張清河

(三峽大學理學院,湖北 宜昌 443002)

1.引 言

逆散射研究廣泛應用于地震學、目標識別、探地雷達(GPR)、醫(yī)學成像、地球物理觀測和一些無損檢測。然而,由于問題本身固有的非線性特征和不適定性,使得逆散射研究顯得十分困難,特別是當目標的電尺寸可與入射波長相比擬或目標是介質體時。過去十年,逆散射研究得到了極大的關注,特別是在微波成像和目標重構等領域。有兩類問題經常引起人們的興趣,第一類是確定目標的位置和外部邊界,第二類是定性或定量地重構目標的電磁參數(shù)(如相對介電常數(shù)、電導率等)。許多算法及技術被應用于該領域,傳統(tǒng)的優(yōu)化迭代方法,如Born迭代、變形Born迭代、New ton-antorovitch算法、模擬退火、遺傳算法等[1-5]被提出并成功地應用于電磁逆散射問題,但由于在每次迭代中都要計算一次正散射問題,耗費了大量的計算資源和計算時間,不利于對目標的實時逆散射研究。

近年來,神經網絡得到了極大的關注并被成功地應用到逆散射問題,這些應用主要集中在靜電場問題[6]、不同類型土壤和植物的識別[7]、雨及雪花參數(shù)的分析[8-9]及目標的分類[10]等方面。由于人工神經網絡具有強有力的學習能力和非線性映射能力,它不需要任何先驗公式就可以通過學習或訓練自動總結出數(shù)據間的函數(shù)關系,許多用傳統(tǒng)信息處理方法無法解決的問題采用神經網絡取得了良好的效果。本文將人工神經網絡這一人工智能技術應用于介質圓柱體逆散射問題,經過適當?shù)挠柧?建立了介質圓柱體逆散射模型,并以此模型重構了已知探測范圍內的介質圓柱體的半徑、相對介電常數(shù)及電導率。

2.電磁逆散射問題描述

圖1描述了一個典型的電磁逆散射物理系統(tǒng)。自由空間有一未知幾何(如半徑)和電磁(如相對介電常數(shù)、電導率)參數(shù)的目標,分布于有限區(qū)域V。一給定時諧電磁波Einc(r)(時諧因子ejωt)入射該散射體目標,由于電磁感應和極化作用,將在全空間激發(fā)二次場,即散射場Escatt(r)。可表示為

式中:r表示場點;r′∈V表示源點;k、k0分別表示介質和自由空間的波數(shù);O(r)=k20[ε～r(r)-1]稱為目標函數(shù)或對比度函數(shù);E(r′)為介質體內的總場;

圖1 電磁逆散射物理模型

如果考慮二維散射體目標,在TM極化平面波的照射下,式(1)可簡化為

從方程(1)、(3)可以發(fā)現(xiàn),目標函數(shù)到散射場的映射關系是非線性的,這是由于二次散射源(散射體本身)各部分的相互作用造成的,因此,電磁逆散射問題呈現(xiàn)強烈的非線性特征。

逆散射問題的目標就是根據已有的觀測點數(shù)據Escatt(r)獲取散射體的位置、形狀、電磁參數(shù)等信息。這種關系在數(shù)學上可表述為

式中:χ=[χi;i=1,…,P]=[r,εr,σ],P 是描述散射體的參數(shù)的個數(shù)。Escatt=[Esrcatt;r=1,…,R],R是觀測點的個數(shù)。電磁逆散射問題可以重新被描述成一個回歸問題,未知函數(shù) Φ可以通過N個輸入/輸出(I/O)數(shù)據對來近似得到,(I/O)即為:{(χ)n,};n=1,…,N 。

3.用于回歸估計的BP神經網絡

人工神經網絡具有強有力的學習能力,它不需要任何先驗公式就可以通過學習或訓練自動總結出數(shù)據間的函數(shù)關系,獲得這些數(shù)據的內在規(guī)律,具有很強的非線性映射能力,適用于非線性問題的研究。因此,應用人工神經網絡這一人工智能技術來研究電磁逆散射問題。

圖2給出了文本所用的BP神經網絡結構模型。它是一個三層前向神經網絡,網絡的輸出在數(shù)學上可表示為

式中:x j是第j個神經元的輸出;f是神經元的激活函數(shù);N是隱含層神經元的個數(shù);wij是隱含層中連結神經元j和神經元i的權重;bj是神經元j的閾值。

圖2 電磁逆散射問題中的神經網絡結構

輸入層神經元的個數(shù)由電磁逆散射問題中所設置的散射場的接收點個數(shù)決定。比如,設置散射場的接收點是16個,如果以散射場的幅值作為訓練樣本信息,則輸入層神經元的個數(shù)為16個;如果以散射場的幅值和相位作為訓練樣本信息,則輸入層神經元的個數(shù)為32個。輸出層神經元的個數(shù)由要反演的目標幾何、電磁參數(shù)的個數(shù)決定。隱含層神經元的個數(shù)與網絡性能的優(yōu)劣密切相關,不同的隱含層神經元個數(shù),對于同一個電磁逆散射問題,訓練網絡的時間不同,最后反演的精度也會不同,本文在后面將要用實例進行說明。

