覃 舟,劉進(jìn)生

(太原理工大學(xué) 理學(xué)院,太原 030024)

非線性差分方程來源于科學(xué)研究的多個(gè)領(lǐng)域,尤其在計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、動力系統(tǒng)及經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面受到了廣泛的關(guān)注。因此,許多學(xué)者利用非線性泛函分析的方法研究了非線性離散邊值問題解的存在性與多重性。

蔡曉春、周夢在文獻(xiàn)[1]中研究了二階離散邊值問題

解的多重性。他們運(yùn)用臨界點(diǎn)理論中著名的山路引理,在一定的假設(shè)條件下證明了問題(1)至少有兩個(gè)解。

本文也研究問題(1)的多解性,我們利用一個(gè)臨界點(diǎn)存在性定理,結(jié)合上下解方法,最終證明了該問題至少有四個(gè)解。

全文假設(shè)R1和Z分別為實(shí)數(shù)集和整數(shù)集,對任意a,b∈Z,a＜b,記[a,b]∶={a,a+1,…,b}。Δ是向前差分算子,即

δ＞0,(-1)δ=-1,A0,B0為常數(shù)。{p n},{qn}是兩個(gè)實(shí)數(shù)列,對任意的(n,z)∈Z×R1,f：Z×R1→R1關(guān)于第二個(gè)變量連續(xù)。

1 預(yù)備知識

記H=Rk,則H是k維Hilbert空間。H 上的內(nèi)積為由它誘導(dǎo)的范數(shù)為

在 H上,對?r＞1,我們也使用范數(shù)

因?yàn)镠是有限維Hilbert空間,所以范數(shù)是等價(jià)的,于是,當(dāng) δ＞0,β＞1時(shí),分別存在正常數(shù)c0,c和d 0,d,使得

在H中定義錐

易知P是一個(gè)正規(guī)體錐。其內(nèi)部為

并且在H中定義半序關(guān)系為u≤v?v-u∈P,同時(shí)記u＜v?u≤v且u≠v;u?v?v-u∈P?.

設(shè)算子B：H→H,如果對?u,v∈H,u≤v蘊(yùn)涵Bu≤Bv,則稱B為增算子。

對于問題(1),若存在v∈H使得

則稱v是問題(1)的一個(gè)上解;而當(dāng)其反向的不等式成立時(shí),稱v是問題(1)的一個(gè)下解。

在H上定義泛函

從而J的臨界點(diǎn)等價(jià)于問題(1)的解。易知

其中

因此,若記

則算子B ：H →H,并且J′(u)=u-Bu.

下列引理是本文主要結(jié)果的理論依據(jù)。

引理[2]設(shè) H 是 Hilbert空間,f：H →R1是C1泛函,滿足 P.S.條件 ,f′(u)可以表為 f′(u)=u-Bu的形式。設(shè)D1和D2是H中的開凸集,滿足條件

如果存在一條道路h：[0,1]→H,使得

并且

2 主要結(jié)果

定理 如果A0=B0=0及下列條件滿足：

(H 1) 問題(1)存在上、下解 x,y,并且 x?y;

(H 2) B：H→H 是增算子;

(H3) 存在 M＞0及β＞δ+1,使得|z|≥M時(shí),μzf(t,z)≤F(t,z)＜0,其中 μ=1/β.則問題(1)至少存在四個(gè)解。

證明 定義

顯然D1,D2是 H中的開凸集。因?yàn)?x,y是問題(1)的上、下解,所以 x?Bx,By?y.因?yàn)?x?y,所以D1∩D 2={u∈H,x?u?y}≠?。設(shè) u∈?D1,那么u≤y,因?yàn)?B：H→H 是增算子,所以Bu≤By?y,即B(?D 1)?D1,同理 B(?D2)?D 2。

所以

只要R充分大。

J在H上滿足P.S.條件的證明見[1]。

所以 φ(t)＞0,而 φ(t)在[0,1]上連續(xù),所以存在常數(shù)c1＞0使得 φ(t)≥c1＞0,?t∈[0,1].所以

由假設(shè)條件(H3)可知存在常數(shù)a1,a2＞0,β＞δ+1,使得對?u∈Rk,有

于是

注意到a2,c1＞0,β＞δ+1,所以

從而當(dāng)R充分大時(shí),

于是泛函J在H上滿足引理的所有假設(shè)條件,再由引理1知問題(1)至少存在四個(gè)解。

最后我們給出一個(gè)滿足定理假設(shè)條件的例子。

例 考慮問題

那么u?v,并且

而 ui,v i∈[1,4],i=1,2,3,所以A u?F(u),F(v)?A v,從而

所以v,u分別是問題(2)的上、下解。

任取 x,y∈H,并且 x≤y,注意到

其中I是三階單位矩陣,所以(I+A)(y-x)≥0,即x+A x≤y+A y,又因?yàn)?f在R1上是減函數(shù),所以-F(x)≤-F(y),從而 x+A x-F(x)≤y+A y-F(y),即Bx≤By,所以B為增算子。

于是由定理1知問題(2)至少存在四個(gè)解。

[1] 蔡曉春,周夢.二階離散邊值問題的臨界點(diǎn)方法[J].湖南大學(xué)學(xué)報(bào),2006,33(6)：130-132.

[2] Liu Z,Sun J.Invariant sets of descending flow in critical point theory with applications to nonlinear differential equations[J].JDifferential Equations,2001,172(2)：257-299.

[3] 郭志明,庾建設(shè).二階超線性差分方程周期解與次調(diào)和解的存在性[J].中國科學(xué)(A輯),2003,33：226-235.

[4] Han G,Li F.Multiple solutions of some four-order boundary value problems[J].Nonlinear Anal,2007,66：2591-2603.