馬 堃，褚 園

(黃山學(xué)院信息工程學(xué)院,安徽黃山245021)

均勻帶電細(xì)圓環(huán)電勢(shì)的空間分布

馬 堃，褚 園

(黃山學(xué)院信息工程學(xué)院,安徽黃山245021)

利用電勢(shì)的定義式及電勢(shì)的疊加原理，借助特殊函數(shù)論，導(dǎo)出了均勻帶電細(xì)圓環(huán)電勢(shì)的空間分布函數(shù)表達(dá)式，并借助Mathematica軟件給出了電勢(shì)與空間位置關(guān)系的二維和三維函數(shù)圖像。

均勻帶電圓環(huán)；電勢(shì)分布；Mathematica

均勻帶電細(xì)圓環(huán)周?chē)臻g電勢(shì)和電場(chǎng)的分布是電磁學(xué)中經(jīng)常研究的問(wèn)題。[1-5]教材中，一般只給出在通過(guò)細(xì)圓環(huán)中心軸線上的電勢(shì)和電場(chǎng)分布，對(duì)于全空間的分布討論很少。[6,7]文獻(xiàn)[4]直接由電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式計(jì)算了均勻帶電細(xì)圓環(huán)在空間的電場(chǎng)分布，繪制出電場(chǎng)量值的空間二維分布圖；文獻(xiàn)[5]在柱坐標(biāo)系中根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算公式，計(jì)算了均勻帶電圓環(huán)在空間的電場(chǎng)分布，給出了級(jí)數(shù)形式解。本文將在直角坐標(biāo)系中，直接利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)的計(jì)算公式及電勢(shì)疊加原理，導(dǎo)出電勢(shì)空間分布的函數(shù)表達(dá)式，并借助Mathematica計(jì)算軟件，繪出電勢(shì)與空間位置關(guān)系的二維和三維函數(shù)圖像。

1 均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電勢(shì)

如圖1所示，設(shè)均勻帶電細(xì)圓環(huán)的圓心為O，半徑為R，電荷線密度為λ，如圖建立坐標(biāo)系，A是x軸上的一點(diǎn)，且OA=x，AB垂直于圓環(huán)所在的平面，AB=z，以無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則B的電勢(shì)可如下求解：將細(xì)圓環(huán)分割成無(wú)限多個(gè)小的線元，取P處一個(gè)小線元，其長(zhǎng)度為dl=Rdθ，則該線元在的B電勢(shì)可表示為

圖1 均勻帶電圓環(huán)電勢(shì)計(jì)算用圖

其中

所以

令

則

再令

上式即為均勻帶電細(xì)圓環(huán)電勢(shì)的空間分布函數(shù)表達(dá)式，其中EllipticK表示第一類(lèi)全橢圓積分，[8]即

2 討論

2.1 均勻帶電細(xì)圓環(huán)中心軸線上的電勢(shì)

令(9)式中的x=0，從而得到均勻帶電細(xì)圓環(huán)中心軸線上的電勢(shì)分布函數(shù)，即

上式中Q是細(xì)圓環(huán)所帶的總電量，這與教材給出的結(jié)論一樣。[6,7]

利用Mathematica命令，可以作出均勻帶電細(xì)圓環(huán)中心軸線上電勢(shì)分布的二維函數(shù)圖形，這里取λ/ε0=1及R=1，如圖2。

圖2 均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的電勢(shì)分布

從圖2可以看出，均勻帶電圓環(huán)中心軸線上的電勢(shì)呈對(duì)稱分布，在z=0處，即在圓心處電勢(shì)最強(qiáng)，兩邊電勢(shì)對(duì)稱遞減。

2.2 均勻帶電圓環(huán)所在平面上的電勢(shì)

