原小娟, 田乃碩, 趙 媛, 寧小虎, 靳曉青

(燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004)

具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M/G/1排隊

原小娟, 田乃碩, 趙 媛, 寧小虎, 靳曉青

(燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004)

研究了具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M/G/1排隊模型.顧客到達(dá)是泊松過程,且兩次服務(wù)時間都服從一般分布.通過引用嵌入馬爾可夫鏈和廣義服務(wù)時間的方法給出了穩(wěn)態(tài)隊長的母函數(shù)和等待時間的LST,進(jìn)而給出模型的特例,最后通過數(shù)值例子分析了參數(shù)對平均隊長和平均等待時間的影響.

連續(xù)時間排隊;第一次必須服務(wù);第二次多選擇服務(wù);多重休假

0 引言

目前,很多學(xué)者在M/G/1排隊模型的基礎(chǔ)上,對具有各種排隊規(guī)則和服務(wù)規(guī)則的排隊模型進(jìn)行了深入的研究.M adan研究了一種具有第二次選擇服務(wù)的M/G/1排隊模型后[1],具有第二次選擇服務(wù)排隊模型的研究受到了更多學(xué)者的關(guān)注,而這些研究多采用了補(bǔ)充變量法求解模型.文獻(xiàn)[1]的模型中,顧客接受第一次服務(wù)時,服務(wù)時間服從一般分布,而接受第二次服務(wù)時,服務(wù)時間服從指數(shù)分布.由于服務(wù)時間服從指數(shù)分布有其局限性,因此,文獻(xiàn)[2]做了改進(jìn),把第二次服務(wù)時間從指數(shù)分布推廣到一般分布.尹小玲等[3]把第二次選擇服務(wù)只有一項服務(wù)推廣到多種不同的服務(wù)可供選擇,并且第一次服務(wù)時間和第二次選擇服務(wù)時間都服從一般分布,使用補(bǔ)充變量法研究了批量到達(dá)的具有第二次多選擇服務(wù)的M/G/1排隊系統(tǒng).

近年來,大多數(shù)學(xué)者的工作都集中在具有第二次選擇服務(wù)的排隊模型,而研究具有第二次多選擇服務(wù)的排隊模型甚少.由于補(bǔ)充變量法比較復(fù)雜、繁瑣,而廣義服務(wù)時間方法卻有一定的技巧性,因此本文通過引入廣義服務(wù)時間,使用嵌入馬爾可夫鏈的方法將多重休假引入到具有第二次多選擇服務(wù)的M/G/1排隊模型中.

1 模型描述和嵌入馬爾可夫鏈

模型描述如下:

1)顧客到達(dá)遵循參數(shù)λ的Poisson過程.

2)在系統(tǒng)中所有到達(dá)的顧客都必須在服務(wù)臺接受第一次服務(wù),稱為第一次必須服務(wù),其服務(wù)時間S0的分布函數(shù)為F0(t),t≥0,其一、二階矩和LST記為:

3)第一次必須服務(wù)完成后,緊接著顧客以概率γk(1≤k≤m)選擇接受m(m≥1)中不同服務(wù)中的某一種(不接受第二次服務(wù)的顧客則離開系統(tǒng)),稱為第二次多選擇服務(wù),其服務(wù)時間Sk的分布函數(shù)為Fk(t), t≥0,其一、二階矩和LST記為

如果令γ0=1,那么γ0表示顧客接受第一次必須服務(wù)后離開系統(tǒng)的概率.

將服務(wù)員的服務(wù)時間分成兩部分:第一次必須服務(wù)時間S0和第二次多選擇服務(wù)時間Sk,則

4)系統(tǒng)中一旦無顧客,服務(wù)臺立刻開始一次隨機(jī)長度V的休假,結(jié)束一次休假時系統(tǒng)中若仍無顧客,服務(wù)臺就接續(xù)一次獨立同分布的休假,直到某次休假結(jié)束時系統(tǒng)中已有顧客等待,服務(wù)臺終止休假并開始接待顧客,服務(wù)到服務(wù)臺再次變成空.設(shè)休假時間的分布函數(shù)為V(x),其LST為:v＊(s)且E(V)與E(V2)存在.

以上隨機(jī)變量相互獨立,另外系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺且服務(wù)機(jī)制為先到先服務(wù)(FCFS).

