林金星 費(fèi)樹岷

(1南京郵電大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210003)

(2東南大學(xué)自動化學(xué)院，南京 210096)

傳統(tǒng)的自適應(yīng)控制對參數(shù)時(shí)不變或慢時(shí)變的對象能進(jìn)行很好的控制.但當(dāng)工況條件改變、故障或外部環(huán)境變化等因素導(dǎo)致對象參數(shù)發(fā)生大的變動時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)會明顯變差.多模型自適應(yīng)控制(MMAC)方法為上述問題的解決提供了一種有效的思路［1］.MMAC最初以連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)［1－2］為研究對象.近年來，國際上對 MMAC 的研究已拓展到離散時(shí)間線性系統(tǒng)［3］、非線性系統(tǒng)［4－5］以及隨機(jī)系統(tǒng)［6－7］，在這期間國內(nèi)學(xué)者又提出了一些改進(jìn)算法［8－9］，但對具有擾動系統(tǒng)的研究并不多見.此外，為提高系統(tǒng)暫態(tài)性能，MMAC方法必須建立大量的固定模型以覆蓋系統(tǒng)可變參數(shù)的變化范圍.假設(shè)系統(tǒng)有3個(gè)可變參數(shù)(a1，a2，a3)，若對每個(gè)參數(shù)區(qū)間取10個(gè)采樣值，則共需10×10×10=1 000個(gè)固定模型.固定模型數(shù)目過多的直接后果是計(jì)算負(fù)擔(dān)過重，對硬件設(shè)備的要求迅速提高，甚至?xí)拗葡到y(tǒng)采樣周期的減小.文獻(xiàn)［10］通過動態(tài)調(diào)節(jié)可移動參數(shù)集的中心以覆蓋系統(tǒng)的最優(yōu)估計(jì)參數(shù);文獻(xiàn)［11］采用Localization技術(shù)動態(tài)精簡系統(tǒng)待選模型集.但這些方法只是對模型的選擇作了優(yōu)化，并沒有減少固定模型的數(shù)目.文獻(xiàn)［12］通過不斷縮小模型參數(shù)估計(jì)區(qū)域以及移動模型子集來優(yōu)化模型集;文獻(xiàn)［9］采用分層遞階結(jié)構(gòu)方法設(shè)計(jì)模型集.但上述方法結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，而且沒有從根本上降低固定模型的數(shù)目.

針對一類具有有界擾動的離散時(shí)間時(shí)變被控對象，本文提出基于模型集動態(tài)優(yōu)化的多模型自適應(yīng)控制算法.采用最優(yōu)可行子集定位、動態(tài)覆蓋的優(yōu)化策略動態(tài)建立被控對象的固定模型集，在不降低系統(tǒng)控制精度的情況下，降低了固定模型的數(shù)目和系統(tǒng)計(jì)算量.同時(shí)證明了閉環(huán)系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定，并給出了跟蹤誤差的上界.與文獻(xiàn)［8］相比，本文控制算法使得系統(tǒng)跟蹤誤差穩(wěn)態(tài)值減小1倍.

1 問題描述

考慮如下離散時(shí)間被控對象:

式中，y(t)和u(t)分別為被控對象的輸出和輸入;u(t)的系數(shù)b0不等于零;d是傳輸延時(shí)(d≥1);δ(t)為有界擾動.假設(shè):

A1 參數(shù)ai(t)，bi(t)，i∈{0，1，…，n－1}為時(shí)間t的常值或分段常值函數(shù)，且相鄰跳變時(shí)間間隔足夠長;

A2 t變化時(shí)，參數(shù)向量［a0(t)，…，an－1(t);b0(t)，…，bn－1(t)］T在一緊集 Ω 中變化;

A3 對象階次上限n和延時(shí)d已知;

A4 被控對象是最小相位系統(tǒng);

為便于參數(shù)估計(jì)，將式(1)改寫為如下遞歸形式:

式中，φ(t)=［y(t)，…，y(t－ n+1)，u(t)，…，u(t－ n+1)］T;θ(t)=［a0(t)，…，an－1(t)，b0(t)，…，bn－1(t)］T.本文的目的是對任意已知的有界參考輸入y*(t)，決定有界輸入u(t)，使得輸出y(t)盡可能地跟蹤y*(t)，并保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.

