張紹杰 胡壽松

(南京航空航天大學自動化學院，南京 210016)

非線性非最小相位系統(tǒng)因其零動態(tài)不穩(wěn)定，成為控制理論和應用研究領(lǐng)域中具有挑戰(zhàn)性的問題.反饋線性化是研究非線性控制系統(tǒng)最常用和最有效的方法之一，在非最小相位系統(tǒng)的研究中得到了廣泛的應用［1-2］.一般的反饋線性化方法是通過對輸出求導直到導數(shù)中含有輸入項，得到系統(tǒng)的相對階，在此基礎(chǔ)上通過微分同胚變換，設(shè)計控制律使系統(tǒng)穩(wěn)定.Soroush等在文獻［3-5］中通過對輸出求與狀態(tài)維數(shù)相同階導數(shù)，然后在利用小增益理論設(shè)計控制律時令輸入的導數(shù)為零，實現(xiàn)了非最小相位系統(tǒng)的漸近鎮(zhèn)定，但由于小增益理論的限制，該方法要求開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.在文獻［6］中，作者將該方法擴展到了開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實現(xiàn)了系統(tǒng)的漸近鎮(zhèn)定.在文獻［3］的基礎(chǔ)上，文獻［7］針對單輸入單輸出(SISO)非最小相位系統(tǒng)，通過近似反饋線性化實現(xiàn)了系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定，但由于非線性系統(tǒng)的輸入輸出耦合，其結(jié)論只適用于SISO系統(tǒng).

本文考慮針對一類多輸入單輸出(MISO)非最小相位系統(tǒng)，利用近似反饋線性化和零擾動理論，設(shè)計系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定控制律，仿真算例表明了本文方法的有效性.

1 一類MISO非最小相位系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定

1.1 零擾動

考慮系統(tǒng)

式中，φ(x)為標稱系統(tǒng)動態(tài)，Δ(x)為系統(tǒng)擾動，φ(x)，Δ(x)對系統(tǒng)狀態(tài)x均為Lipschitz的，并記Δ(x)的Lipschitz常數(shù)為δ，即‖Δ(x)‖≤δ‖x‖.若Δ(0)=0，即擾動在零時刻的值為零，稱為零擾動.對于零擾動系統(tǒng)(1)有如下引理:

引理1［8］若x=0為系統(tǒng)x˙=φ(x)的指數(shù)穩(wěn)定平衡點，系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)V(x)滿足，，其中c1，c2為正實數(shù).若 Δ(x)的Lipschitz常數(shù) δ滿足，則擾動系統(tǒng)(1)的原點指數(shù)穩(wěn)定.

引理1說明原點的指數(shù)穩(wěn)定性對于一定范圍內(nèi)、具有Lipschitz性的零擾動具有魯棒性.

1.2 一類MISO非最小相位系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

考慮一類如下描述的MISO仿射非線性系統(tǒng)

式中，x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量，u=［u1，…，um］T為系統(tǒng)輸入，且 m≥2，y∈R 為系統(tǒng)輸出;f(x)∈Rn，h(x)∈R，gi(x)∈Rn，i=1，2，…，m 為關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài) x的充分光滑的非線性函數(shù)，并記 g=［g1，…，gm］.設(shè) x=0，u=0是系統(tǒng)(2)的平衡點，且 h(0)=0.

假設(shè)1 系統(tǒng)(2)滿足

假設(shè)1表明對于i=1，2，…，m，˙x=f(x)+gi(x)ui，y=h(x)具有相同的相對階ρ.對于MISO系統(tǒng)，多個輸入一般用來保證控制系統(tǒng)具有一定的余度，以確保系統(tǒng)的安全運行.如飛機上的液壓系統(tǒng)，采用3余度設(shè)計，多余度采用類似的控制結(jié)構(gòu).故一般來說MISO系統(tǒng)是滿足該假設(shè)條件的.

式中，bi(x)為系統(tǒng)狀態(tài)x的非線性函數(shù)，表示第i個執(zhí)行器對系統(tǒng)控制輸入的影響，v0為待設(shè)計的控制信號.對系統(tǒng)(2)選取變換

并將式(4)帶入系統(tǒng)，則系統(tǒng)(2)可表示為

設(shè)計控制律

本文采用的變換(5)與常規(guī)的將仿射非線性系統(tǒng)變?yōu)闃藴市蔚淖儞Q不一樣，在對輸出逐次求導過程中，即使出現(xiàn)了輸入信號，我們?nèi)岳^續(xù)求導，以實現(xiàn)系統(tǒng)的近似輸入輸出線性化，對于忽略的部分，我們采用零擾動理論進行處理.于是，對由變換(5)，控制律(4)和(7)確定的閉環(huán)系統(tǒng)(8)有如下定理:

將式(10)代入式(9)得

定理1說明對于系統(tǒng)(2)，不管其零動態(tài)是否穩(wěn)定，即系統(tǒng)(2)是否為最小相位系統(tǒng)，只要滿足定理的條件，則閉環(huán)系統(tǒng)(8)指數(shù)穩(wěn)定.

定理1的證明過程表明，對于給定的δ1，δ2和設(shè)計的反饋陣K，存在擾動的一個范圍使系統(tǒng)(8)指數(shù)穩(wěn)定，但相反地，給定一個擾動，不一定存在相應的反饋陣K能指數(shù)鎮(zhèn)定該系統(tǒng).推論1給出了能夠使系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的擾動范圍:

推論1 對于給定的δ1，δ2，在A為Hurwitz矩陣的前提下，記，則當‖Δ1(z)‖＜δ*時，存在反饋陣K能夠指數(shù)鎮(zhèn)定系統(tǒng)(8).

證明 略.

2 仿真算例

為驗證上文理論的正確性，考慮如下非線性系統(tǒng)

式中，α1，α2＞0.系統(tǒng)相對階為2，采用常規(guī)的反饋線性化方法，取

并設(shè)計反饋矩陣 K=［32，8］，則

系統(tǒng)零動態(tài)為˙x3=x3/α1，不穩(wěn)定，系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng).設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為x(0)=［1，1.5，1.2］T，α1=0.2，α2=0.3，則在控制律(13)和(14)作用下，系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)x3響應曲線如圖1所示.

根據(jù)式(4)和(7)重新設(shè)計控制律，設(shè)計反饋矩陣 K=［256，96，16］，取

在式(15)和(16)作用下，系統(tǒng)狀態(tài)響應如圖2和圖3所示.圖2表明采用本文方法設(shè)計的控制律可以使系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)穩(wěn)定，圖3表明了外部系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.改變K，則可以求出系統(tǒng)穩(wěn)定的初始值范圍，從而給出系統(tǒng)的吸引區(qū).

圖1 輸出反饋線性化x3的響應曲線

圖2 近似反饋線性化x3的響應曲線

圖3 近似反饋線性化狀態(tài)x1和x2的響應曲線

3 結(jié)語

本文針對一類MISO仿射非線性系統(tǒng)，利用近似反饋線性化結(jié)合零擾動理論討論了系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定條件，最后結(jié)合數(shù)學實例進行仿真，說明了控制器的設(shè)計過程，進一步證明了本文方法的正確性和有效性.

References)

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