邱永生，王 燦，楊 宇

0 引言

電氣化鐵道是我國交通運(yùn)輸?shù)闹饕α?，具有很多?yōu)越性，但是也存在一些問題，最主要的就是電力機(jī)車在運(yùn)行過程中會產(chǎn)生大量的電力諧波[1]，使電網(wǎng)電壓波形產(chǎn)生畸變，給電網(wǎng)帶來極大危害。與此同時(shí)，牽引線路獨(dú)特的諧波特征也成為一些保護(hù)的重要判據(jù)[2]。所以無論從諧波的抑制還是從諧波的應(yīng)用來看，諧波測量都非常關(guān)鍵。

1 諧波測量方法概述

目前諧波測量方法主要分為4類。第1類基于傅立葉變換的諧波測量，其主要優(yōu)點(diǎn)是精度較高，使用方便，而不足是計(jì)算量大造成檢測時(shí)間較長，當(dāng)信號頻率和采樣頻率不一致時(shí)會產(chǎn)生頻譜泄漏效應(yīng)和柵欄效應(yīng)，造成測量誤差。針對其不足提出的很多解決方案[4～6]都取得一些成果。基于傅立葉變換的諧波測量仍然是當(dāng)前實(shí)際應(yīng)用的主要方法。第 2類是基于瞬時(shí)無功功率的諧波測量[7,8]，第 3類和第4類則分別是基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的諧波測量[9,10]和基于小波分析的諧波測量[11～13]，后 3類方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)[3]，相關(guān)文獻(xiàn)都進(jìn)行了詳細(xì)闡述。

2 遞推法諧波測量

使用傅立葉算法計(jì)算諧波，如果計(jì)算諧波次數(shù)較少時(shí)一般直接使用DFT算法并合并同類項(xiàng)來計(jì)算各次諧波，如果計(jì)算諧波次數(shù)較高時(shí)一般則使用FFT算法。使用 FFT算法計(jì)算諧波時(shí)間較長，往往每隔一個(gè)基波周期以上時(shí)間計(jì)算一次或在程序的主循環(huán)中計(jì)算，實(shí)時(shí)性不夠強(qiáng)。隨著技術(shù)的進(jìn)步以及對裝置要求的提高，有些地方往往要求每個(gè)采樣間隔都能提供當(dāng)前的諧波數(shù)值，以適應(yīng)保護(hù)控制或測量的需求，這時(shí)再使用以上2種計(jì)算方法就會使資源很緊張甚至不夠用。本文使用傅立葉遞推算法并采用簡化的測頻回路，運(yùn)算函數(shù)極其簡潔，可以在每個(gè)采樣中斷點(diǎn)計(jì)算出當(dāng)前各次諧波值，同時(shí)僅占用中斷內(nèi)極少的CPU時(shí)間，提高了運(yùn)算速度，為裝置的其他工作如保護(hù)運(yùn)算、控制等爭取了更多時(shí)間。

2.1 遞推法諧波測量推導(dǎo)

遞推法諧波測量仍然是基于傅立葉變換[14]，設(shè)輸入量傅立葉級數(shù)表達(dá)如下：

式中，l為諧波的次數(shù)，l= 0，1，…，m；ω為基波角頻率；Acl、Asl為第l次諧波的余弦和正弦分量的幅值。

根據(jù)傅立葉變化可得：

式中，Ts為采樣間隔，T=TsN為信號基波周期，則N為一個(gè)基波周期內(nèi)的采樣點(diǎn)。將式（2）和式（3）中x(t)按采樣順序離散化，并采用矩形積分近似可得：

Acl(k)、Asl(k)分別對應(yīng)當(dāng)前時(shí)刻點(diǎn)第l次諧波的余弦和正弦分量的幅值，同理可得前一采樣間隔時(shí)刻點(diǎn)Acl(k-1)、Asl(k-1)的計(jì)算公式：

分別用式（4）—式（6）和式（5）—式（7）整理，可得：

由式（8）和式（9）就可以求得各次諧波分量的模值和相位角[15]。由式（8）和式（9）可見，用遞推法計(jì)算基波及各次諧波非常簡潔，相對于 FFT來說運(yùn)算量非常小，更不用說普通DFT，而且該方法不需FFT算法要求的每周波采樣點(diǎn)N為2的整數(shù)次冪。隨著采樣頻率的增加，F(xiàn)FT算法計(jì)算時(shí)間成倍增長，而遞推法計(jì)算時(shí)間卻不變，這也是遞推法的重要優(yōu)點(diǎn)。

2.2 遞推法諧波測量的問題及改進(jìn)

