史本廣,許小艷,程 濤,匡國光

(河南工業(yè)大學理學院,河南鄭州 450052)

小麥面粉指標關系中的 Fuzzy非線性回歸問題

史本廣,許小艷,程 濤,匡國光

(河南工業(yè)大學理學院,河南鄭州 450052)

小麥面粉指標關系大都呈現(xiàn)一定的模糊性.利用 Fuzzy結構元理論對小麥面粉指標中的模糊關系進行了分析,給出了一種處理模糊非線性關系的 Fuzzy非線性回歸模型,實例表明模型適用,既為處理模糊關系提供了一種新方法,也為小麥面粉的綜合研究提供參考.

面粉指標;模糊回歸;模糊數(shù);參數(shù)估計

0 前言

小麥面粉的質(zhì)量直接涉及國計民生,因此對小麥面粉的研究一直是有關部門所關心的問題.為便于小麥面粉的綜合利用,應首先對小麥面粉各指標間關系進行分析,找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.但小麥面粉各指標間的數(shù)據(jù)或結論的來源帶有不確定性,有的還帶有人為因素,換句話說帶有模糊性,有學者對小麥面粉各指標間的關系應用模糊數(shù)學的觀點、方法去處理[1,2,6],給出了各指標間關系的 Fuzzy線性回歸模型[3],但誤差過大,也就是模糊度過大,為此,筆者利用 Fuzzy結構元理論對小麥面粉指標關系進行討論,得出關于小麥面粉指標間的模糊非線性回歸關系.這不但擴大了模糊數(shù)學的應用領域,而且對于小麥面粉各指標間的關系提出了一種新的、可行的應用模型,在小麥面粉的綜合研究方面具有一定的參考價值.

1 預備知識

定義 1[4]設 E是實數(shù)集 R上的 Fuzzy集,隸屬函數(shù)記為 E(x),x∈R.如果 E(x)滿足:

(1)E(0)=1,E(1+0)=E(-1-0)=0;

(2)E(x)在區(qū)間[-1,0)上是單調(diào)右連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(0,1]上是單降左連續(xù)函數(shù);

(3)當 -∞＜x＜-1或1＜x＜+∞時,E(x) =0.

則稱模糊集 E是 R上的 Fuzzy結構元.

定義 2[4]若 Fuzzy結構元的隸屬函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有 E(x)＞0,且在 (-1,0)內(nèi)是連續(xù)嚴格單增函數(shù),在區(qū)間 (0,1]上是連續(xù)嚴格單降函數(shù),則稱 E是正則的 Fuzzy結構元.

定理 1[5]設θ是有限模糊數(shù),則存在一個模糊結構元 E和有限實數(shù) a和 c,使得θ=a+cE (c＞0).θ的隸屬函數(shù)為:μ(θ)=E[(x-a)/c].

定義 3[5]設 g(x,y)=f(x)+w(x)y.其中f(x)和 w(x)在 X上有界、且 w(x)非負.易知g(x,y)是關于 y在 [-1,1]上的單調(diào)有界函數(shù),則(x)=f(x)+w(x)E是 X上的一個模糊值函數(shù),稱為由模糊結構元 E線性生成的模糊值函數(shù).的隸屬函數(shù)為

2 模糊回歸模型

設 g為 Rm→R的函數(shù)

式中:x1、x2、…、xm為自變量,θ1、θ2、…、θn為實值參數(shù),對固定的 x1、x2、…、xm視θ1、θ2、…、θn為實參數(shù),并假設函數(shù) g關于自變量及實值參數(shù)是連續(xù)可微的,則函數(shù) g可視為 Rn→R的函數(shù),對此應用 Zadeh多元函數(shù)擴展原理有

顯然 (3)式可作為研究 X與 y之間的模糊回歸模型,當 f(X,A)為 X的非線性函數(shù)時,也稱(3)為非線性回歸模型,其中 A,C可作為待估計的參數(shù).的隸屬函數(shù)為

若對 (1)式有觀測值 Xi=(x1i,x2i,…,xmi),對應的 y可能有一組值 yi=(yi1,yi2,…,yis(i)),則對應于(3)式有

式中:i=1,2,…,k.取 yi的隸屬函數(shù)為如下三角結構元:

則有 D=(yi-f(Xi,A))/w(Xi,C).

顯然 (3)式作為回歸模型,應考慮 w(Xi,C)＞0且越小越好,同時要求 yi屬于程度越大越好,一般若控制在 h∈(0,1]的水平下,即

從而可得如下的規(guī)劃問題:

求出參數(shù)A,C,即得實自變量 X與模糊變量y之間的模糊回歸模型(2).

