海軍工程質(zhì)量監(jiān)督站 劉楚瑜

1、前言

小波變換是一種新的變換分析方法，它的主要特點是通過變換能夠充分突出問題某些方面的特征。因此，小波變換在許多領域都得到了成功的應用，特別是小波變換的離散數(shù)字算法已被廣泛用于許多問題的變換研究中。

從小波變換的數(shù)學理論來說，它是繼Fourier變換之后純數(shù)學和應用數(shù)學完美結(jié)合的又一光輝典范，享有“數(shù)學顯微鏡”的美稱。從純粹數(shù)學的角度來說，小波變換是調(diào)和分析（包括函數(shù)空間、廣義函數(shù)、Fourier分析和抽象調(diào)和分析等）這一重要學科大半個世紀以來的工作結(jié)晶；從應用科學和技術科學的角度來說，小波變換又是計算機應用、信號處理、圖像分析、非線性科學和工程技術近些年來在方法上的重大突破。

2、小波分析的基本理論

與傅利葉(Fourier)變換相比，小波分析中所用到的小波函數(shù)具有不唯一性，即小波函數(shù)Ψ(t)具有多樣性。但小波分析在工程應用中，一個十分重要的問題就是最優(yōu)小波基的選擇問題，因為用不同的小波基分析同一個問題會產(chǎn)生不同的結(jié)果。目前主要是通過小波分析處理信號的結(jié)果與理論結(jié)果的誤差來判定小波基的好壞，并由此限定小波基。但并不是隨便一個函數(shù)都可以成為小波基函數(shù)，要滿足非常嚴格的限制才能成為一個可用的小波函數(shù)，進而發(fā)展成一個好的小波變換函數(shù)。

考慮平方可積的實數(shù)函數(shù)空間L2(R)（即能量有限的信號空間），設Ψ(t)∈L2(R)，其傅利葉變換為，當滿足(1)式允許條件(Admissible Condition)時，我們稱為一個基本小波，或小波母函數(shù)(Mother Wavelet)。

根據(jù)不同的標準，小波函數(shù)具有多樣性，實際應用中應根據(jù)支撐長度、對稱性、正側(cè)性等標準選擇合適的小波。常用的小波有：Haar小波、Daubechies(dbN)小波系、Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系、Coiflet(coifN)小波系、SymletsA(symN)小波系、Morlet小波、Mexican Hat小波、Meyer小波、Battle-Lemarie小波等。

2.1 多分辨分析

1988年，Mallat在構造正交小波基時提出多分辨分析(Multi-Resolution Analysis)的概念，給出了離散正交二進小波變換的金字塔算法，即任何函數(shù)f(t)∈L2(R)都可以根據(jù)分辨率為2-N的f的低頻部分（“近似部分”）和分辨率為2-j(1≤j≤N)下f的高頻部分（“細節(jié)部分”）完全重構。多分辨分析只是對低頻部分進一步分解，而高頻部分則不予考慮。

分解具有關系：

f(t)=An+Dn+Dn-1+…+D2+D1，其中，f(t)代表信號，A代表低頻近似部分(Approximations)，D代表高頻細節(jié)部分(Details)，n代表分解層數(shù)。

2.2 小波包分析

多分辨分析可以對信號進行有效的時頻分解，但由于其尺度是按二進制變化的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差。小波包分析(Wavelet Packet Analysis)能夠為信號提供一種更加精細的分析方法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分辨分析中沒有細分的高頻部分進一步分解，并能根據(jù)被分析信號的特征，自適應的選擇相應的頻帶，使之與信號的頻譜相匹配，從而提高了時頻分辨率，因此，小波包分析具有更廣泛的應用價值。

分解具有關系：

其中，f(t)代表信號，A代表低頻近似部分，D代表高頻細節(jié)部分，下標代表分解層數(shù)。

3、小波分析在抗震方面的應用

對地震動的了解主要是根據(jù)過去強震觀測結(jié)果和震害現(xiàn)象去探求地面運動規(guī)律和地震動特性。描述地震動特性所用的數(shù)學工具以往是Fourier分析，其特性歸結(jié)為三要素，即地震動的振幅、頻譜和持時。三要素的得出是將Fourier分析應用于地震動研究的結(jié)果。Fourier分析的另一個名稱是頻譜分析。

