梁昌洪,陳 曦

(西安電子科技大學天線與微波技術國防重點實驗室,陜西西安 710071)

0 引言

本文是電磁場理論教學系列札記之十。

電磁波傳播,特別是多層媒質的入射、反射和折射不僅是一個前沿的理論問題,而且還是一個重要的應用課題。探礦、測地和異物檢測都離不開它們的基礎——電磁波向多層媒質的傳播。

本文根據(jù)三項原則構建出電磁波斜入射到媒質突變的平面邊界的基本模型,它可以退化為垂直入射、導體和磁體邊界等多種情況。將電磁波傳播和網(wǎng)絡理論有機結合,創(chuàng)新地提出了多層媒質的[C]網(wǎng)絡理論,從而把困難的多層媒質傳播轉化為矩陣[C]級聯(lián),由應用實例得到一系列有用統(tǒng)一的結論,很值得作進一步探索和推廣。

1 基本模型

不論入射、反射和折射,都涉及電磁平面波的傳播。首先,本文對基本模型提出如下三項原則:

(1)將媒質突變的平面邊界作為最基本單元;

(3)當入射角θi,反射角θr和折射角θi均為0°,即θi=θr=θi=0°,問題應該退化成垂直入射情況。

必須指出:正因為有原則(3),使本文的結果與大多數(shù)著作有所差異[1-12]。圖1給出了基本模型的兩種情況。

圖1 平面波斜入射平面邊界作為基本模型

[情況1]平行極化波

這種情況下,電磁場在平面邊界的匹配條件為

很易得到

式中,已計及Fermat原理θi=θr。由式(3)很易得到

[情況2]垂直極化波

這種情況下,電磁場在平面邊界的匹配條件對應為

類似可得反射系數(shù) Γ⊥和折射系數(shù)T⊥分別是

根據(jù)確定基本模型第(3)原則,考察式(3)和式(6),果然在垂直入射時 ,即θi=θr=θt=0°,統(tǒng)一有

并且有關系:

我們還應該進一步解釋把電磁波斜入射平面界面作為基本模型的深層次原因:它不僅可包含垂直入射情況,而且可以概括第二媒質是理想導體,即電壁情況。這時需令η2=0,有

和第二媒質是理想磁體,即磁壁情況,這時η2※∞,于是

讀者或許對式(10)中Tm=2有些疑惑不解。實際上只需注意到本文的Γ和T都是針對電場的反射和折射,后邊可清楚看出,完全滿足能量守恒關系。

2 特殊角度

平面電磁波入射到界面發(fā)生反射和折射時,有兩個特殊角度值得重視:無反射Brew ster角θB和全反射臨界角θc。

[情況1]無反射Brewster角θB

對于平行極化波,由無反射條件給出

計及Fermat原理,有

易得Brew ster角為

而對于垂直極化波,這時的無反射條件是

對應的Brewster角為

特別應該指出,對于電介質,也即μ1=μ2,這時垂直極化波不可能出現(xiàn)Brewster角,只有在平行極化波情況下才能出現(xiàn)無反射現(xiàn)象的Brewster角。

