郭藝奪,張永順,童寧寧,沈 堤

(空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院,陜西 三原 713800)

0 引言

基于特征子空間的算法的共同特點(diǎn)是需進(jìn)行特征分解,但特征分解的運(yùn)算量大,算法復(fù)雜,工程實(shí)現(xiàn)較難。此外,這些特征分解及特征子空間方法是一類批處理方法,即在獲得所有觀測(cè)數(shù)據(jù)后進(jìn)行一次性處理。顯然,這種處理方法只適于參數(shù)或統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)和信號(hào),而不適于參數(shù)或統(tǒng)計(jì)特性時(shí)變的系統(tǒng)和信號(hào)。對(duì)此,研究者提出用子空間迭代和更新算法改進(jìn)特征子空間算法。YANG于1995年提出的映射逼近子空間算法是應(yīng)用較廣的一種估計(jì)信號(hào)子空間的快速算法,該算法的本質(zhì)是無(wú)約束最優(yōu)化,其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,只需迭代更新1個(gè)參數(shù),缺點(diǎn)是不能提供正交估計(jì)[1]。文獻(xiàn)[2、3]分別提出了改進(jìn)的正交化算法,雖可獲得正交的信號(hào)子空間基的估計(jì),但算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜,運(yùn)算量有所增加,需實(shí)時(shí)更新4個(gè)參數(shù)。文獻(xiàn)[4]提出了一種跟蹤噪聲子空間的FRANS算法,對(duì)數(shù)據(jù)映射方法采用快速正交化措施,但該種正交化處理并不穩(wěn)定且出現(xiàn)發(fā)散。

基于數(shù)據(jù)投影算法,本文提出了一種步長(zhǎng)為對(duì)角陣的正交DPM算法。

1 信號(hào)及噪聲子空間的正交迭代

文獻(xiàn)[5]證明,在平穩(wěn)狀況下所希望的靜態(tài)權(quán)重可通過(guò)極小化(對(duì)應(yīng)噪聲子空間估計(jì))或極大化(對(duì)應(yīng)信號(hào)子空間估計(jì))線性組合器輸出的均方值(代價(jià)函數(shù))Ψ求得,即

式中：E為數(shù)學(xué)期望;Y,X分別為線性組合器的輸出和輸入矢量;R為輸入矢量的協(xié)方差陣;U為N×m階加權(quán)陣,服從正交化約束條件

此處：Im為單位陣;上標(biāo)H表示共軛轉(zhuǎn)置。顯然,若信源數(shù)為L(zhǎng),對(duì)信號(hào)子空間的估計(jì)可選擇m=L,而對(duì)噪聲子空間的估計(jì),則選擇m=N-L。

因式(1)的代價(jià)函數(shù)Ψ是一約束極值化問(wèn)題,顯然可用梯度法(GET)實(shí)現(xiàn),即權(quán)矩陣的更新為

式中：T(n)為第n次迭代時(shí)GET法獲得的加權(quán)矩陣的估值;μ為收斂速率;n=1,2,…;Δ(n)為Ψ相對(duì)U(n)的梯度估計(jì)子,且

則式(3)、(4)可寫成

式中：Q(R)=I±μR。則可得

因R的特征值為減函數(shù),式(7)中取“+”時(shí)為最大化問(wèn)題,為估計(jì)信號(hào)子空間;取“-”時(shí),為最小化問(wèn)題,即為估計(jì)噪聲子空間。

當(dāng)數(shù)據(jù)的R無(wú)法一次性獲得,而只能獲得連續(xù)的數(shù)據(jù)矢量序列{x(n)}時(shí),可用一自適應(yīng)估計(jì)R(n)替代式(7)中的R,且R(n)滿足E[R(n)]=R。則自適應(yīng)的正交迭代算法可表示為

顯然,求解R(n)最簡(jiǎn)形式是對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的即時(shí)估計(jì)方法,即R(n)=x(n)(x(n))H。此處：x(n)為時(shí)刻n的數(shù)據(jù)矢量。則式(8)可表示為

式(9)～(11)即為常規(guī)DPM[5]。

2 步長(zhǎng)為對(duì)角陣的正交DPM

觀察DPM可發(fā)現(xiàn)：該算法每次迭代對(duì)T(n)的每列都使用相同步長(zhǎng)μ?？深A(yù)見,若每次迭代對(duì)T(n)的每列使用不同步長(zhǎng),則DPM的性能將會(huì)有進(jìn)一步提高,因?yàn)樽涌臻g每列可有不同的動(dòng)態(tài)收斂速度。因此,本文在DMP算法的基礎(chǔ)上,每次迭代時(shí)對(duì)T(n)的每列應(yīng)用不同的步長(zhǎng),并對(duì)所得每列進(jìn)行正交歸一化處理以使獲得的U(n)為標(biāo)準(zhǔn)正交陣。

2.1 算法描述

記第n次迭代中每列使用的步長(zhǎng)為μr(n)(r=1,…,m),則可得

為使U(n)為標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣,在每次迭代提取第r個(gè)特征向量Tr(n)時(shí),將其與前r-1個(gè)已得的特征向量作單位正交化處理,以保證已估得的r個(gè)特征向量均正交。同樣如此提取第r+1個(gè)特征向量,依此類推,直至所有特征向量都提取完。這樣,在每次迭代提取任一特征向量時(shí)都保證此特征向量與之前估計(jì)的特征向量正交,從而保證所有特征向量相互正交。設(shè)

為第n次迭代時(shí)r-1個(gè)已得的單位正交特征向量;Wr(n)為第n次迭代時(shí)第r個(gè)正交特征向量;Ur(n)為第n次迭代時(shí)第r個(gè)單位正交特征向量,則在第n次迭代時(shí)第r個(gè)特征向量時(shí)的單位正交化模型為

