安徽省肥東縣二中 王敬鋒 (郵編:231600)

合肥市168中學(xué) 翟榮寶 (郵編:230001)

我們知道對(duì)于n個(gè)正常數(shù)ai(i=1,2,…,n),由柯西不等式易知:

定理1 對(duì)于n個(gè)正常數(shù)ai(i=1,2,…,n),

構(gòu)造函數(shù):g(x)=xα-αx+α-1,

x ∈ (0,+∞).因 g′(x)=α(xα-1-1),則g(x)在x∈(0,1)單調(diào)下降,在x∈(1,+∞)單調(diào)上升,

∴g(x)≥g(1)=0對(duì)x＞0恒成立.

所以欲證不等式也成立.證畢.

易知f(-1)是n個(gè)正常數(shù)ai(i=1,2,…,n)的調(diào)和平均數(shù).由定理三易推出結(jié)論:f(-∞)≤f(-1)≤f(0)≤f(1)≤f(+∞),這就是我們常用的重要不等式:

總結(jié) 由此可見(jiàn),函數(shù) f(x)的性質(zhì)反映了許多重要不等式的信息,研究此函數(shù)的性質(zhì)是一件很有意義的事,本文只是拋磚引玉,該函數(shù)的更多精彩性質(zhì)有待大家開(kāi)發(fā)!