[情況2]全反射臨界角θc

由式(3)和式(6)很易看出,只要滿足

則必然會出現(xiàn)全反射,即這時有

且由式(16)可具體給出

這時可知

它意味著電磁波只沿表面?zhèn)鞑?且不進入第二媒質,具體發(fā)生全反射的臨界角θc與平行極化波還是垂直極化波無關,為

因此,產(chǎn)生全反射的條件有

特別對于μ1=μ2的電介質,更進一步得到

換句話說,只有光密媒質入射到光疏媒質界面才會出現(xiàn)全反射現(xiàn)象,正是應用這一原理產(chǎn)生了近代的光導纖維。

3 電磁波傳播[C]網(wǎng)絡

為了研究斜入射多層媒質的復雜情況,本文把電磁波傳播與網(wǎng)絡理論有機的結合起來,提出[C]網(wǎng)絡理論。見圖2所示。

圖2 電磁波傳播[C]網(wǎng)絡

作為一個典型實例,我們研究[C]網(wǎng)絡如何表示傳播時媒質的突變界面。

從對稱端口觀點看:b1,b2分別表示端口 ①和端口 ②的電場反射,而a1,a2則表示相應的電場入射,采用矩陣有

從端口 ①至端口 ②的廣義傳輸角度看

a1——表示端口 ①的入射;a1=

b1——表示端口 ①的反射;b1=

b2——表示端口 ②的折射;b2=

a2——對于如圖2的單層媒質突變網(wǎng)絡,有

而對于多層網(wǎng)絡,則a2表示第二層的反射。

[情況1]平行極化波斜入射

由式(1)和式(2)并考慮各層對稱形式,可得

進一步寫出

為便于推廣,引入

即可給出平行極化波的電磁波[C∥]矩陣,為

特別是,對于只有單層突變媒質情況,計及a2=0,

可具體寫出

很易得到

可見,完全與式(3)結果一致。

[情況2]垂直極化波斜入射

同樣由式(5)及對稱性考慮,又得

進一步寫出

并得到垂直極化波[C⊥]網(wǎng)絡有對于只有單層突變媒質情況,a2=0,可給出

最后得到

可見,同樣與式(6)結果完全一致。

[情況3]垂直入射情況

只要計及θ1=θ2=0°時,式(28)和(33)均成為同一垂直入射網(wǎng)絡,為

[情況4]統(tǒng)一[C]網(wǎng)絡

本文引入統(tǒng)一阻抗Z符號,定義是

于是,可寫出統(tǒng)一的[C]網(wǎng)絡

[情況5]波傳輸段[Cl]

圖3 波傳輸[cl]段網(wǎng)絡

由定義寫出

4 工程實例

電磁波傳輸[C]網(wǎng)絡的最大特點是它滿足級聯(lián)條件,如圖4所示的n個網(wǎng)絡C1,C2,……Cn級聯(lián),則總網(wǎng)絡很易寫出

圖4 n個網(wǎng)絡C1,C2,……Cn級聯(lián)

十分明顯,這一特性十分適合多層媒質的研究課題。

本文將給出工程應用中三層無耗媒質情況,如圖5所示。采用[C]矩陣可寫出

式中,對于平行極化波,有

于是可得到

由此很易導出

對于a3=0,有

特別需要指出:上式反射系數(shù) Γ不論對于垂直入射,平行極化波還是垂直極化波的斜入射,形式完全統(tǒng)一,只是Z 分別對應η,η∥,η⊥。

如果進一步引進輸入阻抗Zin:

則式(49)可進一步表述為

與正確結果完全一致[2]。

另一方面,折射系數(shù)T為

對于垂直入射,平行極化波和垂直極化波斜入射,Z和A13表述有所不同。

5 能量守恒

由于本文所及限于無耗媒質模型,所以在電磁波傳播過程中入射波,反射波和折射波的功率之間,必須存在著能量守恒關系。

首先,讓我們考察單層無耗媒質突變情況,由式(3),式(6)和式(7)可統(tǒng)一寫出

具體對于垂直入射情況,A12=1有

對于垂直極化波斜入射情況,由于A12=1依然成立,于是有

最后,對于水平極化波斜入射情況,這時由于A12=cosθ2/cosθ1,而 Z1/Z2=η1cosθ1/η2cosθ2,又可得

發(fā)現(xiàn)十分奇妙的是,能量關系的結果是唯一且相同的。

現(xiàn)在,讓我們進一步觀察三層無耗媒質情況。只要注意到式(49)和式(52),即可知

這時的能量守恒關系與第二媒質層 φ=k2lcosθ2無關。它從概念上講是十分自然的。因為k也可寫成

這樣,我們有理由推廣到n層無耗媒質情況,一般的能量守恒關系是

6 結語

如果說本文還略有新意,那么可以說是電磁波和網(wǎng)絡理論的有機結合,它把多層媒質問題轉化為矩陣理論,清晰而簡單。

關于有耗媒質或非互易多層媒質擬由另文報道。

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