劉迅,王卓甫

(河海大學工程管理研究所,江蘇南京210098)

考慮施工暫停的建設(shè)工程承包商趕工模型

劉迅,王卓甫

(河海大學工程管理研究所,江蘇南京210098)

結(jié)合傳統(tǒng)的關(guān)鍵路線法網(wǎng)絡(luò)壓縮的數(shù)學模型,研究不確定因素引起的工程施工暫停造成工期延遲的承包商趕工問題.首先,給出承包商趕工模型研究的基本假設(shè)及前提;然后,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建存在施工暫停考慮項目無規(guī)定截至日期的承包商一般趕工模型.通過對模型的分析與求解可以看出,理性的承包商會選擇增加初始時的趕工時限,從而減少中斷施工對項目的影響.即施工暫停時,承包商的趕工時間應(yīng)大于基本方案所確定的壓縮工期下限,從而給出了最優(yōu)的趕工策略,提出對施工暫停事件的最佳應(yīng)對策略.

建設(shè)工程;施工暫停;趕工模型;網(wǎng)絡(luò)計劃;承包商

建設(shè)工程在施工過程中存在大量的不確定性因素,如原材料供應(yīng)、氣象、施工機械等,使得由各種確定性模型和方法得到的優(yōu)化性能指標降低甚至不再可行.因此,在處理工程施工進度問題時,施工過程中存在的不確定性因素是必須要考慮的.目前,盡管項目進度理論在現(xiàn)代組織中發(fā)揮著重要作用,但面臨變化的項目環(huán)境時,現(xiàn)有的技術(shù)和方法依然遇到了挑戰(zhàn).其最主要的工具,如關(guān)鍵路線法(CM P)和計劃評審法(PERT)仍沒能在前提假設(shè)方面得到改善并發(fā)揮其應(yīng)有的作用[1].在工程施工過程中,分析不確定因素的原因在于消除其帶來的影響或后果.文[2]對影響工程項目工期的不確定性因素進行了分析,在廣泛調(diào)查的基礎(chǔ)上尋求工程延誤主要因素,并提出建立能為工程項目服務(wù)的工期預(yù)警模型.文[3]研究了不確定因素對項目費用的影響,并應(yīng)用Bayesian方法對項目的總費用進行預(yù)測.文[4]針對標準環(huán)境中不確定性因素研究的不足,運用概率風險判定方法研究了項目實施過程中突發(fā)事件的發(fā)生概率及對項目費用的影響程度.文[5-8]研究了干擾事件對項目交付工期和費用動態(tài)影響,運用系統(tǒng)動力學的理論與方法,建立了相應(yīng)的動態(tài)調(diào)控模型并給出相應(yīng)的算法.文[9]考慮了活動工序持續(xù)時間確定下,工作過程中一些工序暫停隨機時間段的平行機調(diào)度的總工期最短延誤時間問題.在實際的施工過程中,建立貼近實際的模型和設(shè)計相應(yīng)的合適有效的算法應(yīng)該是這一問題研究的重點,而缺少更多符合實際并滿足施工承包單位要求的模型,恰恰是目前對工程進度壓縮問題研究的一個欠缺.本文通過構(gòu)建存在施工暫停、項目無規(guī)定截至日期的承包商趕工模型,以及通過對模型的分析與求解,提出對施工暫停事件的最佳應(yīng)對策略.

1 基本假設(shè)與定義

為了研究方便,在不影響結(jié)論準確性的基礎(chǔ)上,給出6點基本假設(shè)和定義.

