林義國， 黃少敏

（1.福建江河電氣化公司，福建 福州 350001；2.福建水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 永安 366000）

1 前言

邊坡是人類生存的重要環(huán)境，甚至是工程建筑的重要組成部分。在水利水電工程建設(shè)中，也經(jīng)常遇到邊坡穩(wěn)定問題。傳統(tǒng)上，對邊坡工程的穩(wěn)定分析多數(shù)采用極限平衡理論方法，但是極限平衡理論方法一般都引入較多的假定條件，因此分析的結(jié)果往往與實(shí)際情況并不十分吻合。隨著計(jì)算機(jī)軟件、硬件的飛速發(fā)展，采用理論體系更為嚴(yán)格的方法進(jìn)行邊坡穩(wěn)定分析已經(jīng)成為可能。有限單元法全面滿足了靜力許可、應(yīng)變相容和應(yīng)力、應(yīng)變之間的本構(gòu)關(guān)系[1]，因此可較為理想地分析邊坡穩(wěn)定的應(yīng)力、變形和穩(wěn)定性。但是如何利用有限元的計(jì)算結(jié)果，確定安全系數(shù)和臨界滑動面，這是很有意義的工作，各國專家學(xué)者對此進(jìn)行了大量的研究分析，取得了很多研究成果，也推動了邊坡工程穩(wěn)定性研究理論和方法的發(fā)展。

在利用有限元應(yīng)力場搜索臨界滑裂面的工作中，許多學(xué)者都做了有益的嘗試。John Krahn 2004年直接沿用條分法中使用的搜索方法，假設(shè)滑移面的形狀，并采用試算或其它優(yōu)化算法搜索臨界滑移面[2]。Giam和Donald 1988年提出一種由已知的應(yīng)力場確定臨界滑移面及最小安全系數(shù)的方法，稱為模式搜索（CRISS）法，它根據(jù)有限元計(jì)算得到的應(yīng)力場，由應(yīng)力水平較高點(diǎn)出發(fā)，形成一個由坡頂?shù)狡碌椎钠茐拿鎇1]。另外還有許多不同的方法，由于不同的邊坡穩(wěn)定研究方法具有不同的優(yōu)缺點(diǎn)，適用于不同的工程地質(zhì)環(huán)境，因此為促進(jìn)邊坡研究新方法的出現(xiàn)和傳統(tǒng)方法的改進(jìn)與發(fā)展。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，嘗試?yán)糜邢拊ㄓ?jì)算結(jié)果，在已知邊坡應(yīng)力場的情況下，引入動態(tài)規(guī)劃法搜索邊坡的最危險(xiǎn)滑動面位置，并求出最小安全系數(shù)進(jìn)行邊坡工程的穩(wěn)定分析研究。

2 動態(tài)規(guī)劃法確定滑動面基本原理[3]

2.1 安全系數(shù)F的定義

采用公式（1）的形式，如下所示：

式中：σ是滑移面上一點(diǎn)的法向應(yīng)力，τ是滑移面上一點(diǎn)的切向應(yīng)力，c是粘聚力，準(zhǔn)是內(nèi)摩擦角，△li是滑移面上一段的長度。

2.2 動態(tài)規(guī)劃法確定危險(xiǎn)滑動面

動態(tài)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)的一個分支，是求解決策過程最優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。20世紀(jì)50年代初美國數(shù)學(xué)家R.E.Bellman等人在研究多階段決策過程的優(yōu)化問題時，提出了著名的最優(yōu)化原理，把多階段過程轉(zhuǎn)化為一系列單階段問題，逐個求解，并創(chuàng)立了解決這類過程優(yōu)化問題的新方法—動態(tài)規(guī)劃。應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定分析時，主要思路是通過引入輔助函數(shù)G：

式中：Ri是滑移線上第i段的抗滑力，Si是滑移線上第段的滑動力。

動態(tài)規(guī)劃可以找到一條路徑，這條路徑作為滑移面，使得目標(biāo)函數(shù)公式 （2）取得最小值。計(jì)算是一個迭代過程，第一步需要假定安全系數(shù)，找到滑移面后更新安全系數(shù)F，然后重新搜索新的滑移面，直到前后兩次安全系數(shù)的差值小于設(shè)定的閥值，迭代終止，一般迭代次數(shù)不會超過5次就會收斂[4-5]。

計(jì)算簡圖如圖1所示，圖中搜索網(wǎng)格的豎格線代表不同的搜索階段 （Stage），橫格線代表不同的搜索狀態(tài)（State）。當(dāng)搜索網(wǎng)格足夠密時，就可以給出足夠準(zhǔn)確、光滑的滑移面。具體的搜索步驟如下：

