度、搜索能力以及在系統(tǒng)響應時間上改進的微粒群算法都要優(yōu)于基本微粒群算法和遺傳算法。

5 結論

本文基于克隆選擇算子提出了一種改進的粒子群算法，其收斂速度和精度都優(yōu)于遺傳算法和基本微粒群算法，并有效避免了算法容易陷入局部最優(yōu)的缺點。將其應用于PID參數(shù)整定，通過仿真實驗證明了算法的可行性和有效性。

［1] Linc,Xu J X，Hang C C.Comparison Between a Fuzzy PID Controller and a Kind of Nonlinear PID Controller［C] .Proc 36th IEEE Int Conf On Decision and Control S Diego（CA）,1997.

［2] 張世峰，李鵬.基于神經網(wǎng)絡的自整定PID參數(shù)控制器設計［J] .自動化儀表，2009，30（7）：64-66.

［3] 周志，干樹川.基于遺傳算法的控制參數(shù)優(yōu)化研究［J] .計算機應用，2007，27：191-192.

［4] Kennedy J,Eberhart RC.Particie Swarm Optimization［C] .In:Proc.of the IEEE Int’1 Conf on Neural Networks.Perth:IEEE Inc，1995:1942-1948.

［5] Dasgupta D.Artificial Immune System and Their Applications［M] .Springer-Verlag，1999.

［6] 劉金琨.先進PID控制MATLAB仿真［M] .第2版.北京：電子工業(yè)出版社，2004:223-228.