2 模型集的建立

2.1 基于動態(tài)優(yōu)化的固定模型集建立

固定模型集的動態(tài)優(yōu)化由最優(yōu)可行子集定位、動態(tài)覆蓋兩級尋優(yōu)策略構(gòu)成.

2.1.1 被控對象模型參數(shù)最優(yōu)可行子集的定位

基于Localization方法，將參數(shù)集Ω分割為有限個(gè)子集的合集，且滿足如下性質(zhì):① Ωi?Ω，Ωi非空，i=1，2，…，m; ②=Ω; ③ ?i，i=1，2，…，m，?θi∈Ωi(“中心”)和 ri＞0(“半徑”)，使得?θ∈Ωi，有‖θ－θi‖≤ri，θi和 ri的存在性由假設(shè) A2 保證.

t時(shí)刻，若被控對象模型參數(shù)向量θ∈Ωi，則根據(jù)性質(zhì)③和式(2)可得

如果式(3)不成立，則對象模型參數(shù)不屬于子集Ωi，Ωi可被排除，只有滿足式(3)的子集才接近被控對象的參數(shù)，即為可行子集.令I(lǐng)(t)代表t時(shí)刻被控對象模型參數(shù)所屬的可行子集索引的集合，其初始化為I(t0)={1，2，…，m}.被控對象模型參數(shù)最優(yōu)可行子集的定位過程如下:

① 對t＞t0，計(jì)算

2.1.2 固定參數(shù)模型集的動態(tài)構(gòu)造

設(shè)t時(shí)刻，被控對象模型參數(shù)所屬的最優(yōu)可行子集為Ωl，隸屬于Ωl的模型參數(shù)向量可表示成

式中，v1，…，vn，…，v2n對應(yīng)于對象模型的可變參數(shù) ai和 bi，i=0，1，…，n －1.令 Ωl的中心 θl(θl=［v1－l，…，vn－l，…，v2n－l］T)為t時(shí)刻被控對象模型參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)，固定模型集的動態(tài)建立過程如下:

① 確定子集 Ωl中可變參數(shù)v1，…，vn，…，v2n的變化區(qū)間，即確定2，…，2n.

④將N個(gè)固定參數(shù)模型M1，M2，…，MN合成為t時(shí)刻動態(tài)創(chuàng)建的固定參數(shù)模型集.

為保證在各子集內(nèi)動態(tài)生成的固定參數(shù)模型仍然落在其內(nèi)部，下面的定理給出了一個(gè)充分條件.

證明 由向量2范數(shù)定義易得.

定義1 對象模型集由N個(gè)動態(tài)生成的固定參數(shù)模型Mi，i=1，2，…，N和常規(guī)自適應(yīng)模型Ma1及可重新賦值自適應(yīng)模型Ma2構(gòu)成.

2.2 自適應(yīng)模型

對于自適應(yīng)模型，其參數(shù)采用如下帶死區(qū)函數(shù)的投影算法［13］進(jìn)行辨識:

式中，0＜a(t)＜2;f(ˉδ，e(t))是死區(qū)函數(shù)，e(t)是預(yù)測誤差，滿足

常規(guī)自適應(yīng)模型Ma1用于保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其參數(shù)θa1如式(6)和(7)進(jìn)行更新;可重新賦值自適應(yīng)模型Ma2的參數(shù)θa2初值動態(tài)調(diào)整為距離被控對象最近的固定模型的參數(shù)，以獲得更快的收斂速度.

3 多模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

令跟蹤誤差ec(t)=y(t)－y*(t)，則

t時(shí)刻，若對象模型參數(shù)θ(t)已知，可由如下方程確定控制輸入u(t):

基于模型集動態(tài)優(yōu)化的多模型自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)算法如下:

①構(gòu)造數(shù)據(jù)向量φ(t－d)，讀入新的輸出數(shù)據(jù)y(t).

