謝長(zhǎng)珍，陳桂章

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系, 廣東 汕頭 515063）

高收斂階采樣定理的構(gòu)造

謝長(zhǎng)珍，陳桂章

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系, 廣東 汕頭 515063）

基于過(guò)采樣技術(shù)，對(duì)Shannon采樣定理進(jìn)行了改進(jìn)，得到高逼近階采樣定理，提升了其收斂速度.

Shannon采樣定理；過(guò)采樣；收斂階

0 引 言

香農(nóng)（Shannon）采樣定理，又稱(chēng)奈奎斯特采樣定理，是信息論、特別是通訊與信號(hào)處理學(xué)科中的一個(gè)重要基本定理，在信號(hào)處理中有著十分重要的地位，是數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化為模擬信號(hào)的理論基礎(chǔ).采樣是將一個(gè)信號(hào)（即時(shí)間或空間上的連續(xù)函數(shù)）轉(zhuǎn)換成一個(gè)數(shù)值序列（即時(shí)間或空間上的離散函數(shù)）.香農(nóng)采樣定理指出，如果信號(hào)是帶限的，并且采樣頻率高于信號(hào)帶寬的一倍，那么，原來(lái)的連續(xù)信號(hào)可以從采樣樣本中完全重建出來(lái)[1].從信號(hào)處理的角度來(lái)看，采樣定理描述了兩個(gè)過(guò)程：其一是采樣，這一過(guò)程將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)；其二是信號(hào)的重建，這一過(guò)程離散信號(hào)還原成連續(xù)信號(hào).眾所周知，Shannon采樣定理在重構(gòu)信號(hào)時(shí)收斂速度很慢，影響了它在實(shí)際工作中的應(yīng)用.為了提升其收斂速度，Walter[2]首先將Shannon采樣定理推廣到小波子空間，得到了小波子空間上的采樣定理.王旭、鄧彩霞和朱建立[3]從線性變換的角度出發(fā)，結(jié)合再生核Hilbert空間中再生核函數(shù)的特殊性質(zhì)，建立了再生核Hilbert空間中函數(shù)的采樣定理.Liu Youming等人[4]構(gòu)造出一類(lèi)帶限基插值小波，其對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)具有Shannon尺度函數(shù)類(lèi)似的性質(zhì)，如頻帶有限性、平移正交性和插值性等.更多有關(guān)采樣定理的研究見(jiàn)文獻(xiàn)［5-7］.Boggess等人[8]采用過(guò)采樣技術(shù)，得到了過(guò)采樣定理，且增加了它的收斂速度.基于過(guò)采樣思想，本文對(duì)Shannon采樣定理做了進(jìn)一步研究，得到新的采樣算法，其收斂速度高于文獻(xiàn)［8］中采樣定理的收斂速度.

1 采樣定理的構(gòu)造

首先介紹本文使用的一些記號(hào)，e表示自然對(duì)數(shù)的底，i表示虛數(shù)單位；j，n均表示整數(shù).

引理1[1]設(shè)是分段光滑且連續(xù)的帶限信號(hào)，即其中Ω是正數(shù).則， 其中為常數(shù).

引理2[1]設(shè)f（λ）是分段光滑且連續(xù)的帶限信號(hào)，即Suppf?[-Ω，Ω]，其中Ω是正數(shù).那么 f（t）可以由其離散采樣點(diǎn) tj=jπ /Ω， j=0，± 1，± 2，…處的值精確重構(gòu).即 f可以精確地表示為如下形式：

且上面的級(jí)數(shù)是一致收斂的.

從引理2可以看到，其系數(shù)絕對(duì)值的衰減率只為1/j，重構(gòu)f（t）的收斂速度比較慢.為了提高收斂速度，文獻(xiàn)［3］給出了下面的過(guò)采樣定理.

圖1 a（λ）的圖形

證明 下面分四步來(lái)計(jì)算

的值.

而

所以有：

類(lèi)似地，可以計(jì)算：

所以，

第三步，計(jì)算

定理2 設(shè)ga（t）為定理1中式（2）定義的函數(shù)，則對(duì)任意分段光滑且連續(xù)的帶限信號(hào) f（即 Suppf?[- Ω，Ω ]）均有：

2 結(jié) 語(yǔ)

從定理2中的式（3）與引理3的重構(gòu)結(jié)果相比來(lái)看, 式（3）提升了重構(gòu)帶限信號(hào)f的收斂速度，使其收斂階由O（n-2）增加到O（n-3），且在b不大于引理3中的h的條件下，并沒(méi)有增加采樣點(diǎn)的個(gè)數(shù).

[1]Shannon C E.Communication in the presence of noise[J].Pro IRE， 1949（37）： 10-21.

[2]Walter G G. A sampling theorem for wavelet subspace[J]. IEEE Trans Informat Theory，1992（8）： 881-884.

[3]王旭，鄧彩霞，朱建立.再生核Hilbert空間中的采樣定理[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（18）：66-68.

[4]Liu Youming， Walter G G.A class of band-limited cardinal wavelets[J].Adv in Math（China），1997（26）： 523-528.

[5]王里青，徐瓊，王鳳瓊.關(guān)于Shannon采樣定理的一點(diǎn)注記[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)，2004（41）：1076-1077.

[6]楊守志，程正興，唐遠(yuǎn)炎.二維連續(xù)信號(hào)的近似采樣定理[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003（24）：1097-1203.

[7]杜學(xué)明，楊萬(wàn)年.關(guān)于小波子空間上的具有緊支撐的采樣定理[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002（25）： 79-82.

[8]Boggess A，Narcowich F J.小波與傅里葉分析基礎(chǔ)[M].芮國(guó)勝，康健，譯.北京：電子工業(yè)出版社，2004.

Abstract：Based on the oversampling method， Shannon sampling theorem is improved and a new sampling theorem with high convergence order is obtained.

Key words：Shannon sampling theorem； oversampling； convergence order

Construction of Sampling Theorem with High Convergence Order

XIE Chang-zhen，CHEN Gui-zhang
（Department of Mathematics， Shantou University， Shantou 515063， Guangdong， China）

O 174.2

A

1001-4217（2010）04-0033-05

2010-04-29

謝長(zhǎng)珍（1964－），女，河南南陽(yáng)人，副教授，碩士生導(dǎo)師.研究方向：小波分析.E-mail：czxie@stu.edu.cn

汕頭大學(xué)科研基金項(xiàng)目（YR09010）