孫慶利

（濟(jì)南大學(xué)工程訓(xùn)練中心，山東濟(jì)南250022）

簡(jiǎn)介水泥實(shí)驗(yàn)室常用樣本分布特征值的Excel計(jì)算

孫慶利

（濟(jì)南大學(xué)工程訓(xùn)練中心，山東濟(jì)南250022）

以水泥實(shí)驗(yàn)室常用樣本分布特征值為例，運(yùn)用Excel進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的輔助計(jì)算，顯示了Excel運(yùn)算迅速、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。

樣本分布特征值Excel函數(shù)計(jì)算

研究或統(tǒng)計(jì)分析的對(duì)象的全體元素組成的集合稱(chēng)為總體或母體。在統(tǒng)計(jì)工作中，可以根據(jù)產(chǎn)品的質(zhì)量管理規(guī)程或?qū)嶋H工作需要，選定總體的范圍，如每個(gè)月的出廠(chǎng)水泥，某一批進(jìn)廠(chǎng)煤或原材料，都可視為一個(gè)總體。要了解總體的性質(zhì)，理論上必須對(duì)全部個(gè)體的性質(zhì)進(jìn)行測(cè)定，這在實(shí)際中往往是不可能的。在實(shí)際工作中只能從總體中抽取一定數(shù)量的、有代表性的個(gè)體組成樣本，通過(guò)對(duì)樣本的測(cè)量，并借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)手段，對(duì)總體的分布中心和標(biāo)準(zhǔn)偏差進(jìn)行推斷，從而掌握總體的性質(zhì)。

來(lái)自總體的部分個(gè)體的集合，稱(chēng)為樣本或子樣。樣本中所含樣品的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本容量或樣本大小。若樣本容量適當(dāng)大，并且抽樣的代表性強(qiáng)，則通過(guò)檢測(cè)得到的分布特征值，就能很好地代表總體的分布特征值。在實(shí)際運(yùn)用中，為了對(duì)總體情況有一個(gè)概括了解，需要用幾個(gè)數(shù)字表達(dá)出總體情況。這少數(shù)幾個(gè)數(shù)字在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為特征值。因此，在進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷前確定樣本分布的特征值，具有重要的實(shí)用價(jià)值。

常用的樣本分布特征值分為兩類(lèi)：一是位置特征值；二是離散特征值。

位置特征值一般是指平均值，它是分析計(jì)量數(shù)據(jù)的基本指標(biāo)。它們表達(dá)了數(shù)據(jù)的集中位置。反映了數(shù)據(jù)共同趨向的平均水平。位置特征值一般包括算術(shù)平均值、幾何平均值、加權(quán)平均值、中位數(shù)、眾數(shù)等。

離散特征值用來(lái)表示一組測(cè)量數(shù)據(jù)波動(dòng)程度或離散性質(zhì)，是表示一組測(cè)定值中各測(cè)定值相對(duì)于某一確定的數(shù)而言的偏差程度。一般是把各測(cè)定值相對(duì)于平均值的差異作為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行分析。常用的離散特征值有平均差、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)偏差、變異系數(shù)等。

下面就對(duì)使用Excel工具對(duì)水泥實(shí)驗(yàn)室常用樣本分布特征值的計(jì)算進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

1 表示樣本分布位置的特征值（樣本分布中心）

1.1 算術(shù)平均值

將一組測(cè)定值相加和，除以該組樣本的容量（測(cè)定所得到的測(cè)定數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)），所得的商即為算術(shù)平均值。設(shè)有一組測(cè)定數(shù)據(jù)，以x1，x2，…，xn表示。這組數(shù)據(jù)共由n個(gè)數(shù)據(jù)組成，其算術(shù)平均值見(jiàn)式（1）：

式中：x1，x2，…，xn——各測(cè)量值；

n——樣本的容量。

例1：對(duì)水泥中三氧化硫含量（%）的測(cè)定，得到10個(gè)數(shù)據(jù)：2.8、2.9、2.6、2.7、2.8、2.8、2.9、2.8、2.8、2.6。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；選擇常用函數(shù)“=AVERAGE（B3:K3）”；然后點(diǎn)擊“確定”即可得到其算術(shù)平均值為2.77，見(jiàn)圖1。