對于地震動研究而言，F(xiàn)ourier分析有明顯的不足多處，F(xiàn)ourier分析適合處理非常平穩(wěn)的周期信號，對于具有很強非平穩(wěn)特性的地震動加速度過程，F(xiàn)ourier分析無法得出時域和頻域中地震動加速度過程的全貌和局部化結(jié)果，無法依據(jù)地震觀測記錄建立地震動加速度過程的解析表達式。強震觀測記錄分析表明，在不同時段上周期特性是不一樣的，一般來說，開頭部分，即是縱波部分，高頻分量比較多；尾部，即振動衰減趨于零部分，低頻分量比較多。振動最強烈的一段，即中間部分，中頻分量比較多。目前地震工程中常用的頻譜有三種，即Fourier譜，反應譜與功譜。地震記錄的這種頻譜組成隨時間變化的特性，是前面三種頻譜無法描述的。

小波分析作為處理非平穩(wěn)信號的強有力工具，同樣適合于用于處理地震動加速度過程，其理論覆蓋了相當廣泛的研究領域，它為多種獨立開發(fā)的信號處理提供了統(tǒng)一的框架。小波分析方法不像Fourier分析方法那樣把時域信號表示為若干精確的頻率分量之和，小波變換提供了一種自適應的時—頻局部化分析方法，它將時域信號表示為若干代表子頻帶特點的時域分量之和，這些時域分量正是小波變換所確定的。正是由于這種表示方式，小波分析方法才獲得了在時—頻局部化方面的成功和關于時—頻局部化方面豐富多彩的應用。應用小波分析方法可在任意時段上對地震動加速度過程的頻率成分和振幅進行調(diào)整，以反映地震動過程的頻譜組成隨時間的變化，對頻譜和振幅進行精細描述。這為工程設計時，輸入地震波的選擇擴大了范圍。我們可以制造一批頻譜組成隨時間變化不同，但反應譜相同的地震動樣本，以滿足建筑結(jié)構統(tǒng)計分析的需要，同時這對結(jié)構非線性地震反應分析和實驗研究也是極為有用的。用小波分析方法可以直觀具體地檢測現(xiàn)有強震加速度記錄中長周期成分的缺失狀況，并以某種方式進行添補。

目前，模擬強地震動的方法以工程方法為主，現(xiàn)有工程方法合成地震動的最大缺陷是頻率從頭至尾不變。將小波分析方法用于強地震動模擬，能夠克服現(xiàn)有工程方法的上述缺陷，并且為強地震動模擬提供一個靈活的“框架”。

TsoChienPan等將雙線性結(jié)構在地震作用下的響應分別用窗口傅立葉變換(STFI)、連續(xù)小波變換(CWT)、和離散小波變換(DWT)進行分析，其目的是識別雙線性結(jié)構地震響應的頻率變化趨勢和屈服、卸載時間。結(jié)果表明，CWT在時間和頻率的分辨率上均優(yōu)于STFT；CWT能反映出雙線性結(jié)構振動頻率變化的趨勢，但DWT從低尺度上的小波系數(shù)出現(xiàn)突變點更好地反映出結(jié)構的屈服時間和卸載時間，Yoshihiro將系統(tǒng)(線性結(jié)構、雙線性結(jié)構、Ramberg-Osgood系統(tǒng))的切線剛度用尺度函數(shù)表示，通過測出系統(tǒng)在地震作用下的響應，用最小二乘法求出Pjk，從而得到S(t)來識別系統(tǒng)的非線性行為。JunIyama等基于能量輸入的觀點用小波變換對地震在不同頻帶的信號的時間歷程進行了分析，提出了一種根據(jù)預想時一頻特點模擬地面運動加速度的方法。

4、結(jié)論與展望

總之，小波變換被應用到抗震方面的研究尚較少。從研究方向來看，大多數(shù)都集中在某類簡單結(jié)構上，不具有推廣性；從研究理論上來看，很多文獻都偏重于介紹故障信號的小波變換結(jié)果，而缺乏理論上的有力支持，真正實現(xiàn)小波分析與故障信號間關系的文獻極少。小波變換作為一種新興的時頻分析手段，在處理結(jié)構測試數(shù)據(jù)時具有極大的優(yōu)勢，可以預見其在土木工程領域中特別是抗震方面有著廣闊的發(fā)展空間和應用價值。