董志芳

(東南大學電子科學與工程學院,江蘇南京 210096)

信號的相關運算是信息處理中非常重要的一種運算,特別是自相關函數,它是平穩(wěn)隨機過程的一個重要的統(tǒng)計特性,且與隨機過程的功率譜有著密切的關系。但從一維信號的相關運算來理解其物理含義比較晦澀難懂。本文利用相關運算在圖像配準中的應用,從另外一個角度理解相關運算的物理含義,這樣能夠提高教學效果,易于初學者理解。

1 信號的相關

信號的相關函數描述了兩個信號或一個信號本身不同時刻的相關程度,可以揭示信號的結構特點,具體內容參見文獻[1]。特別是自相關函數,它是平穩(wěn)隨機過程的一個非常重要的統(tǒng)計量,在討論隨機信號時十分有用。

兩個一維時間實函數 x(t)與y(t)的相關運算是由下面的積分所定義,即

式中,相關運算所得的結果Rxy(t)稱為x(t)與y(t)互相關函數,而Ryx(t)則叫做y(t)與 x(t)的互相關函數。如果進行相關運算的是同一時間信號,則稱為自相關函數Rxx(t)。

從一維信號去理解相關描述信號的相似程度,學生感到比較抽象。但如果換個角度,用圖像的相關來說明就非常生動形象,而且便于掌握,還為以后利用相關理論處理更復雜的信號奠定基礎。

2 圖像的相關

與一維信號的相關運算類似,兩個二維圖像f(x,y),h(x,y)相關運算(圖像相關的詳細內容可參見文獻[2])定義為

其中 f＊表示 f的共軛。

圖像相關最直接的應用就是圖像的配準。所謂圖像的配準簡單的講就是在一幅圖像 f(x,y)中找到感興趣的物品h(x,y)(稱為模板)。與一維信號類似,對于二維圖像,相關運算也同樣表示兩幅圖像的相似程度,因此可以用圖像的相關函數作為衡量模板與圖像中物品相似度的目標函數。讓 f(x,y)和h(x,y)作相關運算,如果匹配發(fā)生在相應的點上,則此點的相關函數出現(xiàn)最大值。

3 實驗及結果

為了用圖像形象地說明相關函數是衡量信號相似度的物理含義,這里用兩幅背景全黑的二值圖像進行配準實驗。一幅如圖1(a)所示圖像 f(x,y)包含三個字母“GTF”,另一幅為模板圖像h(x,y)包含字母“T”,如圖1(b)所示。配準就是找到模板字母“T”在f(x,y)中的位置。相關函數出現(xiàn)最大值處則認為是最佳匹配點。

本實驗在Matlab平臺上進行,具體的實驗結果如圖1所示。圖1(c)是相關函數二維圖像表示;圖1(d)是相關函數的三維視圖,很容易找到相關函數最大值點的位置;圖1(e)則是相關函數最大值所在行的的剖面圖;圖1(f)則是將原圖像圖1(a)根據配準的位置減去模板圖像圖1(b)得到的。

如圖1(d)所示,從相關函數的三維視圖可以看到模板和原圖像在某一點的相關函數具有極大值,這一點就認為是最佳匹配點,即模板在這點和原圖像的物品具有最大的相似度。相關函數還可以進一步從圖1(e)所示的二維剖面圖看清楚。為了更清楚地驗證配準的結果,將原圖象在配準位置減去模板圖像。理論上,如果配準的結果好,相減的圖像在字母“T”的位置處,應該只剩下背景。實驗結果如圖1(f)所示,原圖像中字母“T”完全被減后,只剩下背景?？梢娕錅式Y果十分精確,與理論結果相符。

圖1 用相關運算進行圖像的配準

4 結語

從一維信號的相關運算理解其物理含義對于初學者而言有些晦澀難懂,但從上面的圖像配準的例子,可以很容易理解相關表示信號相似程度的物理概念。在信息處理課程的教學中,都會遇到很多類似的問題:一個理論在某個方面的應用雖然非常廣泛,但對于剛接觸的學生而言卻十分抽象,難以消化;而當換個角度說明,或則換個應用方向的例子,哪怕只是簡單的,卻也可能地獲得出人意料的效果。

本文利用圖像的相關在一幅圖像中尋找模板圖像的位置,當相關函數達到最大時,即認為找到兩幅圖像的最值配準位置。通過這種圖像配準的應用,相關運算的物理含義十分生動,便于學生掌握。

[1] 管致中,夏恭恪,孟橋,信號與線性系統(tǒng),第四版[M].北京:高等教育出版社,2004

[2] 岡薩雷斯,數字圖象處理,第二版[M].北京:電子工業(yè)出版社,2007