需指出,當(dāng)r=1時(shí),U1(n)可直接對(duì)T1(n)進(jìn)行單位化,即

2.2 最優(yōu)對(duì)角陣步長(zhǎng)求取

由前文可知,DPM算法在第n次快拍的代價(jià)函數(shù)

若忽略正交單位化這一個(gè)步驟,式(16)可用E[tr((T(n))HR(n)T(n))]近似表示。將T(n)代入其中,可得

式中：yr(n)為y(n)的第r個(gè)元素,且yr(n)=(Ur(n-1))Hx(n)。

為求得最優(yōu)的步長(zhǎng)因子μr(n),用式(17)對(duì)μr(n)求偏導(dǎo),并令該偏導(dǎo)為0,即

式中：r=1,…,m。求解式(18)可得

假設(shè)Ur(n-1),x(n)相互獨(dú)立,則可得μr(n)的估值

式中：γ,σ為可提高算法穩(wěn)定性的正常數(shù),0＜γ＜1;

此處：α為遺忘因子,且0＜α＜1;

3 仿真

因估計(jì)信號(hào)子空間的算法的性能與估計(jì)噪聲子空間的算法性能基本相同,仿真中只對(duì)估計(jì)噪聲子空間的算法進(jìn)行分析。仿真中,取α=0.998,γ=0.12,σ=0。

3.1 算法跟蹤性能分析

迭代初始值U(0)取為L(zhǎng)×L單位矩陣的前m列,陣元數(shù)為10。本文用MUSIC算法估計(jì)信號(hào)源的到達(dá)方向(DOA)[7]。

仿真1(算法對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能)：采用100次觀察,3個(gè)獨(dú)立信號(hào)源,方位分別為30°,-20°,-60°,其中30°信號(hào)源在前50個(gè)快拍按-0.2°/每次快拍數(shù)變化,后50個(gè)快拍信號(hào)的方位變?yōu)?5°,并按0.3°/每次快拍數(shù)變化;-20°信號(hào)源為一固定信號(hào)源;-60°信號(hào)源按0.2°/每次快拍數(shù)變化。仿真結(jié)果如圖1所示。圖中：θ為目標(biāo)的方位角。

圖1 對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤性能Fig.1 Tracking performance of mobiletarget

仿真2(算法對(duì)角度交叉目標(biāo)跟蹤性能)：采用200次觀察,2個(gè)獨(dú)立信號(hào)源,方位分別為30°,-30°,其中-30°信號(hào)源按0.3°/每次快拍數(shù)變化,30°信號(hào)源按-0.3°/每次快拍數(shù)變化。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 對(duì)角度交叉目標(biāo)的跟蹤性能Fig.2 Tracking perf ormance of crossing targets

由圖1、2可知：本文的步長(zhǎng)為對(duì)角陣的正交DPM算法均以較高的精度和穩(wěn)定性跟蹤各種目標(biāo),說(shuō)明本文算法有效。

3.2 算法統(tǒng)計(jì)性能分析

仿真中,取數(shù)據(jù)協(xié)方差陣

其中：L=4,m=2。R的特征值為0.015 7,0.169 0,0.605 8,2.309 6。為描述算法的統(tǒng)計(jì)性能,定義反映算法統(tǒng)計(jì)性能的平均性能因子為

式中：r為每次快拍算法運(yùn)行的次數(shù),仿真中r0=50;表示取Frobenius范數(shù);E1,E2分別表示實(shí)際的信號(hào)和噪聲子空間[8]。ρ(n)表征噪聲子空間的估計(jì)精度,若欲衡量信號(hào)子空間的估計(jì)精度,則只需將ρ(n)中的E1,E2互換即可。η(n)表示估計(jì)噪聲子空間的正交性誤差。初始值U(0)選為矩陣IL的前2列,約束條件為(U(0))HU(0)=IM。

文獻(xiàn)[4]FRANS算法、文獻(xiàn)[9]FDPM算法與本文算法的比較分別如圖3、4所示。仿真中僅取H(R)=R估計(jì)噪聲子空間的這種算法。其中,FRANS,FDPM算法中μ=0.02。

圖3 不同算法的跟蹤精度Fig.3 Tracking precision of various algorithms

由圖3可知：FRANS,FDPM兩種算法的跟蹤精度曲線基本重合,其跟蹤性能基本相同,但與本文算法相比,其跟蹤精度較差,這是因?yàn)楸疚乃惴ǖ拿看蔚鷮?duì)U(n)的每列應(yīng)用的步長(zhǎng)不同,提高了性能。由圖4可知：FDPM算法和本文算法是穩(wěn)定的,FRANS算法正交性誤差隨迭代次數(shù)的增加而迅速增大,但本文算法噪聲子空間估計(jì)的正交誤差小于FDPM算法。

圖4 不同算法的正交性誤差Fig.4 Orthonormal error of various algorithm

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在常規(guī)的DPM算法的基礎(chǔ)上,提出一種步長(zhǎng)為對(duì)角陣的正交DPM算法。該算法每次迭代時(shí)對(duì)估計(jì)的子空間的每列應(yīng)用不同的步長(zhǎng),并對(duì)所得的每列作正交歸一化處理,由此保證估計(jì)的子空間為標(biāo)準(zhǔn)正交,運(yùn)行時(shí)不存在累積性誤差;又因采用“自適應(yīng)”而非固定步長(zhǎng),能更好地匹配子空間的動(dòng)態(tài)收斂速度。因此,相對(duì)其他算法(如FRANS,FDPM算法)來(lái)說(shuō),該算法的跟蹤性能更優(yōu)。仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性。

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