(1)項目實施網(wǎng)絡(luò)計劃中的部分資源是資源驅(qū)動的.在一定限度內(nèi),通過增加資源投入可以壓縮作業(yè)活動的持續(xù)時間,從而縮短工期.一般地,項目壓縮成本是項目工期的分段線性凸函數(shù)[10],可利用二次函數(shù)β(·)近似地描述這一關(guān)系[11-12].即假定在t時刻工期需壓縮xt周期,所增加的直接壓縮費用為β(x).項目決策的初始階段計劃壓縮的工期為x0時,所需要的直接壓縮費用為β(x0).β(·)在整個工期周期內(nèi)是連續(xù)可微的,有

(2)直接費用和邊際直接費用是在時刻t承包商計劃壓縮工期數(shù)的單調(diào)非遞減函數(shù).φ(·)表示任意t>0時刻的計劃壓縮費用函數(shù),對所有x≥0都有β(x)≤φ(x).這一假設(shè)反映承包商在項目施工過程中可以利用的自由度.

(3)承包商在t=0時刻收到風險事件可能在施工過程中發(fā)生的信息.如果這一風險事件發(fā)生將使所有的施工活動中斷,假定中斷時限持續(xù)τ時間周期(圖1),事件發(fā)生期間工程不進行施工,直接費用保持不變.但是,需要對項目進行日常的管理,單位工期的管理費用CI為常數(shù),施工中斷期間工程的管理費用為CIτ.

(4)項目實施網(wǎng)絡(luò)計劃中,承包商收到風險事件可能在此后的施工過程中,其發(fā)生的時刻至中斷施工的事件發(fā)生這一時間段z服從指數(shù)分布,即z?exp(λ).此時,1/λ是t=0時刻至中斷施工的事件發(fā)生的期望平均時間,即密度函數(shù)fz(t)=λexp(-2λ).如果中斷施工的事件發(fā)生,則期望發(fā)生的時段為

圖1 工程進展圖Fig.1 Project p rogress

(5)考慮在整個工程施工過程中僅發(fā)生一次暫停施工的事件,且造成暫停施工的原因?qū)儆诔邪淌┕こ邪L險,發(fā)生的額外費用由承包商自己承擔的情況.

(6)質(zhì)量保持在同一水平,即工期的壓縮不對質(zhì)量產(chǎn)生影響.

2 考慮施工暫停工期壓縮模型

假設(shè)一個工程施工項目中,不對任何活動進行壓縮時的正常直接費用總額為C N,對應(yīng)正常的工期為TN.在實際中,按正?；顒又芷谒_定的項目工期,往往不能滿足工程進度的實際需要,這就需要對網(wǎng)絡(luò)中的某些活動的周期進行壓縮,這種壓縮是以資源投入量的增加為代價的[13].同時,活動的壓縮時間具有剛性,即不管再投入多少資源,壓縮時間也不可能再被縮短[14],此時項目工期達到最短極限TC,對應(yīng)最大直接費用CC.不考慮風險事件發(fā)生的情況下,項目的總費用在壓縮工期x0處最小,即

對式(3)進行一階求導(dǎo),很容易求出優(yōu)化工期,則有

盡管武當眾人態(tài)度的轉(zhuǎn)變和他們所經(jīng)受的痛苦不無關(guān)系，但說到底還是因為他們心中始終無法放下“正邪有別”的成見，在感情和理智的矛盾中糾結(jié)，甚至在莫聲谷遇害后懷疑是張無忌所為，只因他是和趙敏有所牽連的魔教教主。

式(4)表明,當項目工期壓縮所引起的邊際直接費用的增加等于單位工期的間接成本時,項目的總費用達到最小值.考慮項目執(zhí)行過程中可能存在使項目中斷的事件發(fā)生,項目的完工工期M為

因為風險事件在施工過程中發(fā)生的概率為1-exp(-λ(TN-x0)),則項目完工的期望總工期為

在t=0時刻,承包商必須決定最初的壓縮工期x0,以及計劃將來風險事件發(fā)生時的可能趕工工期.如果沒有中斷施工的事件發(fā)生,則沒有額外的趕工費用增加.此時,項目總費為CNR,即

但是,如果有中斷工程施工的事件發(fā)生,承包商需針對風險事件在預(yù)期壓縮x0的基礎(chǔ)上做出期望總費用最小時的壓縮工期xz.此時,總費用為C R,即