以Ln(n≥1)表示第n個顧客離去后瞬時系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù),則{Ln,n≥1}是隊長過程Lv(t)的嵌入Markov鏈,容易驗證,離去時刻的隊長{Ln,n≥1}滿足遞推公式,其中,A是一個服務(wù)時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù),Qb表示一個忙期開始時系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù),其中A的分布、母函數(shù)與均值分別為:

在確定Qb的分布之前,設(shè)vj為一個休假時間內(nèi)恰好到達(dá)j個顧客的概率,其分布和母函數(shù)為:

依多重休假策略,則Qb的分布為,其中v0=v＊(λ),則Markov鏈{Ln, n≥1}的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

使用Foster準(zhǔn)則可以類似的證明{L,n≥1}正常返當(dāng)且僅當(dāng)n

2 穩(wěn)態(tài)隊長和等待時間

設(shè)ρ<1,則{Ln,n≥1}正常返.記

定理1當(dāng)ρ<1時,具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M/G/1排隊系統(tǒng)中離去時刻的穩(wěn)態(tài)顧客數(shù)Lv有母函數(shù)

證明當(dāng)ρ<1時穩(wěn)態(tài)分布存在且滿足Π,則π,兩邊各取母函數(shù),得,經(jīng)整理并解得到

使用正規(guī)化條件Lv(1)=1及L’Hospital法則求解可以得到把π0代入(1)式即得Lv(z)的表達(dá)式,定理得證.

容易計算離去時刻的平均隊長

定理2當(dāng)ρ<1時,具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M/G/1排隊系統(tǒng)中穩(wěn)態(tài)等待時間Wv的LST為

證明一個顧客離去時,留在系統(tǒng)中的顧客數(shù)恰好等于它的等待時間Wv和服務(wù)時間S內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)之和.注意到等待時間與服務(wù)時間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)相互獨立,于是有

把定理1中Lv(z)的表達(dá)式代入(2)式,并令λ(1-z)=s,則得

從而可以計算平均等待時間為

3 特例

例1具有第二次多選擇服務(wù)的M/G/1排隊.

在上述排隊模型中取休假時間為零時,系統(tǒng)模型詳見文獻(xiàn)[3],因此可得

若進(jìn)一步考慮m=1時,即第二次多選擇服務(wù)只有一種服務(wù),系統(tǒng)模型詳見文獻(xiàn)[2],因此可得

例2多重休假的M/G/1排隊.

取γk=0時,即沒有第二次多選擇服務(wù),系統(tǒng)模型詳見文獻(xiàn)[4],因此可得

4 數(shù)值例子

通過以上分析,我們獲得了系統(tǒng)的平均隊長、平均等待時間等一些穩(wěn)態(tài)指標(biāo),但是在實際問題中不僅要知道排隊系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo),而且還要了解系統(tǒng)中的某些參數(shù)對這些穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的影響,從而刻畫出排隊系統(tǒng)的動態(tài).下面以m=2為例,給出平均隊長E(Lv)、平均等待時間E(Wv)隨著參數(shù)γ1,γ2變化的規(guī)律,如圖1、圖2所示.

[1] Madan K C.An M/G/1 queue w ith second op tional service[J].Queueing Systems,2000,34:37-46.

[2] Medhi J.A single server poisson input queue w ith a second op tional channel[J].Queueing Systems,2002,42:239-242.

[3] 尹小玲,鄧永錄,劉國柱.具有第二次多選擇服務(wù)的M/G[x]/1排隊系統(tǒng)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2003,17(1): 41-53.

[4] 田乃碩.休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

[5] 朱翼雋,王成全,陳燕.具有二次可選服務(wù)反饋的M[x]/G/1(E,SV)排隊系統(tǒng)[J].江蘇大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,28 (4):363-365.

The M/G/1 Queueing System with Second Multi- optional Servicesand M ultiple Vacations

YUAN Xiao-juan, TIAN Nai-shuo, ZHAO Yuan, N ING Xiao-hu, JIN Xiao-qing
(College of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China)

The M/G/1 queueing system w ith second m ulti-op tional services and m ultip le vacations are discussed.The arrival of customer is a general Poisson p rocess,meanw hile,the first service time and the second service time all have general distributions.Using imbedded Markov chain and the broad sense service timemethod,the generating function of the steady-state queue length and the LST of the w aiting time are derived.Furthermo re,the particular case of this model are obtained.Finally,the effect of the parameterson the expected queue length and the expected waiting time are analyzed by numerical examp les.

continuous time queue;the first essential service;the second m ulti-op tional services; m ultip le vacations

O 226

A

1671-6841(2010)03-0011-04

2009-12-31

國家自然科學(xué)基金資助項目,編號10671170.

原小娟(1984-),女,碩士研究生,主要從事排隊論及其應(yīng)用研究,E-mail:456yuanjun123@163.com.