圖1 算術(shù)平均值的計(jì)算

1.2 加權(quán)平均值

加權(quán)平均值是考慮了每個(gè)測(cè)量值的相應(yīng)權(quán)的算術(shù)平均值。將各測(cè)量值乘以與其相應(yīng)的權(quán)，將各乘積相加后，除以權(quán)數(shù)之和，即為加權(quán)平均值。其計(jì)算公式如下。

式中：x1，x2，…xn——各測(cè)量值；

w1，w2，…wn——各測(cè)量值相應(yīng)的權(quán)；

Σwi——各相應(yīng)權(quán)的總和；

Σwixi——各測(cè)量值與相應(yīng)權(quán)乘積之和。

例2：某水泥企業(yè)有三臺(tái)回轉(zhuǎn)窯。1號(hào)窯年產(chǎn)20萬(wàn)噸熟料，平均抗壓強(qiáng)度為58.5MPa；2號(hào)窯年產(chǎn)15萬(wàn)噸熟料，平均抗壓強(qiáng)度為57.8MPa；3號(hào)窯年產(chǎn)12萬(wàn)噸熟料，平均抗壓強(qiáng)度為59.2MPa。求全廠(chǎng)全年生產(chǎn)的熟料的綜合抗壓強(qiáng)度。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值和權(quán)；選中“B5”單元格；輸入公式“=B3*B4”點(diǎn)擊“確定”再用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊“B5”單元格，B5就被黑框框住，而且在黑框的右下角有個(gè)小黑方塊，將鼠標(biāo)移動(dòng)到這個(gè)小黑方塊（填充句柄）上，鼠標(biāo)變成“+”的形狀，此時(shí)按下鼠標(biāo)向右拖至D5，再釋放鼠標(biāo)，其它的分子值就計(jì)算出來(lái)了。這里將這種方法稱(chēng)為填充句柄法。

選中“E5”單元格，選擇常用函數(shù)“SUM（B5: D5）”；然后點(diǎn)擊“確定”即可得到整個(gè)分子之和；

選中“E4”單元格，選擇常用函數(shù)“SUM（B4: D4）”；然后點(diǎn)擊“確定”即可得到整個(gè)權(quán)之和；

選中“B6”單元格，輸入公式“=E5/E4”，然后點(diǎn)擊“確定”即可得到加權(quán)平均值。見(jiàn)圖2。

圖2 加權(quán)平均值的計(jì)算

1.3 中位數(shù)

中位數(shù)也是表示頻率分布集中位置的一種特征值。其意義是將一批測(cè)量數(shù)據(jù)按大小順序排列，居于中間位置的測(cè)量值，稱(chēng)為這批測(cè)量值的中位數(shù)。當(dāng)測(cè)量值的個(gè)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，第（n+1）/2項(xiàng)為中位數(shù)；當(dāng)測(cè)量值的個(gè)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，位居中央的兩項(xiàng)之平均數(shù)即為中位數(shù)。

例3：對(duì)出磨水泥每2小時(shí)測(cè)定一次三氧化硫含量，某日共得12個(gè)測(cè)量值：2.86、2.91、2.65、2.70、2.82、2.73、2.88、2.92、2.75、2.84、2.77、2.85。求這組測(cè)量值的中位數(shù)。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入統(tǒng)計(jì)函數(shù)“=MEDIAN(B3:M 3)”,然后點(diǎn)擊“確定”即可得到中位數(shù)。見(jiàn)圖3。

圖3 中位數(shù)的計(jì)算

1.4 眾數(shù)

眾數(shù)是指在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的測(cè)量值。

例4：某水泥企業(yè)控制出磨水泥的細(xì)度（篩余）范圍為7.0%±1.0%。每小時(shí)測(cè)定一次，某日早班的測(cè)量數(shù)據(jù)（%）如下：7.4、7.1、7.8、7.4、7.5、7.4、7.6、7.5。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入統(tǒng)計(jì)函數(shù)“=MODE（B3:I3）”,然后點(diǎn)擊“確定”即可得到眾數(shù)為7.4，見(jiàn)圖4。