觀察式（8）和式（9），如果CPU在從存儲設(shè)備中讀取數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤，無論Acl(k-1)、Asl(k-1)、(2/N)cos(2lkπ/N)、(2/N)sin(2lkπ/N)、xk、x(k-N)中任何一個(gè)出錯(cuò)，由于該方法是遞推的，就會導(dǎo)致該錯(cuò)誤一直保持在計(jì)算結(jié)果中，導(dǎo)致永遠(yuǎn)的錯(cuò)誤。當(dāng)然，針對現(xiàn)在的技術(shù)而言，CPU從存儲設(shè)備中讀取數(shù)據(jù)錯(cuò)誤的可能性是非常小的，但仍要保證萬無一失。可采用比較雙數(shù)據(jù)區(qū)的方案來解決。首先是采樣值采用雙數(shù)據(jù)區(qū)，Acl(k-1)、Asl(k-1)、(2/N)cos(2lkπ/N)、(2/N)sin(2lkπ/N)也同樣采用雙數(shù)據(jù)區(qū)。計(jì)算時(shí)，分別對2個(gè)數(shù)據(jù)區(qū)進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，如果不相等則表明中間有出錯(cuò)環(huán)節(jié)，將所有歷史數(shù)據(jù)清零重新開始計(jì)算。如果在一段時(shí)間內(nèi)出錯(cuò)大于一定的次數(shù)，則裝置發(fā)告警信號或同時(shí)閉鎖裝置，請求維護(hù)。一般而言，現(xiàn)在的裝置數(shù)據(jù)采樣都采用雙緩沖區(qū)，而Acl(k-1)、Asl(k-1)、(2/N)cos(2lkπ/N)、(2/N)sin(2lkπ/N)占用的存儲區(qū)數(shù)量并不大，至于 2次運(yùn)算和 FFT比較，由于遞推法本身運(yùn)算量就很小，并不會增加多少運(yùn)算量。因此，改進(jìn)后，相比FFT和DFT算法，裝置性能得到了極大提高。

2.3 同步測頻

傅立葉遞推法大大降低了諧波測量的運(yùn)算量，但是測頻并使采樣同步才是消除頻譜泄漏的關(guān)鍵。同步測頻的框圖見圖1。

圖1 同步測頻框圖

低通濾波器是使用RC的濾波，屬于基礎(chǔ)類的被動濾波，在選擇合適的R、C的精度和溫漂指標(biāo)，可以將波形的畸變控制在一個(gè)可預(yù)期的范圍內(nèi)。

經(jīng)過低通后的波形進(jìn)入幅值比較，由于和固定幅值比較，理論上可以得到一個(gè)周期性的方波，但是考慮有可能出現(xiàn)多次諧波，波形并非周期的正弦波形，所以需要進(jìn)行再次濾波，準(zhǔn)確地甄別出基波的頻率。這些都將在FPGA內(nèi)進(jìn)行集中處理。

FPGA內(nèi)使用的是 100 MHz時(shí)鐘源，相對50 Hz的基波而言，可以做到非常好的分辨率。在波形經(jīng)過幅值變化比較后，首先進(jìn)行一次數(shù)字FIR濾波，然后對些許毛刺進(jìn)行分析，分析波頭位置，并鎖頻，計(jì)算基波周期數(shù)，推算出周期，同時(shí)同步調(diào)整采樣周期，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)頻率跟蹤及采樣控制。

在牽引變電所的實(shí)際應(yīng)用中，由于饋線電壓電流的基波頻率是一致的，而用電壓作為測頻信號相對電流而言顯然更為穩(wěn)定，故一般采用母線電壓作為測頻信號源。

3 應(yīng)用及總結(jié)

以上方法已經(jīng)應(yīng)用于DSA96系列電氣化鐵道保護(hù)和監(jiān)控裝置的研制中，該系列裝置采用TI公司最新 32位雙核芯片Davinci。以每周波采樣64點(diǎn)為例，分別對采用 FFT算法和采用遞推法諧波測量進(jìn)行比較，表1中僅指計(jì)算一路模擬量的諧波對應(yīng)的時(shí)間值。

表1 遞推法和FFT計(jì)算諧波比較表

由表1可見，2種諧波測量方法的測量精度是一致的，但計(jì)算速度上遞推法遠(yuǎn)優(yōu)于 FFT算法，隨著采樣頻率和需計(jì)算模擬量通道的增加，該優(yōu)點(diǎn)將越來越明顯。將該方法應(yīng)用于綜合諧波保護(hù)以及諧波抑制距離保護(hù)都顯著地提高了保護(hù)出口時(shí)間。

由以上闡述可見，采用帶校驗(yàn)的遞推法相對于FFT算法而言具有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1）速度快，隨著采樣頻率和模擬量通道的增加，該優(yōu)點(diǎn)越來越明顯；

（2）每基波周期采樣點(diǎn)不要求為2的整數(shù)次冪，擴(kuò)大了應(yīng)用范疇；

（3）算法簡單，程序?qū)崿F(xiàn)簡潔方便。

因此，在工程實(shí)踐中采用帶校驗(yàn)的遞推法計(jì)算諧波實(shí)用可行，值得推廣。

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