②按2.1節(jié)的方法動態(tài)生成N個(gè)新的固定參數(shù)模型，并替換上一時(shí)刻生成的固定參數(shù)模型集.

④ 計(jì)算 Ji(t)，i=1，2，…，N 和Jaj(t)，j=1，2，令如果 Jl(t)(t)≤Jah(t)(t)，令θ(t)=θl(t)，如式(9)計(jì)算控制輸入 u(t)，并令; 否則，令=，如式(10)計(jì)算控制輸入 u(t)，并令

⑤ 令t=t+1，轉(zhuǎn)①.

4 穩(wěn)定性分析

引理1［13］對于時(shí)不變系統(tǒng)，參數(shù)估計(jì)算法式(5)～(7)滿足:①，k 為正整數(shù).

定理2 在假設(shè)條件A1～A5下，多模型控制器作用于系統(tǒng)(1)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定，即

1)若Jq(t)＞0，則由引理1①可知必然存在一有限時(shí)刻T，使得?t≥T，Jaj(t)≤Jq(t)，j∈{1，2}，此后，模型間的切換僅在自適應(yīng)模型Ma1和Ma2間進(jìn)行.簡化起見，以下分析將省去自適應(yīng)模型的下標(biāo)aj.對任一自適應(yīng)模型，由式(2)、(7)和(8)可得

則

另外，由最小相位假設(shè)A4和式(6)可得

式中，0＜c1＜∞，0＜c2＜∞.由文獻(xiàn)［14］中引理6.2.1可知式(15)和(16)滿足引理?xiàng)l件，則可得的結(jié)論，即為定理2的結(jié)果.

2)若Jq(t)=0，參考文獻(xiàn)［3］第Ⅲ部分及上述證明過程可得有界及即為定理2的結(jié)果.

文獻(xiàn)［6］在研究同樣的被控對象時(shí)得出的結(jié)論為:跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)值是系統(tǒng)擾動項(xiàng)上界的2倍(見文獻(xiàn)［6］定理2)，而本文跟蹤誤差的穩(wěn)態(tài)值即為系統(tǒng)擾動項(xiàng)的上界，系統(tǒng)的控制精度顯著提高.

5 仿真

考慮如下離散時(shí)間時(shí)變系統(tǒng):

式中，d=2.參數(shù){a1(t)，b2(t)}未知時(shí)變，參考輸入為y*(t)=2sin(πt/50).設(shè)未知參數(shù){a1(t)，b2(t)}在t=0時(shí)刻為{1.5，0.2}，在t=100時(shí)刻變?yōu)閧2.5，0.2}，在t=200時(shí)刻變?yōu)閧1，0.4}，在t=300時(shí)刻變?yōu)閧2，0.3}.根據(jù)a1(t)和b2(t)的可變范圍，將對象模型參數(shù)集Ω分解為54個(gè)子集，各子集中心參數(shù)向量對應(yīng)的 a1和 b2分別取為{0.95，1.15，…，2.35，2.55}和{0.15，0.2，…，0.35，0.4}，N 取為 30.采用如下2種控制方案:①基于120個(gè)固定參數(shù)模型和自適應(yīng)模型的MMAC;②基于本文算法的MMAC.在方案①中作者特意在參數(shù){a1(t)，b2(t)}的跳變值附近內(nèi)構(gòu)造固定參數(shù)模型.圖1和圖2分別為上述2種控制方案時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng).

圖1 控制方案1系統(tǒng)輸出曲線

圖2 控制方案2系統(tǒng)輸出曲線

6 結(jié)語

針對一類具有界擾動和跳變參數(shù)的離散時(shí)間系統(tǒng)，本文提出基于模型集動態(tài)優(yōu)化的多模型自適應(yīng)控制算法，并證明了閉環(huán)系統(tǒng)的BIBO穩(wěn)定性.與已有的研究結(jié)論相比，本文算法可使系統(tǒng)跟蹤誤差穩(wěn)態(tài)值減小1倍.

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