圖4 眾數(shù)的計(jì)算

1.5 均方根平均值

均方根平均值是各測(cè)量值平方之和除以測(cè)量值個(gè)數(shù)所得商值的平方根。計(jì)算式如下：

式中：x1，x2，…，xn——各測(cè)量值；

n——測(cè)量值的個(gè)數(shù)；

Σxi2——各測(cè)量值的平方之和。

例5：某班對(duì)出磨水泥細(xì)度的測(cè)量值（篩余%）為：7.2、7.3、7.4、8.8、7.9、7.6、7.4、7.5。求該班出磨水泥的平均細(xì)度。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入公式“=POWER（B3，2）”點(diǎn)擊“確定”再用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊“B4”單元格，B4就被黑框框住，運(yùn)用填充句柄法，按下鼠標(biāo)向右拖至I4，再釋放鼠標(biāo)，其它的測(cè)量值的平方就計(jì)算出來(lái)了。

選中“J4”單元格，選擇常用函數(shù)“SUM（B4: I4）”；然后點(diǎn)擊“確定”即可得到整個(gè)測(cè)量值的平方之和。

圖5 均方根平均值的計(jì)算

選中“B5”單元格，輸入公式“=SQRT（J4/8）”，然后點(diǎn)擊“確定”即可得到均方根平均值。見(jiàn)圖5。另外一個(gè)方法：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入函數(shù)“=SQRT（SUMSQ（B3:I3）/8）”,然后點(diǎn)擊“確定”也可得到均方根平均值。

2 表示測(cè)量值離散性質(zhì)的特征值

2.1 極差R

極差是最簡(jiǎn)單、最易了解的表示測(cè)量值離散性質(zhì)的一個(gè)特征值。極差又稱(chēng)全距，或范圍誤差，即在一組測(cè)量數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，見(jiàn)下式：

例6：測(cè)得三塊試體的抗壓強(qiáng)度為58.7、57.8、59.2、59.8、58.4、58.8（MPa），求此組試體的抗壓強(qiáng)度的極差。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入函數(shù)“=MAX（B3:G3）-M IN（B3:G3）”，然后點(diǎn)擊“確定”即可得到極差為2，見(jiàn)圖6。

圖6 極差的計(jì)算

2.2 平均絕對(duì)偏差

一組測(cè)量數(shù)據(jù)中各測(cè)量值與該組數(shù)據(jù)平均值之偏差的絕對(duì)值的平均數(shù)，稱(chēng)為平均絕對(duì)偏差，見(jiàn)下式。

式中：d——平均絕對(duì)偏差；

di——某一測(cè)量值xi與平均值x之差。

例7：以氟硅酸鉀容量法測(cè)定某水泥熟料樣品中二氧化硅的含量（%），所得結(jié)果為：21.50、21.53、21.48、21.57、21.52。計(jì)算該組測(cè)量結(jié)果的平均絕對(duì)偏差。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入函數(shù)“=ABS[B3-AVERAGE（$B$3:$F $3）]”,然后點(diǎn)擊“確定”即可得到x1與平均值之差。再用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊“B4”單元格，B4就被黑框框住，運(yùn)用填充句柄法，此時(shí)按下鼠標(biāo)向右拖至F4，再釋放鼠標(biāo)，其它的測(cè)量值與平均值之差就計(jì)算出來(lái)了。然后點(diǎn)擊B5輸入公式“=SUM（B4:F4）/5”，再點(diǎn)擊“確定”則得到平均絕對(duì)偏差為0.024，見(jiàn)圖7。

圖7 平均絕對(duì)偏差的計(jì)算

另外一個(gè)方法：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入統(tǒng)計(jì)函數(shù)“=AVEDEV（B3:F3）”，然后點(diǎn)擊“確定”也可得到平均絕對(duì)偏差。