令(9)式中的z=0，從而得到均勻帶點(diǎn)圓環(huán)在環(huán)面上任意點(diǎn)的電勢(shì)分布函數(shù)，即

利用Mathematica命令，可以作出均勻帶電細(xì)圓環(huán)所在平面上電勢(shì)分布三維圖形，這里取λ/ε0=1及R=1，如圖3。

圖3 均勻帶電圓環(huán)所在平面上的電勢(shì)分布

從圖3可以看出，均勻帶電圓環(huán)平面上的電勢(shì)也呈對(duì)稱分布，在處x=±1，即在細(xì)圓環(huán)上電勢(shì)最強(qiáng)，兩邊電勢(shì)對(duì)稱遞減。

2.3 均勻帶電圓環(huán)空間的電勢(shì)分布

利用Mathematica命令，作出均勻帶點(diǎn)圓環(huán)空間的電勢(shì)分布的三維函數(shù)圖形，這里取λ/ε0=1及R=1,如圖4。

圖4 均勻帶電圓環(huán)空間的電勢(shì)分布

從圖4可以看出，均勻帶電圓環(huán)空間的電勢(shì)分布情況：

1.在z=±1及x=0處出現(xiàn)極大值，即細(xì)圓環(huán)上的電勢(shì)極大，以這兩點(diǎn)為中心，整個(gè)空間電勢(shì)呈對(duì)稱分布；

2.在垂直于圓環(huán)所在平面軸線上的電勢(shì)分布，以盤(pán)面為中心，對(duì)稱分布，盤(pán)面處電勢(shì)極大，兩邊對(duì)稱遞減;

3.圓環(huán)所在平面上的電勢(shì)分布，以圓環(huán)為中心，對(duì)稱分布，圓環(huán)上的電勢(shì)極大，兩邊沿徑向?qū)ΨQ遞減。

3 總結(jié)

本文在直角坐標(biāo)系中，直接利用點(diǎn)電荷的電勢(shì)的計(jì)算公式及電勢(shì)疊加原理，給出電勢(shì)空間分布的函數(shù)表達(dá)式，并借助Mathematica軟件計(jì)算，繪出了電勢(shì)與空間位置關(guān)系的二維和三維函數(shù)圖像，所展現(xiàn)的推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔、易懂，給出的結(jié)果形象、直觀。

[1]張連順，姜萬(wàn)祿.環(huán)形線電荷的電場(chǎng)分布[J].大學(xué)物理,1998,17(8):21-23.

[2]張之翔.電磁學(xué)中幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題里的橢圓積分[J].大學(xué)物理,2002,21(4):22-24.

[3]程昌林，王慧，李業(yè)鳳.均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)[J].大學(xué)物理,2003,22(6):15-17.

[4]周海英，陳浩.均勻帶電細(xì)圓環(huán)的電場(chǎng)的一般分布[J].大學(xué)物理,2004,23(9):32-34.

[5]劉誠(chéng)杰，劉景世.均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場(chǎng)的分布[J].大學(xué)物理,2005,24(8):19-20.

[6]賈起民，鄭永令，陳暨耀.電磁學(xué)(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2001：31-32.

[7]黃時(shí)中.大學(xué)物理學(xué)(下冊(cè))[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2006：29.

[8]王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000:524-526.

責(zé)任編輯：胡德明

Abstract:Based on the definition and the superposition theorem of electric potential and aided by the theory of special functions,the function expression of the electric potential distribution of uniformly charged rings has been obtained.The two-dimensional and three-dimensional diagrams for electric potential and spatial relation have been plotted by Mathematica.

Key words:uniformly charged ring;electric potential distribution;Mathematica

The Electric Potential Distribution of Uniformly Charged Rings

Ma Kun,Chu Yuan
(School of Information Engineering,Huangshan University,Huangshan 245021,China)

O441.1

A

1672-447X(2010)04-0025-03

2010-03-26

黃山學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目(2008hsujy010);黃山學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目(2008xkjq013)

馬堃(1983-),安徽六安人,黃山學(xué)院信息工程學(xué)院教師,碩士。