考慮施工中風險事件發(fā)生的概率服從密度函數(shù)fz(t)=λe-λt,則項目的期望總費用為

對式(9)自變量xz進行求導(dǎo),則對自變量xz的偏導(dǎo)函數(shù)為

對于任意x00成立,只有當上式等于0才成立.通過假設(shè)有成立,因此,對于任意固定的x0,式(9)是自變量xz的非減函數(shù).對于z>0的任意時刻,x＊z=0時,式(9)有最小值,因此,任何一個理性的承包商在t=0之后的任何時刻都不做進一步壓縮工期的計劃.

假定β(x)=c0x2,因為x＊z=0,期望總成本E[TC(x0)]有

對自變量x0求導(dǎo),并令其等于零,有

對式(12)進行求解,得不到確定的數(shù)值,可以利用泰勒級數(shù)展開式求得x0的近似值x＊0.即

如果風險事件的發(fā)生概率為零,總費用函數(shù)式(11)變?yōu)槭?3),則此時最優(yōu)的工期壓縮可通過式(4)求出.但是,如果中斷施工的事件發(fā)生的概率為1,則式(11)變?yōu)?/p>

對該式進行求導(dǎo),可得出確定中斷施工的事件發(fā)生時的最優(yōu)壓縮工期xb＊=CI/2c0,等于不考慮中斷事件發(fā)生時的最優(yōu)趕工工期x0＊.即x0＊=xb＊=CI/2c0.

通過以上的分析可知,在施工過程中,若確定中斷施工的事件一定發(fā)生或者一定不發(fā)生,承包商往往僅壓縮由式(4)確定的x＊0=x＊b壓縮工期.x＊0=x＊b時的方案在此稱為基本方案.但是,當不確定中斷事件是否發(fā)生時,承包商欲壓縮的工期將大于基本方案所確定的壓縮工期,即試圖在中斷施工的事件發(fā)生前完成項目,將風險事件的影響降到最低.確切地說,當不確定中斷事件是否發(fā)生時,x＊0=x＊b定義了趕工工期的下限.

如果承包商有確定的信息知道中斷施工的事件發(fā)生或者不發(fā)生,那么不考慮項目截至日期的期望總成本由式(9)表示,并由式(4)確定基本趕工工期方案.但是,如果承包商不確定在施工過程中是否發(fā)生中斷施工的事件,根據(jù)以上的推算,承包商可以在基本工期壓縮方案的基礎(chǔ)上增大,以使期望總費用的值達到最小.承包商此時完成項目所增加的預(yù)期費用支出等于額外壓縮工期的費用,即

式(15)中:x0可由式(3)求出;如果β(x)=c0x2,則x＊0可由式(10)求出.可以看出,E[ΔTC]對中斷時間長度τ是最敏感的,而對單位間接費用CI和c0敏感性則相對弱些.隨著λ的增大(減小),中斷施工事件發(fā)生的可能性也隨之增加(減少),從而使x＊0與x0之間的差減小,進而使承包商完成項目所增加的預(yù)期費用支出E[ΔTC]減小.

3 算例分析

某泄洪工程施工項目,每周間接費用為10萬元,壓縮x工期所需要的直接費用β(x)=c0x2,壓縮費用系數(shù)c0=1.75萬元,λ=0.02,正常模式完工工期TN=50周,期望中斷時間E(τ)=5周.

不考慮中斷事件發(fā)生情況下,壓縮工期x0=CI/2c0=2.86周,也就是說,承包商最優(yōu)的完工工期為TN-x0=50-2.86=47.14周.但是,考慮到風險事件的威脅,承包商需考慮進一步壓縮工期.當τ=5周時,求得x0≈3周,期望總費用增加30.46萬元;當τ=10周時,x0≈7.1周,期望總費用增加60.91萬元;當τ=15周時,x0≈3.2周,期望總費用增加91.37萬元.