2.3 方差

方差是指各測(cè)量值與平均值的偏差平方和除以測(cè)量值個(gè)數(shù)而得的結(jié)果。采用平方可以消除正負(fù)號(hào)對(duì)差值的影響。

總體方差以δ2來(lái)表示，但在實(shí)際工作中，往往用樣本的方差s2來(lái)估計(jì)總體的方差。s2的計(jì)算式如下：

式中：xi——樣本中每個(gè)測(cè)量值（變量）；

x——樣本平均值；

n——樣本容量。

例8：某廠(chǎng)有一臺(tái)水泥磨，在同一班里測(cè)定了出磨水泥的細(xì)度（篩余%）：7.4、7.5、7.6、8.0、7.9、7.6、7.6、7.5。計(jì)算其方差。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“C4”單元格；輸入公式“=C3-AVERAGE（$C$3:$J$3）”,然后點(diǎn)擊“確定”即可得到x1與平均值之差。再用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)擊“C4”單元格，C4就被黑框框住，運(yùn)用填充句柄法，此時(shí)按下鼠標(biāo)向右拖至J4，再釋放鼠標(biāo)，其它的測(cè)量值與平均值之差就計(jì)算出來(lái)了（注，參考文獻(xiàn)[1]的4號(hào)數(shù)據(jù)計(jì)算有誤）。然后點(diǎn)擊C5輸入公式“=C4^2”，點(diǎn)擊“確定”即可。然后點(diǎn)擊C5，它就被黑框框住，運(yùn)用填充句柄法，此時(shí)按下鼠標(biāo)向右拖至J5，再釋放鼠標(biāo)，其它的測(cè)量值與平均值之差的平方值就計(jì)算出來(lái)了。然后點(diǎn)擊C6，輸入公式“=SUM（C5:J5）/（8-1）”便得到結(jié)果為0.042679，見(jiàn)圖8。

圖8 方差的計(jì)算

另外一種方法：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入統(tǒng)計(jì)函數(shù)“=VAR（B3:I3）”,然后點(diǎn)擊“確定”也可得到方差。

2.4 標(biāo)準(zhǔn)偏差

標(biāo)準(zhǔn)偏差又稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差或均方差、均方根差。在描述測(cè)量值離散程度的各特征值中，標(biāo)準(zhǔn)偏差是一項(xiàng)最重要的特征值，一般將平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差兩者結(jié)合起來(lái)即能全面地表明一組測(cè)量值的分布情況。

總體標(biāo)準(zhǔn)偏差以δ來(lái)表示，但在實(shí)際工作中，以樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s來(lái)估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)偏差，這時(shí)，s的計(jì)算式如下：

式中：s——總體標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差，或?qū)嶒?yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差；

x——樣本平均值；

n-1——樣本自由度（記為f），n為樣本容量。

例9：水泥熟料中二氧化硅測(cè)定結(jié)果（%）為：21.50、21.53、21.48、21.57、21.52、21.56、21.52、21.53、21.46、21.48。計(jì)算該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

Excel計(jì)算如下：輸入各測(cè)定值；選中“B4”單元格；輸入統(tǒng)計(jì)函數(shù)“=STDEV（B3:K3）”，然后點(diǎn)擊“確定”即可得到標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.035355，見(jiàn)圖9。

圖9 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算

關(guān)于變異系數(shù)的計(jì)算讀者可以按照上面的計(jì)算分別計(jì)算出它的分子部分和分母部分，然后自行求出數(shù)據(jù)的變異系數(shù)，這里從略。

[1]中國(guó)建筑材料檢驗(yàn)認(rèn)證中心、國(guó)家水泥質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)中心編著.水泥實(shí)驗(yàn)室工作手冊(cè)[M].第一版，北京：中國(guó)建材工業(yè)出版社，2009年.

[2]蘇華等編著.Excel2003函數(shù)在辦公中的應(yīng)用[M].第一版，北京：人民郵電出版社，2007年.

（編輯：張煢鶯）

TQ172.16 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1007-6344（2010）03-0045-04

2009-10-20】