3 小麥面粉指標關系中的 Fuzzy非線性回歸問題

3.1 小麥面粉指標

小麥粉的粉質(zhì)曲線特性及小麥麩皮戊聚糖組分對面團粉質(zhì)特性指標見表 1[7]及表 2[7].

表 2 小麥麩皮戊聚糖組分對面團粉質(zhì)特性指標的影響

表 1和表 2均為人為的觀察值,由于人的心理測量因素的影響,這些觀察值之間存在誤差,所以這些觀察值應該都是模糊的,因此用模糊回歸模型解決小麥面粉各指標之間關系會比經(jīng)典回歸更為有效.

3.2 小麥面粉指標中的模糊回歸

利用表 2中的數(shù)據(jù),以添加比例 x1和弱化度x2為相關變量,以穩(wěn)定時間 y為因變量,建立Fuzzy回歸模型.由 (3)式,根據(jù)經(jīng)典數(shù)學的方法用Mathematica可擬合出函數(shù)

若令 x3=,則 f(X,A) =14.8156+ 2.21487x1-0.12987x2-1.29818x3,從而可取w(X,C) =c0+c1|x1|+c2|x2|+c3|x3|.由(5)式即得添加比例 x1和弱化度 x2與穩(wěn)定時間 y為因變量的值滿足如下的規(guī)劃模型

根據(jù)表 2所給數(shù)據(jù),運用 EXCEL可求得

從而可得添加比例x1和弱化度x2為相關變量,以穩(wěn)定時間 y為因變量的非線性模糊回歸模型為

則當 x1=1.5,x2=60時,有=7.4248+ 0.2838E.而表 2中的實際觀察值為 7.5,恰好落在區(qū)間 [7.4248,7.7086]內(nèi),且結果優(yōu)于文獻[3],這說明模糊非線性回歸模型更能反映實際,并表明模糊非線性回歸模型應用于小麥面粉指標間關系的研究是可行的.

4 結論

(1)作者利用 Fuzzy結構元理論討論了模糊回歸模型的模糊參數(shù)的估計,并把 Fuzzy結構元理論應用到小麥面粉指標的研究中,得出了小麥面粉指標間的模糊關系,其結果更能反映實際.

(2)首次把模糊非線性回歸模型應用到小麥面粉指標間關系的研究,既開拓了模糊數(shù)學的應用領域,也為模糊數(shù)學應用于糧油食品提供了一種方法.

(3)通過計算結果的比較,說明模糊非線性回歸模型更能反映實際,并表明模糊非線性回歸模型應用于小麥面粉指標間關系的研究是可行的,對小麥面粉的綜合研究具有一定的參考價值.

[1] 曹炳元,朱章遐.含三角模糊參數(shù)的線性回歸模型的新解法[J].汕頭大學學報:自然科學版,2004,19(4):1-7.

[2] 謝季堅,劉承平.模糊數(shù)學方法及其應用[M].第2版.武漢:華中科技大學出版社, 2000:259-286.

[3] 史本廣,林恒強,史磊.小麥面粉指標關系中的 Fuzzy回歸分析[J].河南工業(yè)大學學報:自然科學版,2009,30(4):81-83.

[4] 曾繁慧.模糊線性回歸分析的結構元理輪[J].科學技術與工程,2005,5(10): 635-639.

[5] 趙宏霞,楊皎平,郭嗣琮.基于模糊結構元方法的模糊線性回歸模型[J].遼寧工程技術大學學報,2004,23(3):418-420.

[6] 肖辭源.工程模糊系統(tǒng)[M].北京:科學技術出版社,2004:259-263.

[7] 王金水,張麗萍,卞科,等.利用 HMW麥谷蛋白亞基組成建立小麥品質(zhì)鑒評程序[J].鄭州工程學院學報,2003,24(4):1-4.

FUZZY NONL INEAR REGRESSION ON THE INDEX RELATION OFWHEAT FLOUR

SH IBen-guang,XU Xiao-yan,CHENG Tao,KUANG Guo-guang
(School of Science,Hennan University of Technology,Zhengzhou450052,China)

The relationship among the indexes of wheat flourmostly shows fuzziness.The article analyzed the fuzzy relationship among the indexes of the wheat flour based on the Fuzzy structured element theory,and put for ward a Fuzzy nonlinear regression model for processing the fuzzy nonlinear relationship.The result shows that the model is feasible.Therefore,the article provides a novelmethod for processing the fuzzy relationship aswell as the references for comprehensive study ofwheat flour.

wheat flour index;fuzzy regression;Fuzzy number;parameter estimation

TS210

B

1673-2383(2010)03-0063-03

2010-04-12

河南省自然科學基金 (072300410100);河南工業(yè)大學自然科學基金(07XJC027)

史本廣(1954-),男,河南商丘人,教授,主要從事數(shù)學教學及不確定性數(shù)學的研究.