期望總費用變化與中斷時限占正常百分比的關(guān)系為線性關(guān)系,如圖2所示.從式(9)可以看出斜率為CI{1-exp(-λ(TN-x0))}.因此,正常工期TN固定的情況下,對于承包商而言,獲得中斷施工事件的持續(xù)時間是至關(guān)重要的.

圖2 期望總費用變化與中斷時限占正常工期百分比關(guān)系Fig.2 Expected total cost versus percentage of disrup tion period to normal construction period

圖3 最優(yōu)壓縮工期與風險事件發(fā)生概率關(guān)系Fig.3 Project comp ression versus p robability of disrup tive event

最優(yōu)的工期壓縮也與中斷施工事件發(fā)生的可能性大小密切相關(guān)的.隨著λ的變化,中斷施工事件發(fā)生可能性的大小隨之變化.假定λ在0～0.2之間變化(中斷事件發(fā)生的概率在之間),最優(yōu)壓縮工期的變化如圖3所示.當λ=0.02時,需壓縮的最優(yōu)工期達到最大值為2.97時間周期.此時,風險事件發(fā)生的概率(P)也達到最大0.611.由式(13)可以看出,最優(yōu)的壓縮工期受λ,τ及CI的共同影響.在τ值一定的情況下,不同CI值的λ在同一變動幅度(Δx＊0)下的變化情況,如圖4(a)所示.圖4中:z≤TN.由圖4(a)可看出,CI值增加一倍時,即每周CI分別為15,30萬元時,對最優(yōu)壓縮工期的影響(Δx＊0)相差是很小的,表明x＊0對CI的敏感性較小.

在每周間接費用CI為10萬元的情況下,x＊0對τ值的敏感程度如圖4(b)所示.由圖4(b)可以看出,τ為10周時的x＊0變動曲線相差較大,表明最優(yōu)壓縮工期對中斷時限τ較為敏感.

由圖4可以看出,最優(yōu)壓縮工期對中斷時限τ較為敏感.因此對于施工單位來說,在施工過程中將風險持續(xù)時間τ降為最低是極其重要的.

圖4 工期壓縮隨風險事件發(fā)生概率變化圖Fig.4 Comp ression as a function of the p robability of the disrup tive event

4 結(jié)束語

文中研究是以傳統(tǒng)的CPM網(wǎng)絡(luò)壓縮的數(shù)學模型為基礎(chǔ),沒有考慮施工工序時間是隨機時的情況,在施工暫停時,如何結(jié)合不確定因素對施工工序時間的影響以尋求承包商的最優(yōu)趕工策略,還需要進一步研究.同時,由于沒有考慮工程項目有規(guī)定截至日期,以及設(shè)立獎懲機制時的承包商趕工情況,因此,今后有必要進一步研究這一問題.

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Model of Contractor Rush-Work Considering Construction Suspension

L IU Xun,WANG Zhuo-fu
(Research Institute of Project Management,Hohai University,Nanjing 210098,China)

Combined w ith the traditionalmodel of critical path method netwo rk comp ression,the p roblem of contractor rush-work is studied,w hich is caused by construction suspension due to uncertainties.Firstly,the basic assump tions and p remises of themodel about the contracto r rush-work are introduced.The generalmodel of the contractor rush-wo rk considering suspension for the p rojectsw ithout deadline is established.The analysisof themodel show s:the rational contracto rs would increase the initial time,thus reduce the impact of the construction suspension.During suspension,the rush hours of the contracto r should be greater than the lower limit of comp ression duration,then the op timal schedule of rush -wo rk is suggested,and the op timal response strategy to construction suspension is obtained.

construction p roject;construction suspension;rush-wo rk model;netwo rk p lan;contracto r

TU 72

A

(責任編輯:錢筠 英文審校:方德平)

1000-5013(2010)06-0692-05

2010-05-02

王卓甫(1957-),男,教授,主要從事工程風險管理的研究.E-mail:zfwang@hhu.edu.cn.

國家社會科學基金資助項目(06BJY085)