在本文的BP神經網絡電磁逆散射模型中,隱含層神經元的激活函數(shù)采用sigmoid函數(shù),考慮到訓練樣本多為非負數(shù)(散射場的幅值),所以最后采用對數(shù)形sigmoid函數(shù)作為隱含層神經元的激活函數(shù)。而輸出層神經元的激活函數(shù)采用線性函數(shù)以展寬輸出范圍。

4.數(shù)值算例

4.1 介質圓柱體電磁參數(shù)重構

下面用BP神經網絡方法來反演目標的相對介電常數(shù)和電導率。逆散射模型如圖3所示,入射波頻率1 GHz,在一邊長為λ的正方形探測區(qū)域內有一半徑R=λ/3=10 cm的二維介質圓柱體,假定其位于正方形的中心,其電磁參數(shù)未知。散射場的觀

圖3 二維介質圓柱體逆散射模型

測點數(shù)為12個,均勻地分布在以介質體中心為圓心、λ為半徑的4πλ/3圓周上。訓練樣本數(shù)為315個,分別對應于15個不同的相對介電常數(shù)值(εr=1.5+0.25n,n=0,1,…14)和21個不同的電導率值(σ=10-3+0.05n(S/m),n=0,1,…,20),訓練樣本信息為觀測點散射場的幅值,可用解析的方法得到[11]。顯然,在這里,BP神經網絡輸入層神經元數(shù)為12,輸出層神經元數(shù)為2。輸出層神經元激活函數(shù)為線性函數(shù),隱含層神經元激活函數(shù)為對數(shù)sigmoid函數(shù)。為了選取合理的中間隱含層神經元數(shù),我們考慮以下三種BP網絡結構:12-12-2、12-24-2、12-36-2。在相同的誤差指標下,用 L-M 訓練算法[12]對三種不同結構的BP網絡進行訓練,再用訓練樣本作為測試樣本進行回歸估計,通過計算它們的平均絕對誤差(MAE),來比較三種不同結構的BP網絡逆散射模型性能的優(yōu)劣。結果見表1。三種網絡結構的訓練時間分別為24 s、27 s和35 s。

表1 三種不同結構BP網絡逆散射模型誤差比較

從表1可以看出,隱含層神經元數(shù)為24時對該實際問題是較為合適的。所以,我們采用結構為12-24-2的BP網絡來重構相對介電常數(shù)和電導率。改變目標的電磁參數(shù)(不同于訓練樣本),用觀測點上的相應散射場作為建立好的BP網絡逆散射模型的輸入,來重構介質圓柱體的相對介電常數(shù)和電導率。圖4(a)、(b)分別給出了當 εr=1.55,1.80,2.05,2.30,2.55,2.76,3.05,3.30,3.80,4.30,4.55,4.9;σ=10-t(S/m),t=2.0,2.1,2.21,2.41,2.51,2.61,2.71,2.81,2.89,2.92,時的重構結果。

為了定量地說明重構的精度,分別計算重構結果的最大相對誤差和平均相對誤差

4.2 介質圓柱體幾何、電磁參數(shù)重構

逆散射模型與算例1的圖3相同,本算例中的反演參數(shù)分別為介質圓柱體的半徑、相對介電常數(shù)及電導率。訓練樣本數(shù)為316個,分別對應于εr=1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,6.5,σ=0.001,0.003,0.005,0.007,0.009,0.011(S/m),R=5.0,6.0,7.0,8.0,9.0,10.0(cm)。訓練樣本信息為觀測點散射場的幅值,BP神經網絡結構為12-24-3,采用L-M算法對訓練樣本進行訓練并建立目標參數(shù)回歸模型。訓練時間為 38 s。圖 5(a)、(b)、(c)分別給出了測試樣本數(shù)為125個(εr=2.0,3.0,4.0,5.0,6.0,σ=0.002,0.004,0.006,0.008,0.010(S/m),R=5.5,6.5,7.5,8.5,9.5(cm))時相對介電常數(shù)εr、電導率 σ及半徑R的重構結果。

5.結 論

利用BP神經網絡對有耗介質圓柱體的半徑、相對介電常數(shù)和電導率進行了重構。將原電磁逆散射問題轉化成一個回歸估計問題,通過神經網絡對訓練樣本的學習,找出散射場與目標參數(shù)間的內在規(guī)律,建立相應的電磁逆散射模型,通過輸入新的散射場信息,可實時反演出對應目標的半徑、相對介電常數(shù)和電導率。這種基于機器學習的電磁逆散射方法克服了以往傳統(tǒng)方法計算量大、耗時嚴重的缺點,且精度較高,為解決電磁逆散射問題提供了一條有效的途徑。

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