定義優(yōu)化函數(shù)為 Hi（j）：初始階段到點(diǎn)（i， j）—i階段、狀態(tài)的輔助函數(shù)G的最小值。則點(diǎn)（i+1，k）的優(yōu)化函數(shù)可定義為：

終結(jié)階段的優(yōu)化函數(shù)：

終結(jié)階段的最優(yōu)點(diǎn)就是滿足hn+1（k）=minhn+1（j）的點(diǎn)，根據(jù)公式（5）可知，在從初始階段任意點(diǎn)到終結(jié)狀態(tài)任意點(diǎn)的所有路徑中，只有以點(diǎn)（n+1，k）為終點(diǎn)的某條路徑可以使G取到最小值。知道了終結(jié)階段的最優(yōu)點(diǎn)，根據(jù)公式 （3）就可以回溯得到上一階段的最優(yōu)點(diǎn)，逐步回溯至初始階段，也就得到了使G取到最小值的那條最優(yōu)路徑。

這種方法不需要假設(shè)滑移面的形狀，幾次迭代搜索后可以自動找出臨界滑移面。為了求得滑移面的起點(diǎn)和終點(diǎn)，需在實(shí)際土坡范圍外設(shè)置虛擬計(jì)算單元，需要另外建立搜索網(wǎng)格。同時需要判斷搜索網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)所在的單元，并插值得到這些節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。

3 算例分析

本算例是一個均質(zhì)黏土邊坡，取自RockScience公司的軟件算例，斷面幾何尺寸及力學(xué)計(jì)算參數(shù)。如圖2所示 （作為算例驗(yàn)證分析，可采用非實(shí)際工程的邊坡，這個算例在多篇文獻(xiàn)中均有采用）。

3.1 網(wǎng)格剖分

有限元計(jì)算的網(wǎng)格剖分如圖所示，邊界條件如圖2所示，左側(cè)和右側(cè)邊界為滑動支座，約束x方向位移，下方為固定支座，約束x和y兩個方向的位移。

3.2 計(jì)算結(jié)果

本文方法計(jì)算的安全系數(shù)為1.13，應(yīng)力及變形結(jié)果云圖見圖4、圖5給出了根據(jù)有限元計(jì)算出的應(yīng)力場自動搜索出的臨界滑移面，迭代3次得到。

圖3 網(wǎng)格剖分

圖4 有限元計(jì)算結(jié)果

圖5 臨界滑移面

3.3 各種方法計(jì)算比較

圖6是本算例的Bishop解的臨界滑移面，其它方法得到的滑移面類似。表1列出了各種方法得到的安全系數(shù) （本算例的極限平衡法結(jié)果均采用RockScience公司的Slide軟件計(jì)算得到的）。

圖6 Bishop解的臨界滑移面

4 結(jié)論

通過以上計(jì)算和比較，可以得出以下結(jié)論：

（1）應(yīng)用本文方法確定邊坡臨界滑移面，與傳統(tǒng)極限方法Bishop解確定的臨界滑移面 （圖6）十分相似，說明利用該方法分析邊坡穩(wěn)定是可行的，同時有限元方法可較為理想地分析邊坡穩(wěn)定的應(yīng)力、變形和穩(wěn)定性，彌補(bǔ)了極限方法的不足。

（2）本文方法計(jì)算得到的安全系數(shù)為1.13，稍稍大于極限方法所得的安全系數(shù)值 （表1中所示，如Bishop解的安全系數(shù)為0.987）。這表明并驗(yàn)證了傳統(tǒng)極限方法計(jì)算的安全系數(shù)偏于保守的規(guī)律。

（3）用動態(tài)規(guī)劃法確定邊坡臨界滑移面，不需要假設(shè)滑移面的形狀，幾次迭代搜索后就可以自動找出臨界滑移面，大大減少了試算工作量，是邊坡穩(wěn)定分析方法的進(jìn)步。

表1 條分法結(jié)果

[1]陳祖煜.土質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析—原理·方法·程序，北京：中國水利水電出版社，2003.

[2]John Krahn.2004.GeoSlope SlopeW Engineering Book.

[3]Ha.T.V.Pham，Delwyn G.Fredlund.2003.The application of dynamic programming to slope stability analysis.Can.Geotech.J.40:830-847.

[4]Jin-Zhang Zou，David J.Williams Wen-Lin Xiong.1995.Search for critical slip surfaces based on finite element method.Can.Geotech.J.32:233-246.

[5]Da-Yong Zhu.2001.A method for locating critical slip surfaces in slope stability analysis.Can.Geotech.J.38:328-337.